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Campo electromagnético

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Um Campo electromagnético é um campo físico, de tipo tensorial, que afecta a partículas com ónus eléctrico.

Fixado um sistema de referência podemos decompor convencionalmente o campo electromagnético em uma parte eléctrica e em uma parte magnética. No entanto, um observador em movimento relativo com respeito a esse sistema de referência medirá efeitos eléctricos e magnéticos diferentes, o qual ilustra a relatividad do que chamamos parte eléctrica e parte magnética do campo electromagnético. Como consequência do anterior temos que nem o "vetor" campo eléctrico nem o "vetor" de indução magnética se comportam genuinamente como magnitudes físicas de tipo vectorial, senão que juntos constituem um tensor para o que sim existem leis de transformação fisicamente esperables.

Conteúdo

Campo electromagnético em teoria da relatividad

Artigo principal: Tensor de campo electromagnético

Em electrodinámica clássica e sobretudo em teoria da relatividad o campo electromagnético representa-se por um tensor 2-covariante e antisimétrico, cujas componentes são as componentes do que na cada sistema de referência se refletem como parte eléctrica e parte magnética do campo:

\mathbf{F} = \begin{pmatrix} F_{00} & F_{01} & F_{02} & F_{03} \\ F_{01} & F_{11} & F_{12} & F_{13} \\ F_{02} & F_{21} & F_{22} & F_{23} \\ F_{03} & F_{31} & F_{32} & F_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}

Força de Lorentz

A força de Lorentz pode escrever-se de forma bem mais singela graças ao tensor de campo electromagnético que em sua escritura vectorial clássica:

\mathbf{f} = e(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) (expressão vectorial)
f_{\alpha} = \sum_{\beta} e \ F_{\alpha \beta} \ u^{\beta} \, (expressão tensorial relativista)

Equações de Maxwell

As equações de Maxwell também tomam formas muito singelas em termos do tensor de campo electromagnético:

F^{\alpha \beta}_{,\gamma} + F^{\beta \gamma}_{,\alpha} + F^{\gamma \alpha}_{,\beta} = \frac{\partial F^{\alpha \beta}}{\partial x^\gamma} + \frac{\partial F^{\beta \gamma}}{\partial x^\alpha} + \frac{\partial F^{\gamma \alpha}}{\partial x^\beta} = 0
F^{\alpha \beta}_{,\beta} = \frac{\partial F^{\alpha \beta}}{\partial x^\beta} = \mu_0 J^\alpha


Onde na última expressão se usou o convênio de sumación de Einstein e onde a magnitude Jα é o cuadrivector de corrente que vem dado por:

J^\alpha = \begin{pmatrix} c \rho & J_x & J_y & J_z \end{pmatrix}


Potencial vetor

A forma das equações de Maxwell permite que sobre um domínio simplesmente conexo (estrellado) o campo electromagnético pode se expressar como a derivada exterior de um potencial vetor, o qual facilita enormemente a resolução de ditas equações. Usando o convênio de sumación de Einstein temos:

\mathbf{F} = \mathrm{d}\mathbf{A} = \mathrm{d}(A_{\alpha} \mathrm{d}x^\alpha) = \mathrm{d}(A_{\alpha}) \wedge \mathrm{d}x^\alpha = \left(\frac{\partial A_{\alpha}}{\partial x^\beta}\right) \ \mathrm{d}x^\beta \wedge \mathrm{d}x^\alpha


Relação que escrita mais explicitamente em componentes é:

\mathbf{F} = \frac{1}{2!} F_{\alpha\beta} \mathrm{d}x^\alpha\land \mathrm{d}x^\beta \Rightarrow F_{\alpha\beta} = \frac{\partial A_\beta}{\partial x^\alpha}-\frac{\partial A_\alpha}{\partial x^\beta}


Campo electromagnético cuántico

Artigo principal: Electrodinámica cuántica

Em teoria cuántica de campos o campo electromagnético renderiza-se mediante uma aplicação que atribui à cada região do espaço tempo um operador autoadjunto. Isto é o campo electromagnético média de uma região renderiza-se por um operador autoadjunto, assim a cada uma das componentes do potencial vetor:

\mathbf{A}_\Omega^\mu|\phi\rangle = \int_{\Omega\subset \R^4} \tilde{\mathbf{A}}^\mu(\phi)\ d^4\mathbf{x}

O valor do campo em um ponto não está necessariamente definido. Se considera-se um ponto do espaço tempo e considera-se uma região arbitrariamente pequena meio a ele, pode se calcular o limite da expressão anterior à medida que a região tende a zero. Se o limite existe pode identificar-se o operador com o campo electromagnético em dito ponto, no entanto, para muitas formas do campo o limite não pode existir. Isto se corresponde com o facto de que em general devido ao princípio de incerteza não é possível determinar o valor do campo em um único ponto, senão só sua média em uma pequena região. Quando duas regiões do espaço tempo A e B estão desligadas causalmente, isto é, nenhuma pertence ao futuro causal da outra, então seus respectivos operadores de campo electromagnético comutam:

B \cap J^+(A) = B \cap J^-(A) = \varnothing \Rightarrow \qquad [\mathbf{A}_A^\mu,\mathbf{A}_B^\nu] = 0

Veja-se também

Bibliografía

Enlaces externos

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