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Curva de demanda

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Curvas de demanda e curva de oferta.

A curva da demanda é a representação gráfica da relação matemática entre a máxima quantidade de um determinado bem ou serviços que um consumidor estaria disposto a pagar à cada preço desse bem.

A curva de demanda, junto com a curva de oferta, é uma das ferramentas de análise teórico empregadas em economia neoclásica para predizer a determinação de preços. O ponto de interseção entre ambas curvas se conhece com o nome de equilíbrio entre a oferta e a demanda.

Conteúdo

Introdução

A curva de demanda é um constructo útil em para predizer o efeito provável de certas medidas económicas, e o impacto de certas situações. Frequentemente fala-se da curva de demanda como um objecto realmente existente, ainda que realmente é um objecto abstrato cuja existência se deriva de supostos matemáticos concretos que às vezes se cumprem só muito aproximadamente. Ademais a curva de demanda e suas propriedades dependem de que os consumidores apresentem racionalidad perfeita, as mercadorias sejam infinitamente dividibles e outra série de supostos, criticables. No entanto, ainda com as limitações que possam impor as abstracções anteriores, a curva de demanda é um constructo teórico útil para compreender o comportamento dos mercados, e em muitos casos podem ser inclusive uma descripcidión empiricamente adequada.

Factores que determinam a demanda

Convém recordar que os factores que determinam a demanda de um bem são o preço do mesmo, o preço dos demais bens, a renda pessoal do consumidor e também as preferências ou gustos dos indivíduos. As deslocações ao longo da curva de demanda expressam a variação da quantidade demandada por efeito do preço, assumindo que os demais factores se mantêm constantes.

Curva de demanda aprecio

A curva de demanda aprecio normalmente tem uma trajectória descendente que mostra como, à medida que sobe o preço, vai descendo o consumo do produto. Excepcionalmente existem uns bens, denominados bens giffen, para os que a curva de demanda aprecio não é decreciente. Um bem Giffen só pode existir em um mercado com outros bens substituibles.

Deslocação da curva de demanda

Quando a curva de demanda se desloca para a direita, explica um aumento na demanda devido à variação de um factor diferente do preço, e quando a curva se desloca para a esquerda isto manifesta uma diminuição na demanda devida também à variação de um factor diferente do preço. Outros factores externos que influem na deslocação da curva são: o aumento da população demandante do bem. Mudanças nas perspectivas de preços futuros.

A curva de demanda e o equilíbrio

Para que o ponto de equilíbrio entre oferta e demanda seja único, há várias características que deve cumprir a curva de demanda:

Dedução das demandas de um consumidor

Baixo certos supostos matemáticos idealizados pode demonstrar-se a existência de uma "curva" de demanda para um consumidor racional para o que podem se definir "curvas" de indiferença contínuas. Em um mercado com n bens disponíveis a "curva" de demanda ao igual que as "curvas" são hipersuperficies de n dimensões, e não uma curva como sucede em um mercado de um único bem que não é nem complementar nem substitutivo de outros bens. Usualmente supõe-se que um consumidor racional idealizado conhece de antemão a renda disponível e planifica seu consumo durante um verdadeiro período de tempo elegendo consumir nele uma quantidade que maximiza sua "satisfação" e ao mesmo tempo cumpre a restrição orçamental de que o custo das quantidades consumidas não supera a renda disponível. Matematicamente isso implica encontrar o máximo de utilidade (1) sobre um verdadeiro conjunto \scriptstyle \Sigma (que é o conjunto compatível (2) com a restrição orçamental):

(1) \max_{(Q_1,\dots,Q_n)\in \Sigma} f_U(Q_1,\dots,Q_n)
(2) \Sigma = \{ (Q_1,\dots,Q_n)\in \R^n|\ P_1Q_1+\dots+P_nQ_n \le Y \}

Baixo certas condições razoáveis sobre a função de utilidade \scriptstyle f_U pode demonstrar-se que o problema anterior admite uma solução única para um nível de renda e um conjunto de preços dados e, por tanto, define uma função ou "curva" de demanda.

