Visita Encydia-Wikilingue.com

Cálculo da raiz quadrada

cálculo da raiz quadrada - Wikilingue - Encydia

A aproximação à raiz quadrada é um numero potenciado menor que o numero a encontrar, Para resolver a raiz quadrada, nos números reais existem vários algorítmos, sendo o mais conhecido o método de resolução. Neste artigo apresentam-se e explicam vários métodos que se possam utilizar para calcular raízes quadradas.

58 .36 ,36 .90 76,39
-49 146
9 36 1523
-8 76 15269
0 60 36
-45 69
14 67 90
-13 74 21
0 93 69

Conteúdo

Método de resolução

Partes de la Raiz Cuadrada.PNG

Na imagem podemos ver cinco partes essenciais da raiz quadrada no método de resolução:

Os passos a seguir são estes:

Passo 1.
Passo 3.
Passo 5.
Passo 6.
Passo 7.

A raiz quadrada de 5836.369 é 76.39, com um residuo de 9369. Recordemos que o zero é só um auxiliar. É importante assinalar também que a operação anterior utilizada como exemplo não está completa. Se continuássemo-la daria como resultado 76.396132 (com seis decimales).

Variante original do método de resolução

Quando calculamos a raiz quadrada o que fazemos é pôr o duplo dos números que levamos obtidos no renglón da raiz quadrada, o multiplicar por dez, somar isso ao número que calculamos que vai ser a seguinte cifra da raiz quadrada e o multiplicar por essa mesma cifra, se podendo expressar isto, tomando como exemplo o primeiro renglón auxiliar como: L)

(7 \times 2 \times10 + 6)\times6

ou por exemplo no segundo renglón auxiliar seria

(76 \times 2 \times10 + 3)\times3

e no terceiro

(763 \times 2 \times10 + 9)\times9

isto se pode expressar de maneira genérica como:

(n \times 2 \times10 + m)\times m

e aqui podemos dar-nos conta de uma igualdade interessante que passa desapercibida que é:

(n \times 2 \times 10 + m)\times m = 20 \times n \times m + m^2

com o que a cada renglón auxiliar se pode expressar como:

20\times7\times6+6^2;
20\times76\times3+3^2

e

20\times763\times9+9^2

Isto não poderia ter maior importância pelo facto de que a fórmula que usamos para sua cómputo ordinário é algo mais simples, sobretudo tendo em conta que como se averiguan as cifras da raiz quadrada de uma em uma não faz falta se queira as achar como se explicou anteriormente, senão que basta com colocar ao lado desse duplo a nova cifra e a multiplicar por essa mesma, vendo que se não se extraíssem os números de um em um esta simplificação aritmética mental não seria possível. A importância desta fórmula residiria em que a usada ordinariamente vem dessa algo mais longa, se podendo ver em qualquer operação de método de resolução de um algorítmo de raiz de índice n, onde se conserva a segunda estrutura mais longa ainda que sempre mais complexa quando maior seja o índice da raiz, sendo inútil em qualquer raiz com um índice superior a 2 esta simplificação já que ao ser a fórmula mais longa não produz uma simplificação dos mesmos efeitos, com o que não contribui a que seja mais fácil a operação, ainda que no cálculo da raiz quadra se que simplifica a operação um pouco, ainda que também não tem demasiada dificuldade a segunda fórmula como para não a ter em conta se se quer calcular a raiz quadrada de uma maneira um pouco diferente.

Identidade exponencial

As calculadoras de bolsillo tipicamente implementam boas rotinas para calcular a função exponencial e o logaritmo natural, então calculam a raiz quadrada de utilizando x a identidade

\sqrt{x} = e^{\frac{1}{2}\ln x} ou \sqrt{x} = 10^{\frac{1}{2}\log x}

A mesma identidade é usada quando se calculam as raízes quadradas com tabelas de logaritmos ou regras de cálculo.

