Derivada

derivada - Wikilingue - Encydia

Erro criando a miniatura: Os paràmetres das miniatures não são válidos

À cada ponto, a derivada é o pendente da recta que é tangent à curva. A recta de cor vermelha é sempre tangent à curva azul; o seu pendente é a derivada.

Temas de cálculo.

Gerais
Teorema fundamental Limite de uma função Função contínua Cálculo vectorial Cálculo tensorial Teorema do valor médio
Derivació
Regra do produto Regra do quocient Regra da corrente Teorema de Taylor Derivació implícita Mesa de derivadas
Integração
Mesa de integrals Integrals impròpies Tipo de integração por: partes, discos, substituição, capas cilíndriques, ordem de integração substituição trigonomètrica, fracções racionals

Em cálculo infinitesimal, a derivada é uma medida de como muda uma função ao modificar o valor das suas variables. Intuïtivament pode dizer-se que a derivada é a rapidez em que varia uma quantidade determinada num ponto dado. Por exemplo, a derivada da posição de um carro num momento concreto, é a velocidade instantània à qual vai o carro naquele momento; e, de maneira recíproca, a integral da velocidade do carro é a sua posição.

A derivada da função num ponto dado descreve a melhor aproximação lineal da função no ponto. Por uma função real de uma variable real, a derivada num ponto tanto faz ao pendente da recta tangent à gráfica da função neste ponto. Em várias dimensões, a derivada de uma função num ponto é uma aplicação lineal denominada a linealització da função no ponto.^[1]

Do processo de encontrar uma derivada se'n diz derivació. O teorema fundamental do cálculo estabelece que a derivació é o processo inverso ao da integração.

Mesa de conteúdos

1 História
2 Derivació e a derivada
3 Definições
4 Continuidade e derivabilitat
5 Notacions da derivada
6 Teoremes relacionados com a derivada
7 Cálculo da derivada
8 Aplicações
9 Derivadas em dimensões superiores
10 Generalitzacions
11 Referências e notas
12 Bibliografia
- 12.1 Impressa
- 12.2 Livros em linha
13 Vejais também
14 Enllaços externos

História

Resultados prévios ao desenvolvimento do cálculo infinitesimal

O matemático grego Arquimedes foi o primeiro de quem tem-se constància que tivesse encontrado a tangent a uma curva diferente da circumferència; para o fazer empregou um método semelhante ao que se usa em cálculo de derivadas. Para estudar o espiral separou o movimento de um ponto em dois componentes, uma velocidade constante no sentido radial e uma velocidade perpendicular ao radi provocada por uma velocidade angular constante; a seguir, somou (ou compor vectorialment) os dois componentes do movimento para encontrar a tangent à curva.^[2] Às vezes descreveu-se os matemáticos gregos como essencialment estàtics, com pouco interesse pela noção de variabilitat; mas Arquimedes, no seu estudo sobre o espiral, parece que encontrou a tangent a uma curva através de considerações cinemàtiques similares às do cálculo diferencial. A base de pensar num ponto do espiral r = aθ como sujeito a um duplo movimento –um movimento radial uniforme afastando-se do centro e um movimento circular meio ao centro–, parece que, através do paral·lelogram de velocidades, encontrou a direcção do movimento; isto é, encontrou a tangent à curva a base de obter a resultante dos dois componentes do movimento. acha-se que este foi o primeiro caso onde se encontrou a tangent a uma curva diferente da circumferència.

O 499, o matemático Índio Aryabhata usou uma noção de infinitesimals e foi capaz de exprimir um problema astronòmic em forma de uma equació diferencial elementar.^[3] Manjula, ao século X, elaborou esta equació diferencial e deixa-a descrita num comentário. Já ao século XII, esta equació trouxe Bhāskara II a desenvolver o conceito de uma derivada que representa uma mudança infinitesimal, e descreveu uma forma primitiva do teorema de Rolle.^[3]^[4]^[5]

