Área

área - Wikilingue - Encydia

Conteúdo

1 História
2 Área de figuras planas
3 Área de superfícies curvas
- 3.1 Superfície de revolução
- 3.2 Cálculo geral de áreas
4 Unidades de medida de superfícies
- 4.1 Sistema métrico (SE)
- 4.2 Sistema anglosajón de unidades
5 Veja-se também
6 Referências
7 Bibliografía
8 Enlaces externos

Este artigo trata sobre o conceito geométrico. Para outros usos deste termo, veja-se Área (desambiguación).

Área é a extensão ou superfície compreendida dentro de uma figura (de duas dimensões), expressada em unidades de medida denominadas superficiais. Para superfícies planas o conceito é intuitivo. Qualquer superfície plana de lados rectos pode triangularse e pode-se calcular sua área como soma de seus triângulos.

No entanto, para calcular a área de superfícies curvas requer-se introduzir métodos de geometria diferencial.

Para poder definir a área de uma superfície em general –que é um conceito métrico–, se tem que ter definido um tensor métrico sobre a superfície em questão: quando a superfície está dentro de um espaço euclídeo, a superfície herda uma estrutura métrica natural induzida pela métrica euclídea.

História

A ideia de que a área é a medida que proporciona o tamanho da região encerrada em uma figura geométrica prove da antigüedad. No Antigo Egipto, depois da crescida anual de rio Nilo inundando os campos, surge necessidade de calcular a área da cada parcela agrícola para restabelecer seus limites; para solventar isso, os egípcios inventaram a geometria, segundo Heródoto.^[1]

O modo de calcular a área de um polígono como a soma das áreas dos triângulos, é um método que foi proposto pela primeira vez pelo sábio grego Antifón para o ano 430 a. C. Achar a área de uma figura curva entranha mais dificuldade. O método de agotamiento consiste em inscrever e cincunscribir polígonos na figura geométrica, aumentar o número de lados de ditos polígonos e achar a área procurada. Com este sistema, que se conhece como método de exhausción de Eudoxo , conseguiu achar a fórmula para calcular a área de um círculo. Dito sistema foi empregue tempo depois por Arquímedes para resolver outros problemas similares,^[2] bem como o cálculo aproximado do número π

Área de figuras planas

Área de um triângulo

A área de um triângulo calcula-se mediante a seguinte fórmula:^[3]

$A =\frac{b\cdot h}{2}$

onde b é a base do triângulo e h é a altura correspondente à base. (pode-se considerar qualquer lado como base)

Se o triângulo é retângulo, a altura coincide com um dos catetos, e a fórmula ficaria da seguinte forma:

$A =\frac{a\cdot b}{2}$

onde a e b são os catetos.

Se o que conhecemos é a longitude de seus lados aplicamos a fórmula de Herón.

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

onde a, b , c são os valores das longitudes de seus lados s = ½ (a + b + c) é o semiperimetro do triângulo.

Se o triângulo é equilátero, de lado a ,sua área está dada por

$A =\frac{\sqrt{3}\cdot a^2}{4}$

Áreas.

Área de um cuadrilátero

O retângulo é um paralelogramo cujos ângulos são todos de 90º; a área seria a multiplicação de duas de seus lados contíguos a e b:^[3]

$A = a \cdot b \,$

O rombo, cujos 4 lados são iguais, tem sua área dada pelo semiproducto de suas duas diagonais:

$A = \frac{D\cdot d}{2}$

O quadrado é o polígono regular de quatro lados, é ao mesmo tempo um retângulo e um rombo, pelo que sua área pode ser calculada da mesma maneira que a destes dois. Em particular, dado que seus lados são iguais, usa-se a fórmula:^[3]

$A = l \cdot l \, = l^2$

O romboide tem sua área dada pelo produto um de seus lados e sua altura respectiva:^[3]

$A = b\cdot h\,$

O trapecio (que tem dois lados paralelos entre si e dois lados não paralelos) cuja área vem dada pela média aritmética de seus lados paralelos multiplicado pela distância entre eles (altura):^[3]

$A = \frac{1}{2}h(B+d)$

O trapezoide ou cuadrilátero totalmente irregular que tem seus quatro ângulos diferentes e lados de longitudes desiguais. Neste caso a área pode-se obter mediante triangulação sendo:

$A = \frac{1}{2}\left(a_1a_2 \sin \alpha + b_1b_2 \sin \beta \right)$

Sendo:

$\alpha\,$ o ângulo compreendido entre os lados $a_1\,$ e $a_2\,$ .

$\beta\,$ o ângulo compreendido entre os lados $b_1\,$ e $b_2\,$ .

Área do círculo e a elipse

A área de um círculo, ou a delimitada por uma circunferencia, calcula-se mediante a seguinte expressão matemática:^[4]

$A = \pi \cdot r^2\,$

A área delimitada entre a gráfica de duas curvas pode calcular mediante a diferença entre as integrales de ambas funções.

