Colchete de Poisson

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Em matemáticas e mecânica clássica, o colchete de Poisson é um importante operador da mecânica hamiltoniana, actuando como peça fundamental na definição da evolução temporária de um sistema dinâmico na formulación hamiltoniana. Desde um ponto de vista mais geral, o colchete de Poisson usa-se para definir um álgebra de Poisson, das que as variedades de Poisson são um caso especial. Todas estas estão nomeadas em honra a Siméon-Denis Poisson.

Definição

Seja M uma variedade simpléctica, isto é, uma variedade na que existe uma forma simpléctica: uma forma diferencial de segunda ordem $\omega$ que é ao mesmo tempo fechada ( $d\omega = 0$ ) e não-degenerada, no seguinte sentido: quando se vê como um mapa $\omega: \xi \in \mathrm{vect}[M] \rightarrow i_\xi \omega \in \Lambda^1[M]$ , $\omega$ é invertible para obter $\tilde{\omega}: \Lambda^1[M] \rightarrow \mathrm{vect}[M]$ . Aqui $d$ usa-se como a derivada exterior, operador intrínseco à estrutura da variedade M, e $i_\xi \theta$ é o derivada interior ou operação de contracção tensorial, que é equivalente a em $\theta(\xi)$ formas diferenciais de primeira ordem $\theta$ .

Usando os axiomas do cálculo exterior, um pode derivar:

$\ i_{[v, w]} \omega = d(i_v i_w \omega) + i_v d(i_w \omega) - i_w d(i_v \omega) - i_w i_v d\omega$

Aqui $[v, w]$ denota o colchete de Envolva em campos vectoriais suaves, que essencialmente define a estrutura da variedade de M .

Se v é tal que $d(i_v \omega) = 0$ , se lhe pode chamar $\omega$ -cocerrado (ou simplesmente cocerrado). A sua vez, se cumpre-se $i_v \omega = df$ para alguma função f, podemos chamar a $\omega$ v -coexacta (ou simplesmente coexacta). Dado que $d\omega = 0$ , isto implica que o colchete de Envolva de dois vetores cocerrados sempre é um campo vectorial coexacto, já que quando v e w são ambos cocerrados, o único termo não nulo na expressão é $d(i_v i_w \omega)$ . E como a derivada exterior obedece $d \circ d = 0$ , todos os campos vectoriais coexactos são cocerrados, e por isso o colchete de Envolva é fechado tanto no espaço dos campos vectoriais cocerrados como no subespacio deste consistente nos campos vectoriais coexactos. Na linguagem do álgebra abstrato, os campos vectoriais cocerrados formam um subálgebra do álgebra de Envolva dos campos vectoriais suaves em M , e os campos vectoriais coexactos formam um álgebra ideal deste subálgebra.

Dada a existência do mapa inverso $\tilde{\omega}$ , todas as funções reais suaves f em M podem ser associadas a um campo vectorial coexacto $\tilde{\omega}(df)$ . (Duas funções estão associadas com o mesmo campo vectorial se, e só se, sua diferença está no núcleo de d , isto é, constante na cada componente conectada de M .) Assim, definimos o colchete de Poisson em como $(M, \omega)$ uma operação bilinear nas funções diferenciables sobre as que as funções (suaves) de formam $C^\infty$ um álgebra. Isto está dado por:

$\{f,g\} = i_{\tilde{\omega}(df)} dg = - i_{\tilde{\omega}(dg)} df = -\{g,f\}$

Esta simetría sesgada do colchete de Poisson está assegurada pelos axiomas do cálculo exterior e a condição $d\omega = 0$ . Como o mapa $\tilde{\omega}$ é linear em todo o ponto e de simetría sesgada, alguns autores o associam a um bivector, que não é um objecto frequentemente encontrado no cálculo exterior. Nesta forma chama-se o bivector de Poisson ou a estrutura de Poisson na variedade simpléctica, e denota-se como $\{f,g\} = \tilde{\omega}(df, dg)$ .

O colchete de Poisson em funções suaves corresponde-se com o colchete de Envolva em campos vectoriais coexactos e herda toda suas propriedades. Pelo que satisfaz a Identidade de Jacobi:

$\ \{f,\{g,h\}\} + \{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\} = 0$

O colchete de Poisson $\{f,\_\}$ com respeito a um campo escalar f corresponde-se com a derivada de Envolva com respeito a . $\tilde{\omega}(df)$ Pelo que é uma derivada, e assim, satisfaz a Regra de Leibniz:

$\ \{f,gh\} = \{f,g\}h + g\{f,h\}$

Uma propriedade fundamental das variedades é que o interruptor das operações de derivada de Envolva sobre dois campos vectoriais é equivalente à derivada de Envolva respecto de algum campo vectorial, que ser-se-á seu colchete de Envolva. O papel paralelo do colchete de Poisson é aparente fazendo uma classificação da identidade de Jacobi:

$\ \{f,\{g,h\}\} - \{g,\{f,h\}\} = \{\{f,g\},h\}$

Se o colchete de Poisson de f e g anula-se ( $\{f,g\}=0$ ), então diz-se que f e g estão em involución mútua, e as operações de fazer o colchete de Poisson respecto de f e g comutam.

