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Análise numérica

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A análise numérica ou cálculo numérico é o ramo das matemáticas que se encarrega de desenhar algorítmos para, através de números e regras matemáticas simples, simular processos matemáticos mais complexos aplicados a processos do mundo real.

Conteúdo

Introdução geral

A análise numérica é um ramo das matemáticas cujos limites não são do todo precisos. De uma forma rigorosa, pode-se definir como a disciplina ocupada de descrever, analisar e criar algorítmos numéricos que nos permitam resolver problemas matemáticos, nos que estejam envolvidas quantidades numéricas, com uma precisão determinada.

No contexto do cálculo numérico, um algorítmo é um procedimento que nos pode levar a uma solução aproximada de um problema mediante um número finito de passos que podem se executar de maneira lógica. Em alguns casos, dá-se-lhes o nome de métodos construtivos a estes algorítmos numéricos.

A análise numérica cobra especial importância com a chegada dos computadores. Os computadores são úteis para cálculos matemáticos extremamente complexos, mas em última instância operam com números binários e operações matemáticas simples.

Desde este ponto de vista, a análise numérica proporcionará todo o andamiaje necessário para levar a cabo todos aqueles procedimentos matemáticos susceptíveis de se expressar algorítmicamente, se baseando em algorítmos que permitam sua simulação ou cálculo em processos mais singelos empregando números.

Conceitos gerais

A partir de aqui, aparece um conceito adicional, o de erro. Este conceito aparece como consequência da natureza finita dos computadores que só podem operar com números representados de forma finita.

Definido o erro, junto com o erro admissível, passamos ao conceito de estabilidade dos algorítmos. Muitas das operações matemáticas podem levar-se adiante através da geração de uma série de números que a sua vez alimentam de novo o algorítmo (feedback). Isto proporciona um poder de cálculo e refinamiento importantísimo à máquina que à medida que vai completando um ciclo vai chegando à solução. O problema ocorre em determinar até quando deverá continuar com o ciclo, ou se nos estamos a afastar da solução do problema.

Finalmente, outro conceito paralelo à análise numérica é o da representação, tanto dos números como de outros conceitos matemáticos como os vetores, polinômios, etc. Por exemplo, para a representação em computadores de números reais, emprega-se o conceito de coma flutuante que dista muito do empregado pela matemática convencional.

Aplicações

Em general, estes métodos aplicam-se quando se precisa um valor numérico como solução a um problema matemático, e os procedimentos "exactos" ou "analíticos" (manipulações algébricas, teoria de equações diferenciais, métodos de integração, etc.) são incapazes de dar uma resposta. Devido a isso, são procedimentos de uso frequente por físicos e engenheiros, e cujo desenvolvimento se viu favorecido pela necessidade destes de obter soluções, ainda que a precisão não seja completa. Deve recordar-se que a física experimental, por exemplo, nunca arroja valores exactos senão intervalos que engloban a grande maioria de resultados experimentales obtidos, já que não é habitual que duas medidas do mesmo fenómeno arrojem valores exactamente iguais.


Outro motivo que tem propiciado o auge da análise numérica tem sido o desenvolvimento dos computadores. O aumento brutal da potência de cálculo tem convertido em possíveis e em eficientes a algorítmos pouco dados a sua realização a mão.

Problemas

Classificação segundo sua dimensão

Os problemas desta disciplina podem-se dividir em dois grupos fundamentais:

Classificação atendendo a sua natureza ou motivação

Assim mesmo, existe uma subclasificación destes dois grandes apartados em três categorias de problemas, atendendo a sua natureza ou motivação para o emprego do cálculo numérico:

Áreas de estudo

A análise numérica divide-se em diferentes disciplinas de acordo com o problema a resolver.

Cálculo dos valores de uma função

Um dos problemas mais singelos é a avaliação de uma função em um ponto dado. Para polinômios, um dos métodos mais utilizados é o algorítmo de Horner, já que reduz o número de operações a realizar. Em general, é importante estimar e controlar os erros de arredondamento que se produzem pelo uso da aritmética de ponto flutuante.

Interpolação, extrapolación e regresión

A interpolação resolve o problema seguinte: dado o valor de uma função desconhecida em um número de pontos, qual é o valor da função em um ponto entre os pontos dados? O método mais singelo é a interpolação linear, que assume que a função desconhecida é linear entre qualquer par de pontos sucessivos. Este método pode generalizar à interpolação polinomial, que costuma ser mais precisa mas que sofre o chamado fenómeno de Runge. Outros métodos de interpolação usam outro tipo de funções interpoladoras dando lugar à interpolação mediante splines e à interpolação trigonométrica. Outros métodos de interpolação utilizando derivadas sucessivas da função são mediante os polinômios de Taylor e a aproximação de Padé.

A extrapolación é muito similar à interpolação, excepto que agora queremos encontrar o valor da função desconhecida em um ponto que não está compreendido entre os pontos dados.

A regresión é também similar, mas tem em conta que os dados são imprecisos. Dados alguns pontos, e uma medida do valor da função nos mesmos (com um erro devido à medida), queremos determinar a função desconhecida. O método dos mínimos quadrados é uma forma popular de conseguí-lo.

Resolução de equações e sistemas de equações

Outro problema fundamental é calcular a solução de uma equação ou sistema de equações dado. Distinguem-se dois casos dependendo de se a equação ou sistema de equações é ou não linear. Por exemplo, a equação 2x+5=3 é linear enquanto a equação 2x^2+5=3 não o é.

Muito esforço pôs-se no desenvolvimento de métodos para a resolução de sistemas de equações lineares. Métodos directos, i.e., métodos que utilizam alguma factorización da matriz são o método de eliminação de Gauss, a descomposição LU, a descomposição de Cholesky para matrizes simétricas (ou hermíticas) definidas positivas, e a descomposição QR. Métodos iterativos como o método de Jacobi, o método de Gauss-Seidel, o método das aproximações sucessivas e o método do gradiente conjugado se utilizam frequentemente para grandes sistemas.

Na resolução numérica de equações não lineares alguns dos métodos mais conhecidos são os métodos de bissecção, da secante e da falsa posição. Se a função é ademais derivable e a derivada conhece-se, o método de Newton é muito utilizado. Este método é um método de iteração de ponto fixo. A linealización é outra técnica para resolver equações não lineares.

Descomposição espectral e em valores singulares

Bastantees problemas importantes podem ser expressar em termos de descomposição espectral (o cálculo dos vetores e valores próprios de uma matriz) ou de descomposição em valores singulares. Por exemplo, a análise de componentes principais utiliza a descomposição em vetores e valores próprios.

Optimização

Artigo principal: Optimização (matemática)

Os problemas de optimização procuram o ponto para o qual uma função dada atinge seu máximo ou mínimo. Com frequência, o ponto também satisfaz certa restrição.

Exemplos de ,problemas de optimização são a programação linear em que tanto a função objectivo como as restrições são lineares. Um método famoso de programação linear é o método simplex.

O método dos multiplicadores de Lagrange pode usar-se para reduzir os problemas de optimização com restrições a problemas sem restrições.

Avaliação de integrales

Artigo principal: Integração numérica

A integração numérica, também conhecida como cuadratura numérica, procura calcular o valor de uma integral definida. Métodos populares utilizam alguma das fórmulas de Newton–Cotes (como a regra do retângulo ou a regra de Simpson) ou de cuadratura gaussiana. Estes métodos baseiam-se em uma estratégia de "divide e vencerás", dividindo o intervalo de integração em subintervalos e calculando a integral como a soma das integrales na cada subintervalo, se podendo melhorar posteriormente o valor da integral obtido mediante o método de Romberg. Para o cálculo de integrales múltiplos estes métodos requerem demasiado esforço computacional, sendo útil o método de Monte Carlo.

Equações diferenciais

A análise numérica também pode calcular soluções aproximadas de equações diferenciais, bem equações diferenciais ordinárias, bem equações em derivadas parciais. Os métodos utilizados costumam basear-se em discretizar a equação correspondente. É útil ver a derivação numérica.

Para a resolução de equações diferenciais ordinárias os métodos mais utilizados são o método de Euler e os métodos de Runge-Kutta .

As equações em derivadas parciais resolvem-se primeiro discretizando a equação, levando-a a um subespacio de dimensão finita. Isto pode fazer mediante um método dos elementos finitos.

Outros temas de análise numérico

Enlaces externos

Em inglês

Em castelhano

Referências

Modelo:ORDENAR:Analisis numerico

Obtido de http://ks312095.kimsufi.com../../../../articles/a/t/e/Ate%C3%ADsmo.html"
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