cuadratura do círculo - Wikilingue - Encydia
- Para outros usos de círculo, veja-se Círculo (desambiguación)
Denomina-se cuadratura do círculo ao problema matemático, irresoluble de geometria, consistente em achar —com só regra e compás— um quadrado que possua uma área que seja igual à de um círculo dado.
A resolução deste problema tratou de abordar-se repetidas vezes, sem sucesso, desde a antigüedad clássica até o século XIX. Falando em sentido figurado, diz-se de algo que é a "cuadratura do círculo" quando representa um problema muito difícil ou impossível de resolver.
Conteúdo |
Cuadratura de superfícies rectilíneas
Os matemáticos da Grécia clássica cedo interessaram-se por cuadrar superfícies mais ou menos irregulares limitadas por rectas (superfícies poligonais). Uma superfice é cuadrable quando, a partir dela, é possível obter geometricamente um quadrado que tenha a mesma área que aquela. Desde um ponto de vista prático, cuadrar superfícies irregulares permitia simplificar o cálculo de suas áreas já que, enquanto podia ser fatigoso calcular a área de uma superfície não regular, o cálculo da área de seu quadrado equivalente seria trivial.
Os gregos, influídos pela preeminencia da geometria em suas matemáticas, procuraram procedimentos puramente geométricos para achar a cuadratura das diferentes superfícies. Isto implicava limitar ao uso de dois elementos tecnológicos simples como o compás e a regra. Tem de acrescentar-se que, para os gregos, era impropio usar o compás como instrumento para transportar distâncias.
Mediante os métodos de cuadratura do retângulo e do triângulo, bem como mediante a descomposição dos polígonos em triângulos, os gregos cuadraban qualquer superfície poligonal. Era possível cuadrar superfícies de lados rectilíneos.
Cuadratura do círculo
A possibilidade de cuadrar superfícies limitadas por curvas (superfícies curvilíneas) e, em especial, a cuadratura do círculo, não teria parecido tão plausible aos gregos de não ter sido pelo facto de que Hipócrates de Quíos demonstrou que certas figuras curvilíneas construídas a propósito por ele, telefonemas lúnulas, podiam cuadrarse. A resolução da cuadratura das lúnulas de Hipócrates criou uma falsa expectativa entre os matemáticos da antigüedad, levando-lhes a pensar que poderia cuadrarse o círculo.
No século XX Chebotariov e Dorodnov provaram que, em general, as lúnulas não podem cuadrarse excepto os três tipos de lúnulas propostos por Hipócrates e mais dois tipos contribuídos por Leonhard Euler no século XVIII. Desta forma ficou de manifesto que a cuadratura da lúnula não era outra coisa que uma solução excepcional de um problema irresoluble, coisa que confundiu aos matemáticos durante séculos achando que as lúnulas poderiam os acercar à cuadratura do círculo.
Em 1882 , o matemático alemão Ferdinand Lindemann provou que π é um número trascendente, o que implica que é impossível cuadrar o círculo usando regra e compás, resolvendo completamente o problema. As provas usuais usam álgebra (teoria de Galois por exemplo) e variável complexa.
Importância de 
| Erro ao criar miniatura: |
Sendo 
a área do círculo e 
a área do quadrado, onde 
e 
são a rádio do círculo e o lado do quadrado respectivamente, se observa que, para o quadrado de área igual à do círculo, 
. Em outras palavras, a rádio do círculo e o lado do quadrado são proporcionais, sendo 
o factor de proporção.
Isto implica que, se é possível cuadrar o círculo, se pode obter com regra e compás, isto é, poder-se-ia obter por médio de operações algébricas. No entanto, os números trascendentes são um subconjunto dos números reais que se caracterizam, entre outras coisas, precisamente por não ser obtenibles a partir de tais operações. Se é um número trascendente, como demonstrou Lindemann, também o é. De aqui a imposibilidad de cuadrar o círculo à maneira grega.
Veja-se também
Bibliografía
- DUNHAM, William Viaje através dos génios. Biografias e teoremas dos grandes matemáticos. Madri, 2002. Edições Pirâmide.
Enlaces externos
- O conteúdo deste artigo incorpora material de uma entrada da Enciclopedia Livre Universal, publicada em espanhol baixo a licença Creative Commons Compartilhar-Igual 3.0.