No final do século XII, o matemático Sharaf a o-Dīn a o-Tūsī foi o primeiro ao descobrir a derivada de uma função polinòmica de terceiro grau.^[6] No seu Tratado sobre as equacions desenvolveu conceitos relacionados com o cálculo diferencial, como agora a função derivada e os máximos e mínimos de curvas, e o fez com a finalidade de resolver equacions de terceiro grau que não têm soluções positivas. Por exemplo, com o objectivo de resolver o equació $x^3 + a = bx$ , a o-Tusi calculou o ponto máximo da curva $y = bx - x^3\,\!$ . Usou a derivada da função para encontrar que este ponto máximo está a , $\textstyle x = \sqrt{\frac{b}{3}}\,\!$ e então obteve o valor máximo de y à $\textstyle 2(\frac{b}{3})^\frac{3}{2}\,\!$ base de substituir $\textstyle x = \sqrt{\frac{b}{3}}\,\!$ em . $y = bx - x^3\,\!$ Resolveu que o equació $bx - x^3 = a\,\!$ tem uma solução se $\textstyle a \le 2(\frac{b}{3})^\frac{3}{2}\,\!$ , e assim a o-Tusi deduziu que o equació tem uma raiz positiva se $\textstyle D = \frac{b^3}{27} - \frac{a^2}{4} \ge 0\,\!$ , onde $D\,\!$ é o discriminant do equació.^[7]

Newton

Newton não completou cabe publicação definitiva que formalizasse o seu Fluxional Calculus; mais cedo, muitas das suas descobertas transmitissem-se através de correspondência mantida com outros matemáticos, de artigos pequenos, ou como detalhes incorporados em outros compilacions definitivas como agora Principia e Optica.

O 1664, Newton fez a sua primeira contribuição importante descrevendo o teorema do binomi, o qual estendeu de modo que também incluísse exponents fraccionaris e negativos. O sucesso de Newton em expandir a aplicação do teorema do binomi foi devida ao fato que aplicou o àlgebra de quantidades finites num análise de séries infinitas. Neste trabalho mostrou a vontade de contemplar as séries infinitas, não só como dispositivos aproximados senão como uma forma alternativa de exprimir um termo.^[8]

Muitas de crie-las chave de Newton surgiram durante os anos da pesta de 1665-1666 quando escreveu a primeira proposta do cálculo de fluxions, descrito no artigo não publicado De Analysi por Aequationes Numero Terminorum Infinitas. Neste artigo, Newton determinou a área fechada por uma curva a base de calcular primeiro o ritmo instantani de mudança (a derivada) e extrapolant-ne a área total. Começou com uma raonament sobre um triangle infinitamente pequeno, a área do qual é uma função de x e y, que o trouxe a deduzir que o aumento infinitesimal da abscissa cria uma nova fórmula onde x = x + ou; é importante observar que ou é a letra, não o dígit 0. A seguir vai recalcular a área com a ajuda do teorema do binomi, e simplificà todas as quantidades que contêm a letra ou, obtendo uma nova expressão algebraica pela área. É significativo observar que Newton descartou" as quantidades que contêm ou porque termos multiplicados por ele não serão nada respeito do resto

Enquanto que a sua nova formulació oferecia um grande potencial, Newton era conscient das suas limitações lógicas. Admitiu que os erros não se podem descartar em matemáticas, não importa como sejam de pequenos e que o que ele tinha conseguido estava explicado de forma resumida mais que não demonstrado de forma acurada.

Num esforço para dar ao cálculo um marco e uma explicação mais rigorosa, o 1671 Newton compôs o Methodus Fluxionum te Serierum Infinitarum. Neste llibret quis especular sobre movimentos instantanis e infinitesimals, e utilizou as matemáticas como uma ferramenta metodològica para explicar o mundo físico. A base do cálculo infinitesimal revisado de Newton acontece a continuidade; e, como tal, ele vai redefinir os seus cálculos em termos de movimentos que fluem de forma contínua. Por Newton as magnitudes variables não são agregados de elementos infinitesimals senão que são geradas pelo fato indiscutible do movimento.

Newton tentou evitar o uso de infinitesimals a base de conformar o cálculos baseando-se num ritmo de mudança. No Methodus Fluxionum definiu o ritmo de mudança gerada como uma fluxió, e a quantidade gerada como um fluent. Por exemplo, se o espaço ou o volume são fluents, então a velocidade ou o volume são as suas respectivas fluxions. Este cálculo infinitesimal revisado conseguiu a sua forma definitiva no texto de 1676 , De Quadratura Curvarum, onde Newton vem a definir o que hoje em dia entendemos por derivada, como o ritmo de mudança última.

Sir Isaac Newton o 1689, obra de Godfrey Kneller.

Gottfried Leibniz, chefe o 1700, obra de Ch. B. Francke.

