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Conjunto vazio

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O conjunto vazio é aquele que não tem elementos.

Em matemáticas, especificamente em teoria de conjuntos, o conjunto vazio é o único conjunto que não contém elementos. Na axiomática de Teoria de conjuntos se postula o axioma do conjunto vazio. Algumas propriedades dos conjuntos são trivialmente certas para o conjunto vazio.

Conteúdo

Anotação

O conjunto vazio é denotado por qualquer destes símbolos:

 \varnothing \, \acute{o} \; \emptyset \,

derivada da letra Ø (introduzida especialmente por André Weil) em 1939.

Outra anotação comum para o conjunto vazio é:

 \{ \} \,

Propriedades

(Aqui usaremos símbolos usados em matemáticas.)

 \forall A : \; \varnothing \subseteq A
 \forall A : \; A \cup \varnothing = A
 \forall A : \; A \cap \varnothing = \varnothing
  \forall A : \; A \times \varnothing = \varnothing \times A = \varnothing
 \forall A : \; A \subseteq \varnothing \; \Rightarrow \; A = \varnothing
 | \varnothing | = 0
que se pode expressar:
 {Card}(\varnothing) = 0
portanto  V = \varnothing

Os matemáticos geralmente falam de 'o conjunto vazio' e não de 'um' conjunto vazio, pois em Teoria de conjuntos, dois conjuntos são iguais se e só se um é subconjunto do outro e vice-versa, i.e. têm os mesmos elementos. Em conclusão, só há um conjunto vazio.

Problemas comuns

O conjunto vazio, apesar de conter nada, segue sendo algo em si mesmo: um conjunto. Esta distinção é importante se situamos aos conjuntos em um contexto. Por exemplo, se imaginamos aos conjuntos como carteiras, capazes de conter diferentes elementos, o conjunto vazio seria aquela carteira sem elementos dentro; mas ainda assim seguiria sendo uma carteira.

É por isto que a conjunto potência sempre contém ao conjunto vazio.

Todo conjunto é subconjunto de si mesmo, portanto, o conjunto vazio é vazio no sentido de seu cardinalidad (que tanto faz a 0), e não no sentido de sua identidade.

Veja-se também

Referências

Obtido de http://ks312095.kimsufi.com../../../../articles/a/r/t/Encydia-Wikilingue%7EArt%C3%ADculos_solicitados_2358.html"