Pode-se representar exponencialmente também como

\sqrt x = x^{\frac{1}{2}} = x^{0.5}

Estimativa imprecisa

Muitos dos métodos de cálculo para raízes quadradas requerem um valor inicial. Se o valor inicial está bem longe da raiz quadrada real, o cálculo será muito lento. Portanto é útil ter um cálculo aproximado, que pode ser muito inexacto mas fácil de calcular. Uma forma de obter tal estimativa para \sqrt{x} está a calcular 3^D, onde D é o número de dígitos (à esquerda do ponto decimal) de . xSe x < 1, D é o negativo do número de zeros à direita imediata do ponto decimal.

Um melhor método de estimativa é este:

  • Se D é ímpar (D=2n+1), \sqrt{x} \approx 2 \cdot 10^n
  • Se D é par (D=2n+2), \sqrt{x} \approx 6 \cdot 10^n

Ao trabalhar no sistema de numeração binário (como o fazem os computadores internamente), um método alternativo é utilizar 2^{\left\lfloor D/2\right\rfloor} (aqui D é o número de dígitos binários).

Algorítmo babilónico

O algorítmo babilónico aproxima um retângulo a quadrado .

O algorítmo babilónico[1] centra-se no facto de que a cada lado de um quadrado é a raiz quadrada da área. Foi usado durante muitos anos para calcular raízes quadradas a mão devido a sua grande eficácia e rapidez. Para calcular uma raiz, desenhe um retângulo cuja área seja o número ao que se lhe procura raiz e depois aproxime a base e a altura do retângulo até formar ou pelo menos aproximar um quadrado.

O algorítmo pode-se enunciar sem o uso de desenhos como segue:

Raiz(x):

  1. Escolha dois números b e h tais que bh=x
  2. Se h\approx b vá ao passo 6, se não, vá ao passo 3
  3. Atribua b\leftarrow\frac{h+b}{2}
  4. Atribua h\leftarrow\frac{x}{b}
  5. Vá ao passo 2
  6. Escreva "\sqrt x \approx b"
Diagrama de fluxo do algorítmo babilónico.

Este algorítmo aproxima a raiz quadrada de qualquer número real tanto como se deseje. É claro que não se precisa conhecer o valor de , hjá que depende directamente de e x que a área do retângulo sempre se aproxima à raiz quadrada de sem x importar o valor de desde b que b>0. Desta maneira surge a função recursiva

f_0(x)=x\,
f_n(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{f_{n-1}(x)}+f_{n-1}(x)\right)

de maneira tal que n é a n-ésima aproximação a . \sqrt xIsto implica que

f_\infty(x)=\sqrt{x}

Já que a algumas raízes são números irracionais é necessário definir que tanto é "aproximadamente". Felizmente ninguém é capaz de escrever um número com uma infinita quantidade de dígitos, pelo que a ombreira de aproximação se limita à quantidade de dígitos que se é capaz de escrever. Então podemos definir que o algorítmo termine no momento que a última aproximação é a mesma que a anterior (isto é, já não se pode aproximar mais).

Descrição formal

De maneira formal, expressa-se o algorítmo babilónico usando pseudocódigo da seguinte maneira:

função \mathrm{raiz}(x)\,

r\leftarrow x
t\leftarrow 0
enquanto t\neq r
t\leftarrow r
r\leftarrow \frac 1 2\left(\frac x r + r\right)
devolver r\,

onde x\leftarrow y significa "substituya o valor de por x do de ", ye devolver expressa o resultado do algorítmo e sua terminação.

Implementação

Em linguagem C:

double raiz(double x){
    double r = x, t = 0;
    while (t != r){
        t = r;
        r = (x/r + r)/2;
    }
    return r;
}

Pode notar-se que o algorítmo se reduz ao método de Newton sobre a função f(r)= r2-x.

Em linguagem C#:

METODO RECURSIVO:

       double raiz2(double x, double r, double t)(3-4raiz quadrada de 7)*(5+2 raiz quadrada de 7) 
       {
           if (t == r)
           {
               return (r);
           }
           else
           {
               t = r;
               r = (x / r + r) / 2;
               return(raiz2(x,r,t));
           }
       }

Este é o método recursivo que se elabora em C#, se ingressam parametros como: Raiz2(25,25,0), onde 25 é o número do qual se vai obter a raiz Quadrada. neste caso a resposta séria 5