Newton fez muito èmfasi nesta questão a Principia :

«	Com este método consegue-se o mesmo que pelo método dos indivisibles, assim poderemos empregar com mais segurança os princípios já demonstrados. Portanto, no que segue sempre que fale de quantidades como se estivessem constituídas por partículas, ou sempre que tome pequenas curvas como se fossem linhas rectas, não quero dar a entender nunca que se trata de indivisibles, senão de divisibles que se desvanecem, nem também não de somas ou de quocients de partes determinadas, senão dos limites das somas ou dos quocients, e a bastante das demonstrações se tem de atribuir sempre aos lemas precedentes. poder-se-ia objectar que não há cabe proporção última entre quantidades que se desvanecem, caro dantes que se desvaneçam não são últimas e, depois de ter desaparecido, não pode ter cabe proporção. Tanmateix,, pela mesma razão, poder-se-ia dizer que um corpo que chega a um ponto onde se pára não teria cabe velocidade última, dons a sua velocidade não seria última dantes de chegar no ponto final e um golpe ali não teria chefe de velocidade. A respondida é fácil: por velocidade última entende-se a que tem o corpo, nem dantes nem depois de chegar no ponto final e se parar, senão a que tem ao chegar. Do mesmo modo tem-se de entender o quocient último das quantidades que se desvanecem, o quocient das quantidades nem dantes nem depois de desaparecer, senão o quocient com que desaparecem^[9]	»
—Isaac Newton

Leibniz

Enquanto Newton começou o desenvolvimento do seu cálculo de fluxions o 1665-1666, os seus achados não circularam abastament até mais tarde. Nos anos intermedis Leibniz também criou o seu cálculo infinitesimal. Por tal de entender o raonament de Leibniz em cálculo infinitesimal têm-se de ter presentes os seus antecedents. Em particular dois deles:

A sua metafísica que considera o mundo como um agregado infinito de mònades indivisibles.
A sua intenção, inspirada pelas ideias da ars magna de Ramon Llull,^[10] de criar uma lógica formal precisa com a que obter: "um método geral com o qual todas as verdades da razão ter-se-iam de reduzir a um tipo de cálculo."

Leibniz, igual que Newton, viu a tangent como um quocient, mas o declarou simplesmente como o quocient entre ordenadas e abscisses. Continuou a base de argumentar que a integral é, de fato, a soma das ordenadas por intervalos infinitesimals da abscissa, isto é, a soma de um número infinito de rectangles. A partir destas definições a relação de inversas mútuas aconteceu clara e Leibniz vai-se adonar rapidamente do potencial de criar um novo sistema matemático cumprido. Lá onde Newton tinha evitado de usar infinitesimals, Leibniz em vão fazer a pedra angular da sua notació e do cálculo infinitesimal.

Nos manuscritos de 25 de outubro ao 11 de novembro de 1675 , Leibniz gravou as suas descobertas e experimentou com diferentes formas de notació. Era plenamente conscient dos termos notacionals empregados e os seus planos iniciais de criar um simbolismo lógico preciso aconteceram evidentes. Leibniz vai denotar as diferencies infinitesimals entre abscisses e ordenadas como dx e dy respectivamente, e a soma de uma quantidade infinita de áreas rectangulars infinitesimalment delgadas como (∫ ), que acontece o símbolo empregado actualmente pela integral $\scriptstyle\int$ . O 1684, Leibniz publicou na Acta Eruditorum o que se considera o primeiro tratado sobre cálculo diferencial: Um novo método por máximos, mínimos e tangents que também serve por valores fraccionaris e irracionals e que, portanto, constitui um tipo de cálculo sem precedentes.^[11]

Derivació e a derivada

O pendente da curva f(x) no ponto $x_0$ tanto faz ao pendente da recta tangent à curva no ponto $x_0$ e é também igual à derivada da curva neste ponto.‎

A derivació é um método para calcular o ritmo ao que varia uma quantidade, y, (por exemplo a posição de um carro numa estrada recta) com respeito à mudança de outro quantidade x (por exemplo o tempo), quando a quantidade y em relação à quantidade x é uma variable dependent. Deste tipo de mudança se'n diz a derivada de y respeito de x . Falando com mais precisão, a dependência de y respeito de x significa que y é uma função de x (no exemplo que a posição do carro é uma função do tempo). Se x e y são números reais, e se a gráfica de y desenha-se respeito de x , a derivada mede o pendente desta gráfica na cada ponto. Esta relação com freqüência indica-se com a fórmula y = f(x), onde f indica função.

