Cuadrivector

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Diagrama 1. Aparência do espaço tempo ao longo de uma linha de universo de um observador acelerado.

A direcção vertical indica o tempo, a horizontal indica a distância espacial, a linha punteada é a trajectória do observador no espaço tempo. O quarto inferior representa o conjunto de acontecimentos passados visíveis ao observador. Os pontos podem representar qualquer tipo de acontecimentos no espaço tempo

A pendente da linha de universo ou trajectória da vertical dá a velocidade relativa do observador.

Um cuadrivector é a representação matemática em forma de vetor de quatro dimensões de uma magnitude vectorial em teoria da relatividad.

Conteúdo

1 Motivação
2 Cuadrivectores na teoria especial da relatividad
- 2.1 Cuadritensores em relatividad especial
- 2.2 Cuadriescalares em relatividad especial
3 Cuadrivectores em teoria geral da relatividad

Motivação

Os trabalhos de Lorentz , Poincaré, Einstein e Minkowski sobre o electromagnestismo clássico levaram à ideia de que não é possível definir um tempo absoluto que decorre de maneira idêntica para todos os observadores com independência de seu estado de movimento.

A não existência de um tempo absoluto, requeria que existisse uma medida de tempo para a cada observador. Assim o conjunto de eventos (pontos do espaço tempo) levavam de maneira natural a definir vetores de quatro dimensões:

$E = (ct,x,y,z)\,$

Onde as quatro componentes anteriores representavam o instante em que sucedia algo e as três coordenadas espaciais onde ocorriam e c é simplesmente a velocidade da luz (introduzida aqui por conveniencia, para que todas as coordenadas tenham dimensões de longitude). Os experimentos mostravam que quando diversos observadores se punham a medir suas respectivas coordenadas para o evento obtinham números diferentes mas estes guardavam entre si certa relação dadas por umas equações que mais tarde se chamaram transformações de Lorentz.

Essas transformações de Lorentz de facto ao ser aplicadas às equações de Maxwell e à força electromagnética que nota uma partícula carregada, as deixavam invariantes em forma. Isto é, diversos observadores mediam coordenadas espaciais e temporais diferentes, encontravam diferentes medidas para a intensidade de campo eléctrico e magnético, mas as equações que relacionavam para um mesmo observador tinham a mesma forma para todos os observadores inerciales. Matematicamente essas transformações ou relações de Lorentz envolvem as componentes das magnitudes vectoriais e certas magnitudes escalares. Um passo importante foi dado por Poincaré e Minkowski quando provaram que as transformações de Lorentz podiam ser concebidas como rotações espaço temporais em um espaço-tempo de quatro dimensões.

Assim quando Albert Einstein formulou sua teoria especial da relatividad postuló o princípio de covariancia segundo o qual as equações da física tinham que ter a mesma forma para todos os sistemas de referência inerciales, isso acrescentado a que as componentes de certas magnitudes se relacionavam de acordo com as transformações de Lorentz levava a considerar vetores e tensores sobre um espaço vectorial de quatro dimensões, três dimensões espaciais e uma dimensão temporária.

Cuadrivectores na teoria especial da relatividad

O espaço-tempo da teoria da relatividad ou espaço de Minkowski $(\mathcal{M},\boldsymbol\eta)$ é plano, isso significa que existe um difeomorfismo entre $\R^4$ . Os cuadrivectores neste caso obtêm-se simplesmente acrescentando às três componentes de qualquer magnitude vectorial da mecânica newtoniana um "escalar newtoniano" de tal maneira que formemos vetores com três componentes espaciais (as do vetor newtoniano) e uma componente temporária (o "escalar newtoniano"), a seguir apresentamos a compleción covariante de algumas magnitudes vectoriais da mecânica newtoniana:

Cuadrivector velocidade ou cuadrivelocidad. Da mesma maneira que a velocidade em mecânica newtoniana é a derivada temporária da posição com respeito ao tempo, na teoria especial da relatividad a cuadrivelocidad é a derivada temporária do cuadrivector posição com respeito ao tempo próprio da partícula. Dada a relação entre o tempo coordenado e o tempo próprio o cuadrivector velocidade vem dado por:

$\mathbf{V} = (\gamma c; \gamma v_x, \gamma v_y, \gamma v_z) = \left( \frac{c}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} ; \frac{\mathbf{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right) \in \R\times\R^3$

Onde $\mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z)$ é a velocidade newtoniana convencional e $\gamma \,$ é o factor de Lorentz.

Cuadrivector momento ou cuadrimomento: é o produto da cuadrivelocidad pela massa em repouso e por tanto vene dado por:

$\mathbf{P} = m\mathbf{V} = \left(\frac{E}{c}; p_x, p_y, p_z \right) = \left( \frac{mc}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} ; \frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)$

Cuadrivector aceleração ou cuadriaceleración. Obtém-se como a derivada da cuadrivelocidad com respeito ao tempo próprio, reescribiendo o resultado em termos da velocidade $\mathbf{v}$ e aceleração $\mathbf{a}$ newtonianas isso resulta:

$\mathbf{A} = \frac{d\mathbf{V}}{d\tau} = \left(\gamma \dot{\gamma} c, \gamma \dot{\gamma} \mathbf{u} + \gamma^2 \dot{\mathbf{u}} \right) = \left( \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{a}} {c(1-\frac{v^2}{c^2})^2} ; \frac{(\mathbf{v} \cdot \mathbf{a})\mathbf{v}} {c^2(1-\frac{v^2}{c^2})^2}+ \frac{\mathbf{a}}{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)$

Cuadrivector força ou cuadrifuerza. Define-se como a derivada do momento linear com respeito ao tempo próprio pelo que resulta ser:

$\mathbf{F} = \frac{d\mathbf{P}}{d\tau} = \left(\gamma \dot{\gamma} mc, \gamma \mathbf{f} \right) = \left( \frac{\mathbf{f} \cdot \mathbf{v}} {c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} ; \frac{\mathbf{f}} {\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)$

Cudrivector de densidade de corrente. Em um sistema de ónus em movimento define-se a densidade de corrente ao fluxo de ónus tridimensional $\mathbf{j}_e$ como a quantidade de ónus que passa através de um ponto do espaço por unidade de tempo e por unidade de superfície. Em relatividad a magnitude correspondente obtém-se agregando-lhe a densidade de ónus eléctrica:

$\mathbf{J} = (\rho_e c, \rho_e v_x, \rho_e v_y, \rho_e v_z) = \left(\rho_e c, \mathbf{j}_e \right)$

Cuadrivector de potencial. O potencial escalar do electromagnetismo clássico, junto com o potencial vetor, cujo rotacional dá o campo magnético, formam juntos um cuadrivector dado por:

$\mathbf{A} = (\phi, A_x, A_y, A_z)$

Cuadritensores em relatividad especial

Ademais algumas outras magnitudes tratadas em mecânica newtoniana como pseudovectores ou vetores axiais, como o momento angular e o campo magnético correspondem em mecânica relativista ao dual de Hodge das componentes espaciais de um tensor antisimétrico:

Cuadritensor momento angular. É o produto tensorial antisimetrizado do cuadrimomento por um cuadrivector de posição:

$\mathbf{L} = \begin{pmatrix} 0 & ctp_x - Ex/c & ctp_y - Ey/c & ctp_z - Ez/c \\ Ex/c - ctp_x & 0 & xp_y - yp_x & xp_z - zp_x \\ Ey/c - ctp_y & yp_x - xp_y & 0 & yp_z - yp_z \\ Ez/c - ctp_z & zp_x - xp_z & zp_y - yp_z & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & r_x & r_y & r_z \\ -r_x & 0 & L_z & -L_y \\ -r_y & -L_z & 0 & L_x \\ -r_z & L_y & -L_x & 0 \end{pmatrix}$

Pode ver-se que as 3 componentes espaciais formam o momento angular da mecânica newtoniana $\mathbf{l} = (L_x, L_y, L_z)$ e o resto de componentes $(r_x, r_y, r_z) \,$ descrevem o momiviento do centro de massas relativista.

Cuadritensor campo electromagnético:

$\mathbf{F} = \begin{pmatrix} F_{00} & F_{01} & F_{02} & F_{03} \\ F_{01} & F_{11} & F_{12} & F_{13} \\ F_{02} & F_{21} & F_{22} & F_{23} \\ F_{03} & F_{31} & F_{32} & F_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & B_z & -B_y \\ -E_y/c & -B_z & 0 & B_x \\ -E_z/c & B_y & -B_x & 0 \end{pmatrix}$

Cuadriescalares em relatividad especial

Além de cuadrivectores e cuadritensores algumas magnitudes relativistas são tensores de ordem zero, isto é, escalares. Entre escalare-los relativistas mais importantes estão:

Intervalo de espaciotiempo:
$\Delta s^2=x^a x^b \eta_{ab}=c^2 \Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2 \,$
Tempo próprio (para intevalos timelike):
$\Delta \tau = \sqrt{\frac{\Delta s^2}{c^2}},\, \Delta s^2 > 0$
Massa em repouso:
$m_0^2 c^2 = p^a p^b \eta_{ab}= \frac{E^2}{c^2} - p_x^2 - p_y^2 - p_z^2$
Invariante electromagnético:
$F_{ab} F^{ab} = \ 2 \left( B^2 - \frac{E^2}{c^2} \right) \qquad G_{cd}F^{cd}=\epsilon_{abcd}F^{ab} F^{cd} = \frac{2}{c} \left( \vec B \cdot \vec E \right)$

Cuadrivectores em teoria geral da relatividad

Na teoria geral da relatividad o espaço-tempo $(\mathcal{M},\mathbf{g})$ representa-se por uma variedade pseudoriemanniana definida por um tensor métrico que varia de um ponto a outro do espaço. Isso impede, como passava com o espaço de Minkowski da relatividad especial, identificar directamente os pontos da variedade $\mathcal{M}$ com o espaço vectorial tangente de dita variedade.

Por isso todos os cuadritensores em teoria da relatividad se definem só sobre o espaço tangente a um ponto. Isso complica o aparelho matemático porque quando se comparam magnitudes tensoriales ou vectoriais em diferentes pontos do espaço, os espaços vectoriais tangentes sobre os que estão definidos não têm a mesma orientação. Requerendo o princípio de covariancia que se introduzam os termos adequados para ter em conta este facto.

Obtido de http://ks312095.kimsufi.com../../../../articles/c/ou/m/Comunicações_de_Andorra_46cf.html"

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