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Campo eléctrico

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Campo eléctrico produzido por um conjunto de ónus pontuas. Mostra-se em rosa a soma vectorial dos campos do ónus individuais; \vec E =\vec E_1 +\vec E_2 + \vec E_3 .

O campo eléctrico, em física , é um ente físico que é representado mediante um modelo que descreve a interacção entre corpos e sistemas com propriedades de natureza eléctrica.[1] Matematicamente descreve-se como um campo vectorial no qual um ónus eléctrico pontual de valor q sofre os efeitos de uma força eléctrica \vec F dada pela seguinte equação:

\vec F = q \vec E

Nos modelos actuais, o campo eléctrico incorpora-se, junto com o campo magnético, em campo tensorial cuadridimensional, denominado campo electromagnético Fμν.[2]

Os campos eléctricos podem ter sua origem tanta em ónus eléctricas como em campos magnéticos variáveis. As primeiras descrições dos fenómenos eléctricos, como a lei de Coulomb, só tinham em conta o ónus eléctricos, mas as investigações de Michael Faraday e os estudos posteriores de James Clerk Maxwell permitiram estabelecer as leis completas nas que também se tem em conta a variação do campo magnético.

Esta definição geral indica que o campo não é directamente mensurável, senão através da ponderação da força atuante sobre algum ónus. A ideia de campo eléctrico foi proposta por Faraday ao demonstrar o princípio de indução electromagnética no ano 1832.

A unidade do campo eléctrico no SE é newton por culombio (N/C), volt por metro (V/m) ou, em unidades básicas, kg·m·s−3·A −1.

Conteúdo

Definição

A definição mais geral e intuitiva a respeito do campo eléctrico pode-lha estudar mediante a lei de Coulomb. No entanto, uma definição mais formal e completa a respeito do campo requer o uso de cuadrivectores e o princípio de mínima acção. A seguir descrevem-se ambas.

Definição mediante a lei de Coulomb

Campo eléctrico de uma distribuição linear de ónus. Um ónus pontual P é submetido a uma força em direccion radial \vec u_r por uma distribucion de ónus \lambda em forma de diferencial de linha (dL), o que produz um campo eléctrico d\vec E.

Partindo da lei de Coulomb que expressa que a interacção entre dois ónus depende do quadrado da distância, matematicamente tanto faz a:[1]

(6) \vec F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat r

onde o factor \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} se introduz no sistema internacional para correcções de unidades, q_1 e q_2 são o ónus que interactúan, \vec r é a distância entre o ónus e \hat r é o unitário na direcção \vec r.

No entanto na física, para eliminar a ideia de que a acção que exerce uma força a distância é instantânea, se introduz o conceito de campo.[1] Assim, o campo eléctrico é a distorsión que sofre o espaço devido à presença de um ónus. Considerando isto se pode obter uma expressão do campo eléctrico quando este só depende da distância entre o ónus:

(7) \vec E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2} \hat r
onde claramente se tem que \vec F = q \vec E, a que é uma das definições mais conhecidas a respeito do campo eléctrico.

Definição formal

A definição mais formal de campo eléctrico surge a partir de calcular a acção de uma partícula carregada em movimento através de um campo electromagnético.[2] Este campo faz parte de um único campo electromagnético tensorial F^{\mu\nu} definido por um potencial cuadrivectorial da forma:[1]

(1) F^{\mu\nu}=\partial^{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}A^{\mu}\quad ;\qquad A^i = (\frac{\phi}{c},\vec A)

onde  \phi é o potencial escalar e \vec A é o potencial vectorial tridimensional. Assim, de acordo ao princípio de mínima acção, se propõe para uma partícula em movimento em um espaço cuadridimensional:

(2) S = - \int_a^b (mc\text{ ds} + \frac{e}{c}A_i \text{ dx}^i)

onde e é o ónus da partícula, m é sua massa e c a velocidade da luz. Substituindo (1) em (2) e conhecendo que dx^i = u^i ds, onde dx^i é o diferencial da posição definida dx^i = (cdt, dx, dy, dz) e u^i é a velocidade da partícula, se obtém:

(3) S = - \int_a^b (mc\text{ ds} + \frac{e}{c}\vec{A}\cdot\text{d}\vec{\text{r}} - e \phi\text{ dt})

O termo dentro da integral conhece-se como o lagrangiano do sistema; derivando esta expressão com respeito à velocidade obtém-se o momento da partícula, e aplicando as equações de Euler-Lagrange encontra-se que a variação temporária da quantidade de movimento da partícula é:

(4) \frac{d \vec p}{dt} = - \frac{e}{c} \frac{\partial \vec A}{\partial t} - e \vec\nabla \phi + \frac{e}{c} \vec v \times (\vec\nabla \times \vec A)

De onde se obtém a força total da partícula. Os dois primeiros termos são independentes da velocidade da partícula, enquanto o último depende dela. Então aos dois primeiros associa-se-lhes o campo eléctrico e ao terceiro o campo magnético. Assim se encontra a definição mais geral para o campo eléctrico:[2]

(5) \vec E = -\frac{1}{c} \frac{\partial \vec A}{\partial t} - \vec\nabla \phi

A equação (5) brinda muita informação a respeito do campo eléctrico. Por um lado, o primeiro termo indica que um campo eléctrico é produzido pela variação temporária de um potencial vectorial descrito como \vec B = \vec\nabla \times \vec A onde \vec B é o campo magnético; e por outro, o segundo representa a muito conhecida descrição do campo como o gradiente de um potencial.[2]

Descrição do campo eléctrico

Matematicamente um campo descreve-lho mediante dois de suas propriedades, sua divergência e seu rotacional. A equação que descreve a divergência do campo eléctrico lha conhece como lei de Gauss e a de seu rotacional é a lei de Faraday.[1]