O caso mais singelo dá-se quando y é uma função lineal de x (por exemplo quando o carro percorre distâncias directamente proporcionals ao tempo decorrido); isto quer dizer que a gráfica de y respeito de x é uma linha recta (no exemplo a duplo tempo duplo percurso, a triple tempo triple percurso... e todos os pontos da gráfica ficam em cima de uma recta). Neste caso, y = f(x) = m x + c (o equació de uma recta em coordenades cartesianes), onde m e c, são números reais (no exemplo do carro m é a velocidade, que neste caso singelo é constante, e c é a posição onde se encontra o carro quando x vale zero, isto é, a posição inicial). O pendente m vem dado por:

$m={\mbox{canvi de } y \over \mbox{canvi de } x} = {\Delta y \over{\Delta x}}$

O símbolo Δ (a letra grega delta em maiúscula) é a abreviació de "mudança de" ou "increment de". Esta fórmula é verdadeira porque, se pega-se um ponto (x₀ , y₀) a partir do qual calcula-se a variação ou increment resulta que os increments de y e de x são:

$\begin{align} & \Delta y=y-y_{0} \\ & \Delta x=x-x_{0} \\ \end{align}$

Portanto:

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y-y_{0}}{x-x_{0}}$

Tanmateix,, como que y é sempre função de x , isto é:

Figura 1. A recta tangent a (x, f(x))

Figura 2. A secant à curva y= f(x) determinada pelos pontos (x, f(x)) e (x+h, f(x+h)).

Figura 3. A recta tangent como limite de secants.

$\begin{align} y&=mx+c \\ y_{0}&=mx_{0}+c \end{align}$

Substituindo estas expressões de y e de y ₀ ao quocient anterior resulta:

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\left( mx+c \right)-\left( mx_{0}+c \right)}{x-x_{0}}$

E operando fica:

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{mx+c-mx_{0}-c}{x-x_{0}}=\frac{m\left( x-x_{0} \right)+\left( c-c \right)}{x-x_{0}}=m\frac{x-x_{0}}{x-x_{0}}=m$

De aqui resulta que Δy = m Δx.

Isto dá um valor exacto e constante para o pendente de uma linha recta e ademais este valor é independente do ponto x₀ que se elegeu para fazer o cálculo (faz falta fixar-se em que o valor x₀ desaparece do equació ao simplificar-a). Em mudança, se a função f não é lineal, isto é, se a sua gráfica não é uma linha recta, então a mudança de y dividido pela mudança de x varia ao variar o ponto x₀ , elegido para fazer o cálculo. A derivació é um método para encontrar um valor exacto por este ritmo de mudança a qualquer valor dado de x₀.

A ideia, tal como se ilustra às figuras 1, 2 e 3, é a de calcular o ritmo de mudança como o valor limite do quocient de diferenças Δy / Δx à medida que Δx acontece infinitamente pequeno.

Na notació de Leibniz, esta mudança infinitesimal de x escreve-se dx, e a derivada de y respeito de x escreve-se

$\frac{dy}{dx} \,\!$

Um tipo de formulació que sugere o quocient entre duas quantidades infinitesimals.^[12]

O enfoque mais comum^[13] que serve para transformar esta ideia intuïtiva numa definição mais precisa utiliza limites, mas há outros métodos como agora a análise não regular que usa directamente números infinitesimals.^[14]

Definições

Derivada de uma função num ponto via o quocient de diferenças

Sia y=f(x) uma função de x ; a derivada de y respeito de x no ponto a é, geomètricament falando, o pendente da recta tangent à gráfica de f no ponto a .O pendente da tangent é muito próximo ao pendente da recta que passa por (a , f(a ))e um ponto muito próximo na gráfica, por exemplo (a + h, f(a + h)). Desta recta se'n diz recta secant. Um valor de h próximo zero dará uma boa aproximação ao pendente da recta tangent, e valores mais pequenos (em valor absoluto) de h darão, em general, melhores aproximações. O pendente da recta secant é a diferencia entre os valores de y neste dois pontos, dividido pela diferencia entre os valores de x . Isto é,

$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$

Esta expressão é o quocient de diferenças de Newton . A derivada é o valor do quocient de diferenças à medida que a secant faz-se mais e mais próxima à tangent. Formalmente, a derivada da função f à é o limite

$f'(a)=\lim_{h\to 0}{f(a+h)-f(a)\over h}$ ^[15]

que é o limite do quocient de diferenças quando h tende a zero, se este limite existe. Se o limite existe, então f é derivable no ponto a .Aqui f′ (a )é uma das múltiplas notacions da derivada (vejais mais abaixo, Notació das derivadas).