A área delimitada por uma elipse é similar e obtém-se como produto do semieje maior pelo semieje menor multiplicados por π:^[5]

$A = \pi \cdot a \cdot b$

Área delimitada entre duas funções

Uma forma para achar a área delimitada entre duas funções, é utilizando o cálculo integral:

$A(a,b) = \int^b_a | f(x) - g(x) | dx$

O resultado desta integral é a área compreendida entre as curvas: $f(x)\,$ e $g(x) [< f(x)]\,$ no intervalo $[a,b]\,$ .

Exemplo

Se quer-se achar a área delimitada entre o eixo x e a função $f(x) = 4 - x^2$ no intervalo $[-2;2]$ , utiliza-se a equação anterior, neste caso: $g(x)=0$ então avaliando a integral, obtém-se:

$A(-2,2) = \int^2_{-2} | 4 - x^2 - 0 | dx = 2 \int^2_0 4 - x^2 dx = 2 \left[ 8 - \left(\frac{2^3 - 0}{3}\right) \right] = \frac{32}{3}$

Pelo que se conclui que a área delimitada é $\frac{32}{3}$ .

O volume encerrado entre duas funções também pode ser reduzido ao cálculo de uma integral, similar.

Área de superfícies curvas

A área de uma superfície curva é mais complexo e em general supõe realizar algum tipo de idealización ou limite para medí-lo.

Quando a superfície é desarrollable, como sucede com a área lateral de um cilindro ou de um cone a área da superfície pode se calcular a partir da área desenvolvida que sempre é uma figura plana. Uma condição matemática necessária para que uma superfície seja desarrollable é que sua curvatura gaussiana seja nula.
Quando a superfície não é desarrollable, o cálculo da superfície ou a fórmula analítica para encontrar dito valor é mais trabajoso. Um exemplo de superfície não desarrollable é a esfera já que sua curvatura gaussiana coincide com o inverso de sua rádio ao quadrado, e por tanto não é zero. No entanto a esfera é uma superfície de revolução.

Superfície de revolução

Uma superfície de revolução gerada por um trecho da curva e=2+cos x rotacionado ao redor do eixo x.

Quando uma superfície curva pode ser gerada fazendo girar uma curva plana ou generatriz ao redor de um eixo directriz, a superfície resultante se chama superfície de revolução e sua área pode ser calculada facilmente a partir da longitude da curva generatriz que ao girar conforma a superfície. Se e=f(x) é a equação que define um trecho de curva, ao girar esta curva ao redor do eixo X se gera uma superfície de revolução cuja área lateral vale:

$A_r(a,b) = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+\left(\frac{df(x)}{dx}\right)^2}\ dx$

Cálculo geral de áreas

Mediante a geometria diferencial de superfícies ou mais geralmente a geometria riemanniana pode calcular-se a área de qualquer superfície curva finita. Se a superfície vem dada pela função explícita z = f(x, e) então, dada uma região Ω contida em uma superfície sua área resultar ser:

$A(\Omega) = \iint_\Omega \sqrt{1+ \left(\frac{\partial f}{\partial x} \right )^2+ \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right )^2} dxdy$

De maneira um pouco mais geral se conhecemos a equação paramétrica da superfície em função de duas coordenadas quaisquer ou e v então a área anterior pode escrever-se como:

$A(\Omega) = \iint_\Omega \sqrt{EG-F^2}\ dudv$

Onde E, F e G são as componentes do tensor métrico ou primeira forma fundamental da superificie nas coordenadas paramétricas ou e v.

Unidades de medida de superfícies

Artigo principal: Unidades de superfície

Sistema métrico (SE)

Múltiplos:

Quilómetro quadrado: 10⁶ metros quadrados
Hectómetro quadrado ou Hectare: 10⁴ metros quadrados
Decámetro quadrado ou Área: 10² metros quadrados

Unidade básica:

metro quadrado: unidade derivada do SE

Submúltiplos:

Decímetro quadrado: 10^-2 metros quadrados
Centímetro quadrado: 10⁻⁴ metros quadrados
Milímetro quadrado: 10⁻⁶ metros quadrados

barn: 10⁻²⁸ metros quadrados

Sistema anglosajón de unidades

As unidades mais usadas do sistema anglosajón são:

Veja-se também

Referências

↑ Heródoto Histórias, Livro II.
↑ O problema da área: fca.unl.edu.ar
↑ ^a ^{b c} ^d ^e Spiegel e Abellanas, 1992, p.9
↑ Spiegel e Abellanas, 1992, p. 10
↑ Spiegel e Abellanas, 1992, p. 11

Bibliografía

Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992). McGraw-Hill (ed.). Fórmulas e tabelas de matemática aplicada, Aravaca (Madri). ISBN 84-7615-197-7.

Enlaces externos

O problema da área, em fca.unl.edu.ar.
O valor da área representada graficamente, em fca.unl.edu.ar.mhr:Кумдыкmwl:Ária

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Categoria: Geometria elementar

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