Lei de Gauss

Artigo principal: Lei de Gauss

Para conhecer uma das propriedades do campo eléctrico estuda-se que ocorre com o fluxo deste ao atravessar uma superfície. O fluxo de um campo \Phi obtém-lho da seguinte maneira:

(8) \Phi_E = \int_a^b \vec E \cdot d\vec a
onde d \vec a é o diferencial de área em direcção normal à superfície. Aplicando a equação (7) em (8) e analisando o fluxo através de uma superfície fechada encontra-se que:
(9) \oint_S \vec E \cdot d\vec a = \frac{1}{\epsilon_0} Q_{enc}

onde Q_{enc} é o ónus encerrado nessa superfície. A equação (9) é conhecida como a lei integral de Gauss e sua forma derivada é:

(10) \vec\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}
onde \rho é a densidade volumétrica de ónus. Isto indica que o campo eléctrico diverge para uma distribuição de ónus; em outras palavras, que o campo eléctrico começa em um ónus e termina em outra.[1]

Esta ideia pode ser visualizada mediante o conceito de linhas de campo. Se tem-se um ónus em um ponto, o campo eléctrico estaria dirigido para o outro ónus.

Lei de Faraday

Artigo principal: Lei de Faraday

Em 1801, Michael Faraday realizou uma série de experimentos que o levaram a determinar que as mudanças temporárias no campo magnético induzem um campo eléctrico. Isto se conhece como a lei de Faraday. A força electromotriz, definida como o rotacional através de um diferencial de linha está determinado por:

(11) \epsilon = \oint \vec E \cdot \text{d}\vec\text{l} = - \frac{d \Phi}{dt}

onde o signo menos indica a Lei de Lenz e \Phi é o fluxo magnético em uma superfície, determinada por:

(12) \Phi = \int \vec B \cdot\text{d}\vec{\text{a}}

substituindo (12) em (11) obtém-se a equação integral da lei de Faraday:

(13) \oint \vec E \cdot\text{d}\vec{\text{l}} = - \int \frac{d \vec B}{dt} \cdot\text{d}\vec{\text{a}}

Aplicando o teorema de Stokes encontra-se a forma diferencial:

(14) \vec\nabla \times \vec E = - \frac{\partial \vec B}{dt}

A equação (14) completa a descrição do campo eléctrico, indicando que a variação temporária do campo magnético induze um campo eléctrico.[1]

Campo electrostático

Artigo principal: Campo electrostático

Um caso especial do campo eléctrico é o denominado electrostático. Um campo electrostático não depende do tempo, isto é é estacionário. Para este tipo de campos a Lei de Gauss ainda tem validade como esta não tem nenhuma consideração temporária, no entanto, a Lei de Faraday deve ser modificada. Se o campo é estacionário, parte-a direita da equação (13) e (14) não faz sentido, pelo que se anula:

(15) \vec\nabla \times \vec E = 0

Esta equação junto com (10) definem um campo electrostático. Ademais, pelo cálculo diferencial, sabe-se que um campo cujo rotacional é zero pode ser descrito mediante o gradiente de uma função escalar V, conhecida como potencial eléctrico:

(16) \vec E = - \vec\nabla V

A importância de (15) radica em que como o rotacional do campo eléctrico é zero, se pode aplicar o princípio de sobreposição a este tipo de campos. Para vário ónus, define-se o campo eléctrico como a soma vectorial de seus campos individuais:

(17) \vec E = \vec E_1 + \vec E_2 + \vec E_3 + ...

então

(18) \vec\nabla \times \vec E = \vec\nabla \times (\vec E_1 + \vec E_2 + \vec E_3 + ...) = (\vec\nabla \times \vec E_1) + (\vec\nabla \times \vec E_2) + (\vec\nabla \times \vec E_3) + ... = 0

Linhas de campo

Linhas de campo eléctrico correspondentes a ónus iguais e opostas, respectivamente.

Um campo eléctrico estático pode ser representado geometricamente com linhas vectoriais em direcção da variação do campo, a estas linhas conhece-lhas como "linhas de campo". As linhas vectoriais utilizam-se para criar uma representação gráfica do campo, e podem ser tantas como seja necessário visualizar.

As linhas de campo são linhas perpendiculares à superfície do corpo, de maneira que seu tangente geométrica em um ponto coincide com a direcção do campo nesse ponto. Isto é uma consequência directa da lei de Gauss, isto é encontramos que a maior variação direccional no campo se dirige perpendicularmente ao ónus. Ao unir os pontos nos que o campo eléctrico é de igual magnitude, se obtém o que se conhece como superfícies equipotenciales, são aquelas onde o potencial tem o mesmo valor numérico.

Energia do campo

Artigo principal: Energia eléctrica

Um campo em general armazena e move energia. A densidade volumétrica de energia de um campo eléctrico está dada pela expressão seguinte:[1]

(19) u = \frac{1}{2} \epsilon_0 |\vec E|^2 = \frac{1}{2} \epsilon_0 \cdot \vec E \cdot \vec E

Pelo que a energia total em um volume está dada por:

(20)  u = \frac{\epsilon_0}{2}\int_{vol}\vec E \cdot \vec E\, dV

onde dV é o diferencial de volume.

Veja-se também

Referências

  1. a b c d e f g h Griffiths, David J. (1999). Introduction to Electrodynamics, Prentice-Hall,Inc.. ISBN0-13-805326-X.
  2. a b c d Landau, Lev (1980). The Classical Theory of Fields, Butterworth-Heinemann. 0750627689.

Enlaces externos

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