Derivada de uma função num ponto via a aproximação lineal da função no ponto

De forma equivalente, a derivada satisfaz a propriedade que

$\lim_{h\to 0}{f(a+h)-f(a) - f'(a)\cdot h\over h} = 0,$

que tem a interpretação intuïtiva (vejais Figura 1) que a recta tangent a f pelo ponto a dá a melhor aproximação lineal

$f(a+h) \approx f(a) + f'(a)h$

a f cerca da (isto é, por valores de h pequenos).

Esta interpretação é a que depois dá o caminho mais fácil para generalizar o conceito de derivada a funções em espaços de dimensão mais grande que 1 (vejais mais abaixo, O Jacobià e o diferencial).

Definição empregando números hiperreals^[16]

O conjunto dos números hiperreals pode-se construir e definir de várias maneiras, a mais curta (apesar que quiçá não a mais clara) é os definir como: uma extensão própria dos números reais.

Intuïtivament é fácil interpretar os número hiperreals finits se considera-se o seguinte resultado: qualquer número hiperreal finit x* pode-se escrever como a soma de dois componentes: um número real x, e um número infinitesimal ε, x* = x + ε

Um número hiperreal ε é um infinitesimal se é mais grande que zero e mais pequeno que qualquer número real. Os números infinitesimals costumam-se a notar com as letras gregas ε e δ.

No conjunto dos números hiperreals, a demès dos números reais, os infinitesimals e os números formados pela soma de um número real e um infinitesimal, também há os números infinitos. Um número hiperreal K é infinito se o seu inverso 1/K é um infinitesimal. Os números infinitos costumam-se a notar com a letra K maiúsculo.

diz-se que dois números hiperreals pertencem à mesma mònada se a sua diferença é um número infinitesimal

diz-se que dois números hiperreals pertencem ao mesmo universo se a sua diferença é finita.

define-se uma função que à cada número hiperreal finit lhe atribui um número real denominado a sua parte regular (é uma função anàloga à função parte entera que à cada número real lhe atribui um número enter). Esta função define-se da seguinte maneira, se x* = x + ε é um número hiperreal finit, então st(x^*)=x

Qualquer função real definida por uma fórmula pode-se estender de maneira natural por tal de obter uma função, o percurso e a imagem da qual sejam no conjunto dos números hiperreals a base de aplicar a fórmula aos número hiperreals. Por exemplo a extensão hiperreal da função f(x)=x² é f^*(x) de forma que f' ^*(x + ε)=(x + ε)²

A partir desta base, definir a derivada é muito singelo.

Empregando números hiperreals o cálculo da derivada num ponto a interpreta-se como calcular o pendente de uma recta secant traçada dentro da mònada da . Esta recta se olha-se no conjunto dos números reais é tangent à recta no ponto a dons a distância entre o ponto a + ε e o ponto a é mais pequena que qualquer número real mais grande que zero.

A derivada de uma função num ponto é a parte estandard do quocient entre o increment da função (de fato a extensão da função) e a increment da variable independente quanto o increment da variable independente é infinitesimal.

${f}'\left( x \right)=st\left( \frac{f^{*}\left( x+\varepsilon \right)-f^{*}\left( x \right)}{\varepsilon } \right)$

Por exemplo

$f\left( x \right)=x^{2}$

${f}'\left( x \right)=st\left( \frac{\left( x+\varepsilon \right)^{2}-x^{2}}{\varepsilon } \right)$

Se a dizer, a derivada da função num ponto calcula-se metendo-se adentro da mònada do ponto, pegando um increment infinitesimal qualquer da variable independente, calculando a increment que se produz na variable dependent e os dividindo, então se sai da mònada negligint os infinitesimals.

Por que a derivada exista faz falta que o quocient seja um número hiperreal finit (senão não esta definida a parte regular), portanto para calcular a derivada se tem de operar para ver se a expressão do quocient se pode chegar a exprimir em forma da soma de um número real mais um infinitesimal. No caso do exemplo:

${f}'\left( x \right)=st\left( \frac{x^{2}+2x\varepsilon +\varepsilon ^{2}-x^{2}}{\varepsilon } \right)=st\left( \frac{2x\varepsilon +\varepsilon ^{2}}{\varepsilon } \right)=st\left( 2x+\varepsilon \right)$

Como que neste caso o resultado é um número hiperreal finit a derivada existe e conforme com a definição da função parte regular vale:

${f}'\left( x \right)=2x$

Porquê $st\left( 2x+\varepsilon \right)=2x$

É pode demonstrar que a derivada está bem definida no sentido que o resultado é sempre o mesmo independentemente do increment infinitesimal que se tenha elegido.

