Curva

curva - Wikilingue - Encydia

Em matemáticas, o conceito de curva é uma linha contínua de uma dimensão, que varia de direcção paulatinamente. Exemplos singelos de curvas fechadas são a elipse ou a circunferencia, e de curvas abertas a parábola, a hipérbola ou a catenaria. A recta seria o caso limite de uma curva de rádio infinito.

Conteúdo

1 Definições
2 Geometria diferencial de curvas em R 3
- 2.1 Vetores tangente, normal e binormal
3 Enlaces externos

Definições

Em geometria, uma curva no n-espaço euclideano é um conjunto $\mathcal{C}\sub\mathbb{R}^n$ que é a imagem de um intervalo Ι aberto baixo uma aplicação diferenciable $\mathbf{x}\colon\Iota\to\mathbb{R}^n$ , i.e:

$\mathcal{C} = \{\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\colon t\in\Iota \}$

onde costuma se dizer que ( $\mathbf{x}, \Iota$ ) é uma representação paramétrica ou parametrización de .. $\mathcal{C}$

Com o objectivo de evitar auto interseções, pontos singulares e aos extremos, define-se o conceito de curva simples como aquela curva tal que pára todo o ponto p existe um Ω meio aberto de p para o qual $\Omega\cap\mathcal{C}$ admite uma representação de classe $C^k$ com $k\geq 1$ .

O dicionário da Real Academia Espanhola da Língua define-a em sua página site, da seguinte maneira: 1. f. Geom. A que não é recta em nenhuma de suas porções.

Geometria diferencial de curvas em R 3

Artigo principal: Geometria diferencial de curvas

A geometria diferencial de curvas propõe definições e métodos para analisar curvas simples no espaço euclídeo tridimensional ou, mais geralmente, curvas contidas em variedades de Riemann. Em particular, no espaço euclídeo tridimensional $\mathbb{R}^3$ , uma curva da que se conhece um ponto de passagem e o vetor tangente em dito ponto, fica totalmente descrita por sua curvatura e torque. Esta curvatura e torque podem estudar-se mediante o chamado triedro de Frênet-Serret, que se explica a seguir.

Vetores tangente, normal e binormal

Vista esquemática do vetor tangente (azul), vetor normal (verde) e vetor binormal (vermelho) de uma curva hélice.

Dada uma curva parametrizada r(t) segundo um parámetro qualquer t se define o chamado vetor tangente, binormal e normal como:

$\mathbf{t}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\left \Vert \mathbf{r}'(t) \right \|}$

$\mathbf{b}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}''(t)}{\left \Vert \mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}''(t) \right \|}$

$\mathbf{n}(t)=\mathbf{b}(t)\times \mathbf{t}(t)$

Estes três vetores são unitários e perpendiculares entre si, juntos configuram um sistema de referência móvel conhecido como triedro de Frênet-Serret. É interessante que para uma partícula física deslocando no espaço, o vetor tangente é paralelo à velocidade, enquanto o vetor normal dá a mudança direcção por unidade de tempo da velocidade ou aceleração normal.