Fracções contínuas periódicas

Os irracionais quadráticos (números da forma \frac{a+\sqrt{b}}{c}, onde a , b e c são inteiros), e em particular, as raízes quadradas de números inteiros, têm fracções contínuas periódicas. Podemos estar interessados às vezes não em encontrar o valor numérico de uma raiz quadrada, senão por algo em sua expansão como fracção contínua. O algorítmo iterativo seguinte pode-se utilizar para este propósito (S é qualquer número natural que não seja um quadrado perfeito):

m_0 = 0\,\!
d_0 = 1\,\!
a_0 = \left\lfloor\sqrt{S}\right\rfloor\,\!
m_{n+1} = d_na_n-m_n\,\!
d_{n+1} = \frac{S-m_{n+1}^2}{d_n}\,\!
a_{n+1} = \left\lfloor\frac{\sqrt{S}+m_{n+1}}{d_{n+1}}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{a_0+m_{n+1}}{d_{n+1}}\right\rfloor\!.

Há que notar que mn, dn, e a n são sempre inteiros. O algorítmo termina quando neste trío o resultado novo que obtemos já começa a ser igual ao anterior. A expansão repetir-se-á então. A sequência [a 0; a 1, a 2, a 3, …] é a expansão fracção contínua:

\sqrt{S} = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3+\,\cdots}}}

Exemplo, raiz quadrada de 114 como uma fracção contínua

Começamos com m 0=0; d

Agora de enlaça de novo com a segunda equação de acima.

Portanto, a fracção contínua para a raiz quadrada de 114 é: \sqrt{114} = [10;1,2,10,2,1,20,1,2,10,2,1,20,1,2,10,2,1,20,...].

Aproximação de Bakhshali

Este método para encontrar uma aproximação à raiz quadrada foi descrito em um manuscrito antigo chamado manuscrito de Bakhshali. Equivale a duas iterações do método babilónico começando com o número n tal que n^2 é o quadrado mais próximo a .. x

\sqrt{x}\approx\frac{n^4 + 6n^2x + x^2}{4n^3 + 4nx}

Exemplo com a raiz quadrada de 10.5

Querendo calcular \sqrt{10.5} com este método o primeiro que fazemos é lhe atribuir o número quadrado perfeito cujo quadrado se acerque mais a 10.5, esse número vai ser 3, já que ao dar 3^2\,\! como resultado 9 se acerca mais a 10.5 que 4^2\,\! que dá 16, com o que agora na igualdade substituímos:

\sqrt{10.5}\approx\frac{3^4 + 6 \times 3^2 \times 10.5 + 10.5^2}{4 \times 3^3 + 4 \times 3 \times 10.5}
\sqrt{10.5}\approx\frac{81 + 567 + 110.25}{108 + 126}
\sqrt{10.5}\approx\frac{758.25}{234}\approx 3.240384615

Sendo as cifras 384615 periódicas.

Este método dá um valor bastante próximo à raiz quadrada verdadeira do número, pode-se observar também que este método ao dar o resultado mediante uma fracção dá um número racional, enquanto a raiz quadrada real de um número é irracional sempre que este não seja um quadrado perfeito.

Séries de Taylor

Se N é uma aproximação a , \sqrt{S}uma aproximação melhor pode ser encontrada usando a série de Taylor da função da raiz quadrada:

\sqrt{N^2+d} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}(2n)!d^n}{(1-2n)n!^2 4^nN^{2n-1}} = N + \frac{d}{2N} - \frac{d^2}{8N^3} + \frac{d^3}{16N^5} - \frac{5d^4}{128N^7} + \cdots

Como método iterativo, a ordem de convergência tanto faz ao número dos termos usados. Com 2 termos, é idêntica ao método babilónico; com 3 termos, a cada iteração toma quase tantas operações como a aproximação de Bakhshali, mas converge mais lentamente. Portanto, esta não é uma maneira particularmente eficiente do cálculo.

Veja-se também

Notas

  1. Não há uma evidência directa de como os Babilónicos calculavam raízes quadradas ainda que há conjecturas informadas. (Raiz quadrada de 2#Notas dá um resumem e referências.)

Enlaces externos

Modelo:ORDENAR:Calculo da raiz quadrada

Obtido de http://ks312095.kimsufi.com../../../../articles/a/n/d/Andorra.html"