Este enfoque pode-se ver como uma maneira simplificada de falar dos limites (uma forma de construir os números hiperreals é identificar as sucessões que tendem a zero com os infinitesimals) ou como um sistema de números perfeitamente legítimos com os que trabalhar. Desde o ponto de vista practic e pedagògic tem a vantagem que simplifica as expressões, (sobretudo ao trabalhar em temas mais complexos do calcul infinitesimal como as equacions diferencials, as integrals ou a proposta de problemas físicos) e a vantagem que é o método rigoroso que se assembla mais ao pensamento que inicialmente levou tanto a Newton como Euler a desenvolver o cálculo infnitesimal (apesar que Newton fez o esforço de encontrar a maneira de eliminar os infinitesimals dantes do apresentar em público).

Função derivada

Sia f uma função que tem derivada à cada ponto a de o seu domínio. Como que à cada ponto a tem uma derivada, há uma função que à cada ponto a lhe faz corresponder a derivada de f no ponto a .Esta função escreve-se f′(x) e diz-se a função derivada ou a derivada de f . A derivada de f recolhe todas as derivadas de f a todos os pontos do domínio de f .

Às vezes f tem derivada a muitos, mas não a todos, o pontos do seu domínio. A função que à cada ponto a para o que f′(a) está definida lhe faz corresponder f′(a) e que não está definida no resto de pontos, também se diz a derivada de f . Esta função ainda é uma função, mas o seu domínio é estritamente mais pequeno que o domínio de f .

Usando esta ideia, a derivació acontece uma função de funções: A derivada é um operador o domínio do qual é o conjunto de todas as funções que têm derivadas a todos os pontos do seu domínio e o percurso do operador é um conjunto de funções. Se indica-se este operador por D , então D(f) é a função f′(x). Como que D(f) é uma função, se pode avaliar no ponto a .Pela definição da função derivada, D(f)(a ) = f′(a )..

A corte de comparação, considera-se a função f(x) =2x; f que é uma função real sobre os números reais, isto quer dizer que pega números como argumentos e que dá números como resultados:

$\begin{align} 1 &{}\mapsto 2,\\ 2 &{}\mapsto 4,\\ 3 &{}\mapsto 6. \end{align}$

O operador D, em mudança, não está definido sobre números individuais. Só está definido sobre funções:

$\begin{array}{l} \left( {y = 1} \right) \to \left( {y = 0} \right) \\ \left( {y = x} \right) \to \left( {y = 1} \right) \\ \left( {y = x^2 } \right) \to \left( {y = 2x} \right) \\ {\rm{ }} \\ \end{array}$

Como que o resultado de D é uma função, o resultado de D se pode avaliar num ponto. Por exemplo, quanto D aplica-se à função de elevar ao quadrat,

$D\left( {y = x^2 } \right) = \left( {y = 2x} \right)$

Dá a função duplicar, da qual dizemos f'(x). Então esta função resultado pode-se avaliar para obter f(1) = 2, f(2) = 4, e assim.

Exemplo

Encontrar a derivada da função f(x) = x² no ponto x = 3 e encontrar a função derivada desta função.

Se se substitui h por zero, no quocient de diferenças aparece uma divisão entre zero e, portanto, o pendente da recta tangent não se pode encontrar directamente com esta fórmula. Em vez disto, se define Q(h), o quocient da diferença, como uma função de h :

$Q(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ .

Q(h) é o pendente da secant que passa por (a , f(a ))e (a + h, f(a + h)). Se f é uma função contínua, que quer dizer que a sua gráfica é uma curva não rompida sem saltos, então Q é uma função contínua fora do ponto h = 0. Se existe-o, quer dizer que há uma maneira de eleger um valor por Q (0) que faz que a gráfica de Q seja uma função contínua; neste caso a função f é derivable no ponto a ,e a sua derivada à tanto faz a Q (0).

À prática, a existência da extensão contínua do quocient de diferenças Q(h) a h = 0 mostra-se a base de modificar o numerador de forma que se possa cancelar o h do denominador. No caso de funções complicadas, este processo pode ser longo e tediós e, normalmente, usam-se muitas dreceres para poder simplificar-lo.

