Campo gravitatorio

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Em física , o campo gravitatorio ou campo gravitacional é um campo de forças que representa a interacção gravitatoria. Se dispõe-se em certa região do espaço uma massa M, o espaço ao redor de M adquire certas características que não dispunha quando não estava M. Este facto pode-se comprovar acercando outra massa m e constatando que se produz a interacção. À situação física que produz a massa M lha denomina campo gravitatorio. Afirmar que existe algo ao redor de M é puramente especulativo, já que só se nota o campo quando se coloca a outra massa m, à que se chama massa testemunha. O tratamento que recebe este campo é diferente segundo as necessidades do problema:

Em física newtoniana ou física não-relativista o campo gravitatorio vem dado por um campo vectorial.
Em física relativista, o campo gravitatorio vem dado por um campo tensorial de segunda ordem.

Conteúdo

1 Campo gravitatorio em física newtoniana
2 Campo gravitatorio em física relativista
3 Veja-se também

Campo gravitatorio em física newtoniana

Em física newtoniana, o campo gravitatorio é um campo vectorial conservativo cujas linhas de campo são abertas. Pode definir-se como a força por unidade de massa que experimentará uma partícula pontual situada ante a presença de uma distribuição de massa. Suas unidades são, portanto, as de uma aceleração, m s^-2. Matematicamente pode-se definir o campo como,

$\vec F = m \vec g$

onde $\vec F$ é a força de gravidade experimentada pela partícula de massa $m$ em presença de um campo $\vec g$ .

Exemplos de campos gravitatorios

O campo $\vec g$ criado por uma distribuição de massa esférica, vem dado na cada ponto fora da esfera por um campo vectorial que aponta para o centro da esfera:

(1) $\vec g = -\frac{GM}{r^2}\vec{u_r}$ ,

onde r é a distância radial ao centro da distribuição. No interior da esfera central o campo varia segundo uma lei dependente da distribuição de massa (para uma esfera uniforme, cresce em forma linear desde o centro até a rádio exterior da esfera). A equação (1), por tanto, só é válida a partir da superfície exterior que limita o corpo que provoca o campo, ponto a partir do qual o campo decrece segundo a lei da inversa do quadrado. O campo $\vec g$ criado por uma distribuição de massa totalmente geral em um ponto do espaço $\vec f{x}$ :

$\vec{g(\vec{r})} = G \int_V \frac{\rho(\vec{r'})}{|\vec{r}-\vec{r'}|^2} dV'$ ,

O interesse de realizar uma descrição da interacção gravitatoria por médio de um campo radica na possibilidade de poder expressar a interacção gravitacional como o produto de dois termos, um que depende do valor local do campo $\vec g$ e outro, uma propriedade escalar que representa a resposta do objecto que sofre a acção do campo. Por exemplo, o movimento de um planeta pode-se descrever como o movimento orbital do planeta em presença de um campo gravitatorio criado pelo Sol.

Os campos gravitatorios são aditivos; o campo gravitatorio criado por uma distribuição de massa tanto faz à soma dos campos criados por seus diferentes elementos. O campo gravitatorio do Sistema Solar é o criado pelo Sol, Júpiter e os demais planetas.

Linhas de força

Artigo principal: Linhas de força

Uma linha de força ou linha de fluxo, normalmente no contexto do electromagnetismo, é a curva cuja tangente proporciona a direcção do campo nesse ponto. Como resultado, também é perpendicular às linhas equipotenciales na direcção convencional de maior a menor potencial. Supõem uma forma útil de esquematizar graficamente um campo, ainda que são imaginarias e não têm presença física.

Potencial gravitatorio

Artigo principal: Potencial gravitatorio

A natureza conservativa do campo permite definir uma magnitude, que poder-se-ia chamar energia mecânica, tal que a soma da energia potencial e energia cinética do sistema é uma quantidade constante. Isto implica que o trabalho realizado no seio de um campo gravitatorio dependerá só das posiciones final e inicial, e não da trajectória seguida (assim,o trabalho realizado ao longo de uma supericie fechada será nulo). Assim à cada ponto do espaço se lhe pode atribuir um potencial Φ gravitatorio relacionado com a densidade da distribuição de massa e com o vetor de campo gravitatorio por:

$\begin{matrix} \Delta \Phi = 4\pi \rho \\ \vec{\nabla} \Phi = \vec{g} \end{matrix}$

