Axiomas de Peano

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Os axiomas de Peano ou postulados de Peano são um conjunto de axiomas para a aritmética introduzidos por Giuseppe Peano no século XIX. Os axiomas utilizaram-se praticamente sem mudanças para uma variedade de investigações metamatemáticas, incluindo questões a respeito da consistência e completitud da aritmética e a teoria de números.

Os cinco axiomas de Peano são os seguintes:

O 1 é um número natural.
Se n é um número natural, então o sucessor de n também é um número natural.
O 1 não é o sucessor de nenhum número natural.
Se há dois números naturais n e m com o mesmo sucessor, então n e m são o mesmo número natural.
Se o 1 pertence a um conjunto, e dado um número natural qualquer, o sucessor desse número também pertence a esse conjunto, então todos os números naturais pertencem a esse conjunto. Este é o axioma de indução, e captura a ideia de indução matemática.

Há um debate sobre se considerar ao 0 como número natural ou não. Geralmente decide-se na cada caso, dependendo de se precisa-lho ou não. Quando se resolve incluir ao 0, então devem se fazer alguns ajuste menores:

O 0 é um número natural.
Se n é um número natural, então o sucessor de n também é um número natural.
O 0 não é o sucessor de nenhum número natural.
Se há dois números naturais n e m com o mesmo sucessor, então n e m são o mesmo número natural.
Se o 0 pertence a um conjunto, e dado um número natural qualquer, o sucessor desse número também pertence a esse conjunto, então todos os números naturais pertencem a esse conjunto.

Conteúdo

1 Apresentação formal
- 1.1 Quando não se inclui ao 0
- 1.2 Quando se inclui ao 0
2 Modelos inintencionales
3 Bibliografía
4 Enlaces externos

Apresentação formal

Como se disse anteriormente, existe um debate sobre se incluir ao 0 entre os números naturais ou não. A seguir apresentam-se os axiomas de Peano de maneira formal, contemplando ambas possibilidades:

Quando não se inclui ao 0

Os símbolos primitivos são: $<N,1,x'> \,$

O símbolo N é um pregado monádico que pretende ser lido como "ser um número natural". O símbolo 1, por sua vez, é uma constante que pretende representar ao número um. E o símbolo x', finalmente, é uma função sobre x que devolve ao sucessor de x. A esta função muitas vezes escreve-lha "S(x)".

Os cinco axiomas de Peano são:

$A_1: N(1) \,$

$A_2: \forall x (N(x) \to N(x'))$

$A_3: \neg \exists x (N(x) \and 1=x')$

$A_4: \forall x \forall y ((N(x) \and N(y) \and x'=y') \to x=y)$

Do quinto axioma existem duas variantes. O primeiro está formulado em lógica de primeira ordem, e é em realidade um esquema de axioma. O segundo sim é um axioma, mas está formulado em lógica de segunda ordem.

$A_5: \phi(1) \and \forall x \Big( (\phi (x) \to \phi(x')) \to \forall x \ \phi(x) \Big)$

$A_5': \forall \phi \bigg( \phi(1) \and \forall x \Big( (\phi (x) \to \phi(x')) \to \forall x \ \phi(x) \Big) \bigg)$

Além dos cinco axiomas, a aritmética de Peano recorre a duas definições (da soma e da multiplicação), que às vezes se apresentam como axiomas. A seguir incluem-se todas as variantes:

Definições de soma e multiplicação:

$D_1: \,$	$n+1=n' \,$
	$n+m'=(n+m)' \,$

$D_2: \,$	$n \times 1 = n \,$
	$n \times m' = (n \times m) + n \,$

Axiomas da soma e da multiplicação:

$A_6: \,$	$\forall n (n+1=n')$
	$\forall n \forall m (n+m'=(n+m)')$

$A_7: \,$	$\forall n (n \times 1 = n) \,$
	$\forall n \forall m (n \times m' = (n \times m) + n) \,$

Quando se inclui ao 0

Símbolos primitivos: $<N,0,x'> \,$

Axiomas:

$A_1: N(0) \,$

$A_2: \forall x (N(x) \to N(x'))$

$A_3: \neg \exists x (N(x) \and 0=x')$

$A_4: \forall x \forall y ((N(x) \and N(y) \and x'=y') \to x=y)$

$A_5: \phi(0) \and \forall x \Big( (\phi (x) \to \phi(x')) \to \forall x \ \phi(x) \Big)$

$A_5': \forall \phi \bigg( \phi(0) \and \forall x \Big( (\phi (x) \to \phi(x')) \to \forall x \ \phi(x) \Big) \bigg)$

Mudar os axiomas para que incluam ao 0 é só uma questão de mudar toda o aparecimento do 1 pelo 0. No entanto, nas definições (ou os axiomas) de soma e de multiplicação há que fazer alguns leves ajuste mais:

Definições de soma e multiplicação:

$D_1: \,$	$n+0=n \,$
	$n+m'=(n+m)' \,$

$D_2: \,$	$n \times 0 = 0 \,$
	$n \times m' = (n \times m) + n \,$

Axiomas da soma e da multiplicação:

$A_6: \,$	$\forall n (n+0=n)$
	$\forall n \forall m (n+m'=(n+m)')$

$A_7: \,$	$\forall n (n \times 0 = 0) \,$
	$\forall n \forall m (n \times m' = (n \times m) + n) \,$

Modelos inintencionales

Um modelo é uma interpretação dos símbolos primitivos que faz verdadeiros a todos os axiomas. Por exemplo, interpretando ao símbolo 0 como o número zero, e ao pregado N como os números naturais, o primeiro axioma resulta verdadeiro, porque é verdade que "o zero é um número natural". O mesmo ocorre com todos os outros axiomas: baixo as interpretações naturais de 0, N e x', a cada um dos axiomas resulta verdadeiro. Depois, as interpretações naturais dos símbolos primitivos são um modelo da aritmética de Peano.

Originalmente, os axiomas de Peano foram desenhados para caracterizar aos números naturais, e os símbolos primitivos deviam ser interpretados desta maneira natural. No entanto, dado que o significado dos símbolos primitivos não está especificado (por isso são primitivos), admitem várias interpretações, algumas das quais serão ademais modelos. Por exemplo, poderia interpretar ao símbolo 0 como o número dois, a N como o pregado "ser um número par", e a x' como o sucessor do sucessor, em vez do sucessor imediato. Em tal caso, os axiomas teriam que se entender assim:

O dois é um número par
Se n é um número par, então o sucessor do sucessor de n também é um número par
O dois não é o sucessor do sucessor de nenhum número par.
Se há dois números pares n e m com o mesmo sucessor de sucessor, então n e m são o mesmo número par.
Se o dois pertence a um conjunto, e dado um número par qualquer, o sucessor do sucessor desse número também pertence a esse conjunto, então todos os números pares pertencem a esse conjunto.

Baixo esta interpretação, todos os axiomas resultam verdadeiros, e os axiomas já não definem aos números naturais, senão aos números pares. Também é possível encontrar modelos (isto é, interpretações que façam verdadeiros a todos os axiomas) por fora da matemática. Por exemplo, poderia interpretar-se a 0 como no primeiro dia da criação, a N como o pregado "ser um dia", e a x' como no dia após x. Baixo esta interpretação, os axiomas também resultam verdadeiros.

Àqueles modelos que não foram originalmente planeados lhos chama modelos inintencionales (non-intended models), e existem infinitos modelos inintencionales da aritmética de Peano. Estritamente falando, a aritmética de Peano não define à série dos números naturais, senão à noção mais ampla de progressão.

Bibliografía

Peano, Giuseppe (março de 1979). Julián Velarde Lombraña (ed.). Os princípios da aritmética: expostos segundo um novo método, Traduzido por Julián Velarde Lombraña, 1ª edição, Pentalfa Edições. ISBN 978-84-85422-02-9.

Enlaces externos

Obtido de http://ks312095.kimsufi.com../../../../articles/a/n/d/Andorra.html"

Categoria: Teoria de números

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