A função f(x) = x² é derivable no ponto x = 3, e o valor da sua derivada neste ponto é 6. Isto se demonstra a base de escrever o quocient das diferenças tal como segue:

${f(3+h)-f(3)\over h} = {(3+h)^2 - 9\over{h}} = {9 + 6h + h^2 - 9\over{h}} = {6h + h^2\over{h}} = 6 + h.$

Então calcula-se o valor da função simplificada no limite:

$\lim_{h\to 0} 6 + h = 6 + 0 = 6.$

A expressão anterior mostra que o quocient das diferenças tanto faz a 6 + h quando h é diferente de zero, e é indefinido quando h é zero.^[17] Tanmateix, há uma forma natural de encher a gráfica do quocient das diferenças no ponto zero com um valor, neste caso 6. Portanto, o pendente da gráfica da função x quadrat no ponto (3, 9) é 6 e, portanto, a sua derivada a x = 3 é f '(3) = 6.

De forma mais geral, um cálculo similar mostra que a derivada da função num ponto qualquer x dá:

$\frac{f\left( x+h \right)-f\left( x \right)}{h}=\frac{\left( x+h \right)^{2}-x^{2}}{h}=\frac{x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}=\frac{2xh+h^{2}}{h}=2x+h$

Portanto a função derivada f'(x) da função f(x) = x² é

${f}'\left( x \right)=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,2x+h=2x+0=2x$

Naturalmente, a partir de aqui pode-se encontrar também o valor da derivada no ponto 3 avaliando a função derivada no ponto 3:

${f}'\left( 3 \right)=2\cdot 3=6$

Derivadas de ordem superior

Sia f uma função derivable, e sia f′(x) a sua função derivada. A derivada de ′f (x) (se tem uma) escreve-se f′′(x) e diz-se a derivada segunda de f . De forma similar, a derivada da segunda derivada, se existe, escreve-se f′′′(x) e diz-se a derivada terceira de f . Destas derivadas repetidas se'n diz derivadas de ordem superior.

Uma função f não tem porque ter derivada, por exemplo, se não é contínua. Do mesmo modo, inclusive quando f tem derivada, pode ser que não tenha a derivada segunda. Por exemplo, sia

$f(x) = \begin{cases} x^2, & \mbox{si }x\ge 0 \\ -x^2, & \mbox{si}x \le 0\end{cases}$ .

Um cálculo similar ao do exemplo mostra que f é uma função derivable que tem como função derivada

$f'(x) = \begin{cases} 2x, & \mbox{si }x\ge 0 \\ -2x, & \mbox{si }x \le 0\end{cases}$ .

f′(x) é o duplo da função valor absoluto, e esta não tem derivada no ponto zero porque neste ponto à sua gráfica coincidem duas rectas com pendentes diferentes. Exemplos similares mostram que há funções que têm k derivadas por qualquer número k não negativo mas não têm derivada de ordem (k + 1). De uma função que tem k derivadas sucessivas se diz que é k vezes derivable. Se, ademais, a derivada de ordem k é contínuo, então diz-se que a função é de classe C^k. Finalmente, de uma função que tem infinitas derivadas se'n diz uma função infinitamente derivable.

Na recta real, todas as funções polinòmiques são infinitamente derivables. Aplicando as regras de derivació, se um polinomi de grau n deriva-se n golpes, acontece uma função constante, e todas as suas subseqüents derivadas são idènticament zero. Portanto, os polinomis são funções infinitamente derivables.

As derivadas de uma função f num ponto x fornecem aproximações polinòmiques à função na proximidade do ponto x. Por exemplo, se f é derivable dois golpes, então

$f(x+h) \approx f(x) + f'(x)h + \tfrac12 f''(x) h^2$

No sentido que

$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x) - f'(x)h - \frac12 f''(x) h^2}{h^2}=0.$

Se f é infinitamente derivable, então este é o começo da série de Taylor de f .

Continuidade e derivabilitat

Esta função não tem derivada o ponto assinalado, visto que a função não é contínua neste ponto.

Se y = f(x) é derivable no ponto a ,então f também tem de ser contínua no ponto a .Por exemplo, num ponto qualquer a sia f a função degrau que dá um valor, por exemplo 1, por todo x mais pequeno que a ,e dá um valor diferente, por exemplo 10, por todo x mais grande ou igual que a .A função f não pode ter derivada à . Se h é negativo, então a + h é à parte baixa do degrau, portanto a recta secant entre a e a + h será muito pendente, e à medida que h tende a zero, o pendente tende a infinito. Se h é positivo, então a + h é à parte alta do degrau, portanto a secant entre a e a + h será horitzontal e terá pendente zero. Em consequência a recta secant não se aproxima a um único pendente, portanto o limite do quocient das diferenças não existe.^[18]

A função valor absoluto é contínua, mas não é derivable a x = 0 visto que tem um canto agudo.