Podemos demonstrar matematicamente de forma singela (e isto é extensible ao campo eléctrico), que efectivamente o campo gravitatorio da mecânica newtoniana é conservativo: Primeiro deveríamos notar um facto matemático importante, e é que se um campo vectorial $\scriptstyle \mathbf{F}:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n}$ se pode expressar como gradiente de algum campo escalar $\scriptstyle \phi$ , isto é, se $\scriptstyle \mathbf{F}(x,y,z)=\nabla \phi(x,y,z)$ então o trabalho realizado ao longo de qualquer trajectória depende só do estado final e o inicial. A função escalar $\scriptstyle \phi$ chama-se função potencial do campo vectorial $\scriptstyle \mathbf{F}$ . Para provar isto há que integrar a força ao longo de uma determinada curva $\scriptstyle \C(t)$ , isto é, deve se calcular a integral de linha:

(*) $W = \int_{C} \mathbf{F}(x,y,x)\cdot d\mathbf{r} = \int_{C} \mathbf{F}(x(s),y(s),x(s)) ds$

que, se $\scriptstyle t_a$ e $\scriptstyle t_b$ são os pontos no espaço tridimensional com que começa e acaba C respectivamente, e se designamos a função $\scriptstyle s = \alpha(t)$ ficar-nos-á

$W=\int_{C}F(x,y,z)d\alpha = \int_{t_a}^{t_b} \nabla \phi[\alpha(t)]\alpha^{\prime}(t)dt = \phi[\mathbf{r}(t_b)]-\phi[\mathbf{r}(t_a)]= \phi(\mathbf{r}_2)-\phi(\mathbf{r}_1)$

Chamando $\scriptstyle \mathbf{r}_1=\mathbf{r}(t_a)$ e $\scriptstyle \mathbf{r}(t_b)=\mathbf{r}_2$ . Agora, partindo de (*) agora temos que

$W= \dfrac{1}{2}\int_{C} m\mathbf{a} \mathbf{v}dt = \dfrac{1}{2}\int_{C}m\dfrac{d \mathbf{v}}{dt} \mathbf{v}dt$

que com uma simples inspecção concluímos que é:

$W=\dfrac{m}{2}[\mathbf{v}^{2}(t_b)-\mathbf{v}^{2}(t_a)]= k(\mathbf{r}(t_a))-k(\mathbf{r}(t_b))$

Agora obtemos pois $\scriptstyle k(\mathbf{r}_2)-\phi(\mathbf{r}_2) = k(\mathbf{r}_1)-\phi(\mathbf{r}_1)$ . O escalar $-\phi(x)$ chama-se energia potencial em x, e vemos que sua soma com o escalar k(x) tem que se manter constante, tem de ser a mesma. No caso do campo gravitatorio,temos que

$\mathbf{F}=-\dfrac{GMm}{r^{2}}\mathbf{u}_r$

com $r=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2}$ . O vetor unitário de direcção pode ser posto $\mathbf{u}_r = \dfrac{\mathbf{r}}{r}$ , de modo que:

$\mathbf{F} = -\dfrac{GMm}{r^{3}}\mathbf{r}$

E este campo de força é obviamente um gradiente de ,que $\phi(x,y,z)=\dfrac{GMm}{r}$ é a função potencial. Com isto fica pois demonstrado que o campo gravitatorio é conservativo (a energia mecânica, em ausência de outras forças externas, tem de se conservar). A demonstração para o caso do campo eléctrico é análoga com poucos matizes (a força pode ser atraente ou repulsiva, e ónus iguais se reepelen, enquanto no campo gravitatorio só há atração).

Campo gravitatorio em física relativista

Na teoria da relatividad geral o campo gravitatorio não se descreve como um campo de forças, senão que as trajectórias curvas que os corpos seguem no espaço tridimensional, são só um reflito de que o espaço-tempo é curvo. De acordo com a teoria da relatividad geral, uma partícula pontual em um campo gravitatorio está a seguir uma linha de mínima curvatura, telefonema geodésica, sobre um espaço-tempo curvo. Por tanto, a curvatura das trajectórias tridimensionais deve-se a que a linha mais recta possível no espaço-tempo de quatro dimensões não se projecta como uma recta, vista desde o espaço tridimensional.

O campo gravitatorio interpreta-se em relatividad como a curvatura do espaço tempo que, em presença de matéria, deixa de ser plano. Ali onde o espaço-tempo não é plano, se percebe esse facto como campo gravitatorio local, e vice-versa, ali onde se percebe campo gravitatorio se tem uma geometria curva do espaço tempo. Assim, a teoria relativista de Einstein do campo gravitatorio é uma teoria da estrutura geométrica local do espaço tempo. Nesta teoria o tensor de curvatura de Ricci está sócio ao tensor de energia-momento da matéria: