Álgebra de Envolva

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Em matemática]], um álgebra de Envolva é laa estrutura algebraica que descreve um conjunto de transformação infinitesimal|transformações infinitesimales]]. Seu uso principal reside no estudo de objectos geométricos tais como grupos de Envolva e variedades diferenciables. O termo "álgebra de Envolva" (referido a Sophus Envolva) foi criado por Hermann Weyl nos anos 30, para o que se denominava "grupo infinitesimal".

Índice 1 Definição 2 Exemplos 3 Homomorfismos, subálgebras e ideais 4 Classificação das álgebras de Envolva 5 Temas relacionados

Definição

Um álgebra de Envolva A é um espaço vectorial sobre um verdadeiro corpo F junto com uma operação binaria [·, ·] : A × A -> A, telefonema corchete de Envolva, que satisfaz as propriedades seguintes:

• é bilineal, isto é, [a x + b e, z] = a [x, z] + b [e, z] e [z, a x + b e] = a [z, x] + b [z, e] para tudo a, b em F' e todo o x, e, z em A.

• satisfaz a identidade de Jacobi, isto é, [[x, e], z] + [[z, x], e] + [[e, z], x] = 0 pára todo o x, e, z em A.

• [x, x] = 0 pára todo o x em A.

Observe que a primeira propriedade e a terça juntas implicam [x, e] = − [e, x] para todo o x, e em A ("anti-simetría") se o corpo F é de característica diferente de dois. Observe também que a multiplicación representada pelo corchete de Envolva não é, em general, asociativa, isto é, [[x, e], z] não necessariamente tanto faz a [x, [e, z]].

Exemplos

• A cada espaço vectorial converte-se em um álgebra de Envolva abeliana trivial se definimos o corchete de Envolva como identicamente zero.

• O espaço euclídeo converte-se em um álgebra de Envolva com o corchete de Envolva dado pelo produto vectorial.

• Se dá-se um álgebra asociativa A com a multiplicación * , pode-se dar um álgebra de Envolva definindo [x, e] = x * e − e * x. esta expressão chama-se o conmutador de x e e.

• Inversamente, pode ser demonstrado que a cada álgebra de Envolva se pode submergir em outra que surja de um álgebra asociativa dessa maneira.

• Outro exemplo importante vem da topología diferencial: o campos vectoriais em uma variedad diferenciable formam um álgebra de Envolva de dimension infinita. Estes campos vectoriais actuam como operadores diferenciais sobre as funções diferenciables sobre a variedad. Dados dois campos vectoriais X e E, o corchete de Envolva [X, E] define-se como:

[X, E] f = (XY − YX) f

e pode comprovar-se que este operador corresponde a um campo vectorial. As generalizações adequadas da teoria de variedadé ao caso de dimensão infinita mostra que este álgebra de Envolva é asa associada (ver seguinte ponto) ao grupo de Envolva dos difeomorfismos da variedad.

• No caso de uma variedad que seja um grupo de Envolva G a sua vez, um subespacio dos campos vectoriais fica inalterado pelas transformações dadas pelo próprio grupo, no sentido de que na cada ponto g do mesmo, o campo não é mais que:

X(g) = dl_g(X(e))

Este subespacio é de dimensão finita (e igual à do grupo), dado que corresponde-se com o espaço tangente na identidade. Ademais herda a estrutura de álgebra de Envolva definida no ponto anterior, e denomina-se-lhe o álgebra de Envolva sócia ao grupo G.

• Como exemplo concreto, consideremos o grupo de Envolva SL(n, R) de todas as matrices com valores reais e determinante 1. O espaço tangente na matriz identidade pode-se identificar com o espaço de todas as matrices reais com traça 0 e a estrutura de álgebra de Envolva que vem do grupo de Envolva coincide com o que surge do conmutador da multiplicación de matrices.

