Átomo hidrogenoide

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Os átomos hidrogenoides são átomos formados por um núcleo e um sozinho elétron. Chamam-se assim porque são isoelectrónicos com o átomo de hidrógeno e, por tanto, terão um comportamento químico similar.

Evidentemente, qualquer dos isótopos do hidrógeno é hidrogenoide. Um caso típico de átomo hidrogenoide é também o de um átomo de qualquer elemento que se tem ionizado até perder todos os elétrons menos um (por exemplo, Tenho⁺, Li²⁺, Bê³⁺ e B⁴⁺). Existem ademais multidão de átomos exóticos que também têm um comportamento hidrogenoide por motivos diversos.

Conteúdo

1 Introdução
2 Caracterização matemática
3 Referência
- 3.1 Notas
- 3.2 Bibliografía
4 Veja-se também

Introdução

Como no caso do átomo de hidrógeno os átomos hidrogenoides são um dos poucos problemas mecânico cuánticos que se podem resolver de forma exacta. Os átomos ou iones cuja capa de valencia está constituída por um único elétron (por exemplo nos metais alcalinos) têm propriedades espectroscópicas e de enlace semelhantes às dos átomos hidrogenoides.

A configuração electrónica mais simples possível é a de um único elétron. A resolução analítica do átomo de hidrógeno neutro que possui a mesma quantidade de elétrons, isto é um, é em esencia a mesma para os átomos hidrogenoides. Por conseguinte a forma dos orbitais e os níveis de energia serão semelhantes.

Pelo contrário, para átomos com dois ou mais elétrons a resolução das equações só se pode fazer mediante métodos aproximativos. Os orbitais de átomos multielectrónicos são qualitativamente similares aos orbitais do hidrógeno e, nos modelos atómicos mais simples, considera-se que têm a mesma forma. Mas se pretende-se realizar um cálculo rigoroso e preciso ter-se-á que recorrer a aproximações numéricas.

Os orbitais dos átomos hidrogenoides identificam-se mediante três números cuánticos: n, l, e _{m l}. As regras que restringem os valores dos números cuánticos e suas energias (ver mais abaixo) explicam a configuração electrónica dos átomos e a conformación da tabela periódica.

Os estados estacionários (estados cuánticos) dos átomos hidrogenoides são seus orbitais atómicos. Apesar de tudo, em general, o comportamento de um elétron não está plenamente descrito por um orbital simples. Os estados electrónicos representam-se melhor como "misturas" dependentes do tempo (combinações lineares) de vários orbitais. Ver Orbitais moleculares por combinação linear de orbitais atómicos.

O número cuántico n apareceu pela primeira vez no modelo atómico de Bohr. Determina, entre outras coisas, a distância dos elétrons com respeito ao núcleo. Todos os elétrons com o mesmo valor de n formam um nível ou capa. Os elétrons com idêntico número n mas diferente l compõem os chamados subniveles ou subcapas. O modelo atómico de Sommerfeld que incorporava um refinamiento relativista do elétron provou que a energia dependia também dos outros números cuánticos tal como se aprecia na solução relativista mediante a equação de Dirac.

Caracterização matemática

A caracterização dos átomos hidrogenoides realiza-se no marco da mecânica cuántica, já que devido às dimensões de ditos sistemas físicos nem a mecânica clássica que descreve adequadamente o movimento de partículas macroscópicas a velocidades moderadas, nem o electromagnetismo clássico são aplicáveis a escalas tão pequenas. Dentro da mecânica cuántica uma primeira aproximação obtém-se mediante a equação de Schrödinger que prediz qualitativamente todas as características importantes dos estados estacionários dos átomos hidrogenoides e perimte obter valores cuantitativos muito precisos para quase todas as magnitudes. Um refinamiento deste tratamento é a análise relativista mediante a equação de Dirac que prediz pequenas correcções às soluções obtidas da análise não-relativista mediante a equação de Schrödinger.

Potencial electrostático

Os orbitais atómicos dos átomos hidrogenoides são as soluções da equação de Schrödinger para o caso de um potencial de simetría esférica. Neste caso, o termo de potencial é o potencial da lei de Coulomb:

$V = -\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Ze^2}{r}$

onde

ε₀ é a permitividad do vazio,
Z é o número atómico,
e é o ónus elementar,
r é a distância entre o elétron e o núcleo.