Coordenadas canónicas

O colchete de Poisson pode-se expressar em coordenadas canónicas $(q^i,p_j)\,$ do espaço de fases $\Gamma\,$ :

(*) $\{\tilde{f},\tilde{g}\} = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{\part \tilde{f}}{\part q^{i}} \frac{\part \tilde{g}}{\part p_{i}} - \frac{\part \tilde{f}}{\part p_{i}} \frac{\part \tilde{g}}{\part q^{i}} \right]$

Mais formalmente se $(U\subset\Gamma,\varphi)$ é uma carta local, sócia às coordenadas canónicas definidas anteriormente, isto é:

$\varphi:U\to\R^{2n},\qquad x\in U \mapsto (q^i,p_j)=\varphi(x)$

O colchete de Poisson o pullback da anterior aplicação dada em (*):

$\{f,g\} = \varphi^*(\{\tilde{f},\tilde{g}\}) = \{\tilde{f}\circ\varphi,\tilde{g}\circ\varphi\} \,$

Equações do movimento

As equações de movimento de Hamilton-Jacobi têm uma expressão equivalente em termos do colchete de Poisson. Isto se pode demonstrar directamente tomando umas coordenadas explícitas. Imaginemos que $f(q,p,t)$ é uma função na variedade. Então tem-se que

$\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(p,q,t) = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac {\partial f}{\partial p} \frac {\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} + \frac {\partial f}{\partial q} \frac {\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$

Então, chamando a e $p=p(t)$ $q=q(t)$ as soluções das equações de Hamilton-Jacobi $\dot{q}={\partial H}/{\partial p}$ e $\dot{p}=-{\partial H}/{\partial q}$ , um pode escrever

$\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(p,q,t) = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac {\partial f}{\partial q} \frac {\partial H}{\partial p} - \frac {\partial f}{\partial p} \frac {\partial H}{\partial q} = \frac{\partial f}{\partial t} +\{f,H\}$

Assim, a evolução temporária de uma função f em uma variedade simpléctica pode se dar como uma família uniparamétrica de variemorfismos, com o tempo t sendo o parámetro. Eliminando as coordenadas, tem-se

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f= \left(\frac{\partial }{\partial t} - \{\,H, \cdot\,\}\right)f.$

O operador $- \{\,H, \cdot\,\}$ conhece-se como o liouvilliano.

Constantes de movimento

Um sistema dinâmico integrable tem que ter constantes de movimentos além da energia. Tais constantes comutarão com o hamiltoniano baixo o colchete de Poisson. Imaginemos que a função $f(q,p)$ é uma constante de movimento. Isto implica que se $q(t),p(t)$ é uma trajectória ou solução das equações de movimento de Hamilton-Jacobi, então se tem que $0=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}$ ao longo de dita trajectória. Pelo que

$0 = \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(p,q) = \frac {\partial f}{\partial p} \frac {\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} + \frac {\partial f}{\partial q} \frac {\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = \frac {\partial f}{\partial q} \frac {\partial H}{\partial p} - \frac {\partial f}{\partial p} \frac {\partial H}{\partial q} = \{f,H\}$

onde, como acima, os passos intermediários se realizam aplicando as equações de movimento. Esta equação conhece-se como a equação de Liouville. O conteúdo do teorema de Liouville é que a evolução temporária de uma medida (ou função de distribuição no espaço de fases) está dado pelo anterior.
Para que um sistema hamiltoniano seja completamente integrable, todas suas constantes de movimento devem estar em involución mútua.

Álgebra de Envolva

Os colchetes de Poisson são anticonmutativos. Também satisfazem a identidade de Jacobi. Isto faz que o espaço das funções suaves de uma variedade simpléctica seja um álgebra de Envolva de dimensão infinita com o colchete de Poisson actuando como o colchete de Envolva. O correspondente grupo de Envolva é o grupo de simplectomorfismos das variedades simplécticas (também conhecido como transformações canónicas).
Dado um campo vectorial diferenciable X no meio tangente, seja $P_X$ seu momento conjugado. O mapa dos momentos conjugados é um álgebra de Envolva antihomomorfa desde o colchete de Poisson ao colchete de Envolva:

$\{P_X,P_Y\}=-P_{[X,Y]}.\,$

Isto é um resultado importante que vale a pena demonstrar. Escrevamos um campo escalar X no ponto q do espaço de configuração como

$X_q=\sum_i X^i(q) \frac{\partial}{\partial q^i}$