Homomorfismos, subálgebras e ideais

Um homomorfismo φ : A -> B entre as álgebra de Envolva A e B sobre o mesmo corpo de base F é uma função F-lineal tal que [φ(x),φ(e)] =φ([x, e]) para todo o x e e em A. A composição de tais homomorfismos é outra vez um homomorfismo, e as álgebras de Envolva sobre o corpo F, junto com estes morfismos, formam uma categoria. Se tal homomorfismo é Função biyectiva|biyectivo]], chama-se um isomorfismo, e as duas álgebras de Envolva A e B chamam-se isomorfas. Para todos os efeitos práticos, as álgebras de Envolva isomorfas são idênticas.

Uma subalgebra do álgebra de Envolva A é um subespacio vectorial B de A tal que [x, e] ∈ B para todo o x, e ∈ B. i.e. [B, B] ⊆ B. A subalgebra é então um álgebra de Envolva.

Um ideal do álgebra de Envolva A é um subespacio vectorial I de A tais que [a, e ] ∈ I pára toda a ∈ A e e ∈ I. i.e. [A, I] ⊆ I. Todos os ideais são subalgebras. Se I é um ideal de A, então o espaço cociente A/I converte-se em uma álgebra de Envolva definindo [x + I, e + I] = [x, e] + I pára todo o x, e ∈ A. Os ideais são precisamente o núcleos de homomorfismos, e o teorema fundamental sobre homomorfismos é válido para as álgebras de Envolva.

Classificação das álgebras de Envolva

As álgebras de Envolva reais e complexas pode-se classificar até um verdadeiro grau, e esta classificação é um passo importante para a classificação dos grupos de Envolva. A cada álgebra de Envolva real ou complexa finito-dimensional apresenta-se como o álgebra de Envolva de um único grupo de Envolva simplesmente conexo real ou complexo (teorema de Ado), mas pode ter mais de um grupo, ainda mais de um grupo conexo, dando lugar à mesma álgebra. Por exemplo, os grupos SO(3) (matrices ortogonales 3×3 de determinante 1) e SEU(2) (matrices unitarias 2×2 de determinante 1), ambos dão lugar à mesma álgebra de Envolva, a saber R'³ com o produto vectorial. Um álgebra de Envolva é abeliana se o corchete de Envolva anula-se, isto é [x, e] = 0 pára todo o x e e. Mais geralmente, um álgebra de Envolva A é nilpotente se a série central descendente

A ⊇ [A, A] ⊇ [[A, A]], A] ⊇ [[[A, A]], A], A] ⊇...

acaba fazendo-se zero. Pelo teorema de Engel, um álgebra de Envolva é nilpotente se e só se para a cada x em A, a função ad(x): A -> A definida por :ad(x)(e) = [x, e] é nilpotente. Mais geralmente ainda, um álgebra de Envolva A é soluble se a série derivada

A ⊇ [A, A] ⊇ [[A, A]], [A, A]] ⊇ [[[A, A]], [A, A]],[[A, A]], [A, A]]] ⊇ ...

acaba fazendo-se zero. Uma subálgebra soluble maximal chama-se uma subálgebra de Borel.

Um álgebra de Envolva A chama-se semisimple se o único ideal soluble de A é trivial. Equivalente, A é semisimple se e somente se a forma de Killing K(x, e) = tr(ad(x)ad(e)) é não-degenerada; aqui tr denota o operador de traça. Quando o corpo F é de característica zero, A é semi-simples se e somente se a cada representação é totalmente reducible, isto é, que para a cada subespacio invariante da representação há um complemento invariante (teorema de Weyl). Um álgebra de Envolva é simples se não tem nenhum ideal não trivial. Em particular, um álgebra de Envolva simples é semi-simples, e mais geralmente, as álgebras de Envolva semi-simples são soma directa de simples. As álgebras de Envolva complexas semi-simples classificam-se através de seus sistemas de raiz.

Temas relacionados

• super álgebra de Envolva

• Algebroide de Envolva
• E8 (matemáticas)em:Envolva algebratenho:אלגברת ליcá:ლის ალგებრა