Função de onda não relativista

Como o potencial tem simetría esférica é possível separar o movimento do centro de massas do movimento relativo entre elétron e núcleo. Assim, o movimento relativo se pode tratar como o movimento de uma partícula cuja massa é a massa reduzida, $\mu$ , do sistema. Desta maneira, a função de onda é uma função de só três variáveis espaciais. Depois de eliminar a dependência temporária, a equação de Schrödinger é uma equação em derivadas parciais de três variáveis. Como o potencial tem simetría esférica é conveniente utilizar as coordenadas esféricas para obter as soluções, aplicando para isso o método de separação de variáveis. Desta forma qualquer autofunción ψ pode escrever-se como um produto de três funções que costumam escrever da forma seguinte:

$\psi(r, \theta, \phi) = R(r)f(\theta)g(\phi) \,\!$

onde θ representa o ângulo polar (colatitud) e $\phi \,$ o ângulo azimutal.

De acordo com a interpretação probabilística da função de onda, esta deverá estar padrão a 1, pelo que acrescentar-se-á uma constante de normalização. O resto da equação separa-se entre a parte radial representada pela função de onda radial que incorporará a constante de normalização e a angular representada pelos harmônicos esféricos. Todas estas funções serão dependentes dos três números cuánticos dantes citados, n, l e m. Assim, se tem o seguinte:

$\psi(r, \theta, \phi) = R_{nl}(r)Y_{l,m}(\theta,\phi) \,\!$

Os números cuánticos não são independentes uns de outros pelo que o número de combinações possíveis destas funções está limitado. As restrições são as seguintes:

$n = 1, 2, 3, ... \,\!$

$l = 0, 1, 2, ..., n - 1 \,\!$

$m = -l, -(l-1), ... , 0 , ..., l-1 , l \,\!$

A função radial já padrão se representa como:

$R_{nl}(r) = - \left [ \frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^3} \right ]^{1/2} \left ( \frac{2Z}{na_\mu} \right )^{l+3/2}r^{l}e^{-\frac{Zr}{na_\mu}}L_{n+l}^{2l+1} \left(\frac{2Zr}{na_\mu} \right )$

Sendo $L_{n+l}^{2l+1} \left(\frac{2Zr}{na_\mu} \right )$ as funções associadas de Laguerre e $a_\mu = {{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}\over{\mu e^2}}$ . Note-se que $a_\mu\,$ é aproximadamente igual à rádio de Bohr, $a_0\,$ . Se a massa do núcleo é infinita então $\mu=m_e\,$ e $a_\mu=a_0\,$ .

No entanto, é mais habitual encontrar as autonfunciones expressadas em função da função radial reduzida: $P_{nl}=rR_{nl} \,\!$

Por conseguinte a função de onda fica como segue:

$\psi_{nlm}(\theta,\phi,r)=\frac{P_{nl}(r)}{r}Y_{l,m}(\theta, \phi )= - \left [ \frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^3} \right ]^{1/2} \left ( \frac{2Z}{na_\mu} \right )^{l+3/2}r^{l+1}e^{-\frac{Zr}{na_\mu}}L_{n+l}^{2l+1} \left(\frac{2Zr}{na_\mu} \right )Y_{l,m}(\theta, \phi )$

Níveis de energia não relativista

No caso dos átomos hidrogenoides ao não ter interacções entre elétrons, pois só há um, a energia dos orbitais atómicos pode ser calculada analiticamente de forma exacta. Os valores de energia permitidos são

$E_{n} = - \frac{\mu e^4}{(4 \pi \epsilon_0)^2\hbar^2} \frac{Z^2}{2n^2}$ .

Habitualmente considera-se $\mu=m_e\,$ , pelo que os valores de energia se expressam como:

$E_n=-\frac{1}{2}\frac{Z^2}{n^2}E_h$

onde $E_h\,$ é a unidade atómica de energia ou Hartree. Como se pode ver, a fórmula só depende do número cuántico principal. Isto confere aos diferentes estados de energia o que se denomina degeneração acidental. Por exemplo para n=2 existem quatro estados possíveis, 200, 210, 21+1 e 21-1, com a mesma energia para $l=0$ que pára $l=1$ . Mas dado que a função de energia só depende de n e não de l , todos eles terão, em princípio, a mesma energia (a degeneração em m é consequência da invariancia baixo rotações de todos os potenciais centrais). Esta aproximação na medida dos níveis de energia recebe o nome de estrutura grossa. No entanto, o facto de que a degeneração seja acidental é como não aparece para outros potenciais centrais, senão justo para um potencial que decaiga exactamente como o de Coulomb , ou seja, exactamente com o inverso da distância. Classicamente esta dependência com a distância na energia potencial faz que se possa construir uma quantidade vectorial (o vetor de Runge-Lenz) que permanece constante no movimento. Quanticamente, as componentes do operador vectorial que representam ao observable de Runge-Lenz não comutam com o momento angular orbital ao quadrado, o qual garante que tenhamos estados linealmente independentes com o mesmo autovalor da energia e diferente autovalor do momento angular orbital ao quadrado: ou seja, o que temos chamado degeneração acidental. Em realidade, existem três correcções diferentes que fazem variar sensivelmente o valor da energia de ditos níveis rompendo essa degeneração. É a denominada estrutura fina do átomo de hidrógeno ou hidrogenoide. Nos átomos multielectrónicos na aproximação de campo central, o potencial "apantallado" que sentem os elétrons e que tem em conta em parte a repulsión interelectrónica já não é Coulomb (não decae com o inverso da distância ao núcleo) e não há degeneração acidental.

