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Cuadrivelocidad

cuadrivelocidad - Wikilingue - Encydia

A cuadrivelocidad é uma magnitude vectorial sócia ao movimento de uma partícula, usada no contexto da teoria da relatividad, que é tangente à trajectória de dita partícula através do espaço tempo cuatridimiensional.

Relação entre velocidade e cuadrivelocidad

Da mesma maneira que a velocidade \mathbf{v} em mecânica newtoniana é a derivada temporária da posição com respeito ao tempo, na teoria da relatividad a cuadrivelocidad \mathbf{V} é a derivada temporária das coordenadas de posição com respeito ao tempo próprio da partícula:

(1) V^i = \frac{dx^i}{d\tau}

Dada a relação entre o tempo coordenado e o tempo próprio o cuadrivector velocidade vem dado por:

\mathbf{V} = (\gamma c; \gamma v_x, \gamma v_y, \gamma v_z) =  \left( \frac{c}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} ; \frac{\mathbf{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right) \in \R\times\R^3

Onde \mathbf{v} = (v_x, v_y, v_z) é a velocidade newtoniana convencional e \gamma \, é o factor de Lorentz. É importante notar que o "módulo" de dita velocidade, é constante como:

|\mathbf{V}| := \sqrt{-g(\mathbf{V},\mathbf{V})} = \sqrt{-\eta_{\alpha\beta}V^\alpha V^\beta} = \sqrt{- \gamma^2(-c^2 + v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)} = c\sqrt{\frac{1-\frac{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}{c^2}}{1-\frac{v^2}{c^2}}}= c

Relações com outras magnitudes

Analogamente ao que sucede em mecânica newtoniana, onde a quantidade de movimento e a velocidade são dois vetores proporcionais, em mecânica relativista suas análogos o cuadrimomento e a cuadrivelocidad são dois vetores que diferem só em uma constante de proporcionalidade, que se identifica com a massa em repouso:

\mathbf{P} = m\mathbf{V} = \left(\frac{E}{c}; p_x, p_y, p_z \right) =  \left( \frac{mc}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} ; \frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)

Veja-se também

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