Em mudança, inclusive se uma função é contínua num ponto, pode ser que não seja derivable neste ponto. Por exemplo, a função valor absoluto y = |x| é contínuo a x = 0, mas não é derivable. Se h é positivo, então o pendente da secant desde 0 a h é 1, enquanto que se h é negativo, então o pendente da secant desde 0 a h é -1. Isto se pode ver gràficament como um "plec" à gráfica a x = 0. Inclusive uma função com uma gráfica suave não é derivable num ponto quanto a tangent neste ponto é vertical: Por exemplo, a função y = ³√x não é derivable a x = 0.

A maioria das funções que aparecem à prática têm derivada a todos os pontos ou quase a todos os pontos. Em mudança, um resultado de Stefan Banach estabelece que o conjunto das funções que têm derivada em algum ponto é um conjunto magre no espaço de todas as funções contínuas (isto é, não há cabe meio no conjunto das funções contínuas onde o subconjunt das funções derivables em algum ponto seja denso).^[19] De maneira informal, isto significa que as funções derivables son muito raras entre as funções contínuas. O primeiro exemplo conhecido de uma função que é contínua a todo por todos os lados mas que não é derivable enlloc, é a função de Weierstrass.

Notacions da derivada

Artigo principal: Notació da derivada

Função F: primitiva de f.	função f: derivada de F.
$f\left(x\right) = k$	$f'\left(x\right) = 0$
$f\left(x\right) = x$	$f'\left(x\right) = 1$
$f\left(x\right) = x^n$	$f'\left(x\right) = nx^{n-1}$
$f\left(x\right) = \sqrt{x}$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$f\left(x\right) = e^x$	$f'\left(x\right) = e^x$
$f\left(x\right) = \ln(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{x}$
$f\left(x\right) = a^x (a > 0)$	$f'\left(x\right) = a^x \ln(a)$
$f\left(x\right) = \log_{b}(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{ln{b}}\frac{1}{x}$
$f\left(x\right) = \frac{1}{x^n} = (x^n)^{-1} = x^{-n}$	$f'\left(x\right) = -nx^{-n-1}$
$f\left(x\right) = \sin(x)$	$f'\left(x\right) = \cos(x)$
$f\left(x\right) = \cos(x)$	$f'\left(x\right) = -\sin(x)$
$f\left(x\right) = \operatorname{tg}(x)$	$f'\left(x\right) = \sec^2(x)$
$f\left(x\right) = \operatorname{cosec}(x)$	$f'\left(x\right) = -\operatorname{cosec}(x)\operatorname{cotg}(x)$
$f\left(x\right) = \sec(x)$	$f'\left(x\right) = \sec(x)\operatorname{tg}(x)$
$f\left(x\right) = \operatorname{cotg}(x)$	$f'\left(x\right) = -\operatorname{cosec}^2(x)$
$f\left(x\right) = \arcsin(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$f\left(x\right) = \arccos(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
$f\left(x\right) = \operatorname{arctg}(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{1+x^2}$

Nome	Regra
Linealitat da derivació	$D[\alpha f(x)+ \beta g(x)] = \alpha f'(x) + \beta g'(x)\,$ ^[21] $\qquad \alpha, \beta \in \R$
Regra do produto (ou de Leibniz )	$D [ {f(x)g(x)}] = D [ f(x) ] \cdot g(x) + f(x) \cdot D [ g(x) ]$
Regra de Leibniz (ou do produto generalizada)	$(f \cdot g)^{(n)}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(k)} g^{(n-k)}$
Regra do quocient	$D {f(x) \over g(x)} = {f'(x)g(x) - f(x)g'(x) \over g(x)^2}$
Regra da razão inversa de uma função	$D{1 \over f(x)} = -{f'(x) \over f(x)^2}$
Regra da função inversa	$D \left( f^{-1} (x) \right) = {1 \over f'( f^{-1}(x))}$
Regra da corrente	$D \left[ f \left( g(x) \right) \right] = f' \left( g(x) \right) \cdot g'(x)$
Regra da função implícita	$\frac{dy}{dx}=-\frac{{\partial F}/{\partial x}\;}{{\partial F}/{\partial y}\;}\quad F\left( x,y \right)=0$
Regra da potenciació funcional	$(f^g)' = f^g\left(g'\ln f + {gf' \over f} \right)\quad$

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