Função de onda relativista

A equação de Schrödinger aplicada a elétrons é só uma aproximação não relativista à equação de Dirac que dá conta tanto do efeito do spin do elétron. No tratamiendo de Dirac dos elétrons aliás a função de onda deve substituir-se por um espinor de quatro componentes:

$\psi_{n,jm}^{(\pm)} (r,\theta, \phi) = \begin{Bmatrix} \cfrac{iG_{n,lj}(r)}{r} \boldsymbol{\varphi}_{jm}^{(\pm)} \\ \cfrac{F_{n,lj}(r)}{r} (\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat\mathbf{r}) \boldsymbol{\varphi}_{jm}^{(\pm)} \end{Bmatrix}$

Onde as funciones F e G se expressam em termos de funções hipergeométricas:

$F_{n,lj}(r) = \left(1+\frac{E}{mc^2}\right)e^{-\frac{\rho}{2}}(F_1(\rho)+F_2(\rho)), \qquad G_{n,lj}(r) = \left(1-\frac{E}{mc^2}\right)e^{-\frac{\rho}{2}}(F_1(\rho)-F_2(\rho)),$

A modo de comparação com o caso não relativista se dão a seguir a forma explícita do espinor de funções de onda do estado fundamental:

$\psi_{n=1,j=\frac{1}{2},m=+\frac{1}{2}} (r,\theta, \phi) = \frac{(2mZ\alpha)^{3/2}}{(4\pi)^{1/2}}\left( \frac{1+\gamma}{2\Gamma(1+2\gamma)} \right)^{1/2} (2mZ\alpha r)^{\gamma-1}e^{-mZ\alpha r} \begin{Bmatrix} 1 \\ 0 \\ \cfrac{i(1-\gamma)}{Z\alpha}\cos \theta \\ \cfrac{i(1-\gamma)}{Z\alpha}\sin \theta e^{i\varphi} \end{Bmatrix}$
$\psi_{n=1,j=\frac{1}{2},m=-\frac{1}{2}} (r,\theta, \phi) = \frac{(2mZ\alpha)^{3/2}}{(4\pi)^{1/2}}\left( \frac{1+\gamma}{2\Gamma(1+2\gamma)} \right)^{1/2} (2mZ\alpha r)^{\gamma-1}e^{-mZ\alpha r} \begin{Bmatrix} 1 \\ 0 \\ \cfrac{i(1-\gamma)}{Z\alpha}\sin \theta e^{-i\varphi} \\ \cfrac{i(1-\gamma)}{Z\alpha}\cos \theta \end{Bmatrix}$

O limite não relativista se obtém fazendo tender $\gamma := \sqrt{1-Z^2\alpha^2} \to 1$ , isto é, fazendo tender a constante de estrutura fina a zero.

Níveis de energia relativista

O tratamento dos elétrons mediante a equação de Dirac só supõe pequenas correcções aos níveis dados pela equação de Schrödinger. Talvez o efeito mais interessante é o desaparecimento da degeneração dos níveis, pelo efeito da interacção espín-órbita consistente em que os elétrons com valores diferentes do terceiro número cuántico m (número cuántico magnético) têm diferentes energia devido ao efeito sobre eles do momento magnético do núcleo atómico. Aliás os níveis energéticos vêm dados por:^[1]

$E_n = m_ec^2\sqrt{1+\left( \frac{Z\alpha}{n-|m|+\sqrt{m^2+(Z\alpha)^2}} \right)^2}$

Onde:

$m_e\;$ , é a massa do elétron.

$c\; \alpha$ , são a velocidade da luz e a constante de estrutura fina.

$Z, n, m\;$ , são o número de protones do núcleo, o número cuántico principal e o número cuántico magnético.

Se se prescinde da energia associada à massa em repouso do elétron estes níveis podem resultam próximos aos preditos pela equação de Schrödinger, especialmente no caso m = 0:

$E_n -m_ec^2 \approx \frac{m_e}{2}\left( \frac{Z\alpha}{n-|m|+\sqrt{m^2+(Z\alpha)^2}} \right)^2$

Referência

Notas

↑ Hydrogenic Solutions of Dirac's Equation

Bibliografía

Veja-se também

Modelo:ORDENAR:Atomo hidrogenoide

Obtido de http://ks312095.kimsufi.com../../../../articles/a/r/t/Artes_Visuais_Cl%C3%A1sicas_b9bf.html"

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