Carácter decreciente

Ademais pode demostarse sem requerê-lo a priori que se as funções de utilidade são diferenciables e convexas então cumprir-se-á a função de demanda \scriptstyle \mathbf{Q} = f_D(\mathbf{P}) é "decreciente" no preço ou mais exactamente que:

\left(\frac{\part Q_i}{\part P_i}\right)_{P_j\ne P_i} \le 0

Existência da curva de demanda

A existência e unicidad da curva de demanda baixo as condições anteriores pude provar-se a partir do teorema da função implícita. Para provar isso pode é necessário propor um problema de extremos condicionados, mediante o método dos multiplicadores de Lagrange. Para isso se define a função auxiliar:

\Phi(Q_1, \dots, Q_n; P_1, \dots, P_n;\lambda) = f_U(Q_1, \dots, Q_n) -\lambda(Y-\sum_k P_k Q_k)

A função anterior tem um máximo relativo quando a utilidade atinge um máximo, isso implica que se cumprem as seguintes relações entre utilidades marginales:

\frac{\part \Phi}{\part Q_i} = \frac{\part f_U}{\part Q_i} - \lambda P_i = 0

Das relações anteriores pode despejarse de uma delas \lambda\, por exemplo:

\lambda = \frac{1}{P_i}\frac{\part f_U}{\part Q_i}

Agora definimos uma função \mathbf{F} à que aplicar o teorema da função implícita:

F_i(Q_1, \dots, Q_n; P_1, \dots, P_n) := \frac{1}{P_i}\frac{\part f_U}{\part Q_i} - \frac{1}{P_n}\frac{\part f_U}{\part Q_n}, \quad \forall i\le n-1
F_n(Q_1, \dots, Q_n; P_1, \dots, P_n;Y) := Y - \sum_{k=1}^n P_k Q_k

É fácil comprovar que se a função de utilidade é estritamente convexa:

\mathbf{F}:{\R^+}^n \times {\R^+}^n \times \R \to \R^n, \quad \mathbf{F}(\mathbf{Q}^*;\mathbf{P};Y) = \mathbf{0}\ \land\ \det \left(\frac{\part F_i}{\part Q_i}\right) \ne 0

O teorema da função implícita aplicado à função anterior implica que existe uma função f_D\, tal que:

\mathbf{Q}^* = f_D(\mathbf{P};Y)

A função f_D(\cdot,\cdot) é precisamente a função que dá curva de demanda para o vetor de preços e a renda disponível do consumidor.

Pendente da curva de demanda

Se incluem-se alguns supostos básicos sobre as funções de utilidade consideradas anteriormente pode-se demonstrar que a curva de demanda tem pendente negativa, ou mais exactamente que para qualquer bem:

\frac{\part Q_i}{\part P_i}\le 0 \qquad \forall i

As equações anteriores interpretam-se como que as quantidades demandadas de um bem devem diminuir ao aumentar o preço deste, se mantendo todo o demais igual (isto é, mantendo o nível de renda e o preço do resto de bens). As magnitudes anteriores são precisamente os termos da matriz jacobiana que faz de diferencial da função \scriptstyle \mathbf{Q}^* = f_D(\mathbf{P};Y) Isto é:

D{f_D} = D_\mathbf{P}\mathbf{Q} = \begin{bmatrix} \frac{\part Q_1}{\part P_1} & \frac{\part Q_1}{\part P_2} & \dots & \frac{\part Q_1}{\part P_n}\\ \frac{\part Q_2}{\part P_1} & \frac{\part Q_2}{\part P_2} & \dots & \frac{\part Q_2}{\part P_n}\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\ \frac{\part Q_n}{\part P_1} & \frac{\part Q_n}{\part P_2} & \dots & \frac{\part Q_n}{\part P_n} \end{bmatrix}

Pela regra da corrente de funções de várias variáveis e o teorema da função implícita, a matriz jacobiana anterior pode expressar-se como produto de matrizes jacobianas:

(*) D{f_D} = D_\mathbf{P}\mathbf{Q}^* = - (D_{\mathbf{Q}^*}\mathbf{F})^{-1}D_\mathbf{P}\mathbf{F}

Em general a expressão anterior resulta muito complicada para uma função de utilidade totalmente geral. Para uma função de utilidade separable:

f_U(Q_1,Q_2,\dots,Q_n) = f_1(Q_1) + f_2(Q_2) + \dots + f_n(Q_n) = \sum_{i=1}^n f_i(Q_i)

A expressão (*), é mais facilmente calculable resultado por exemplo para o primeiro bem:

(**) \frac{\part Q_1}{\part P_1} = \frac{1}{P_1} \frac{f'_1 (P_2^2f''_3\dots f''_n + f''_2P_3^2\dots f''_n + \dots + f''_2\dots f''_{n-1}P_n^2) - P_1^2 Q_1(f''_2\dots f''_n) }{P_1^2f''_2\dots f''_n + f''_1P_2^2\dots f''_n + \dots + f''_1\dots f''_{n-1}P_n^2}

Se admitimos que a utilidade marginal é estritamente decreciente:

f''_i(Q_i) \le 0, \qquad \forall i\in\{1,\dots, n\}

Então se \scriptstyle n é par o numerador é postivo e o denominador de (**) é postivo e o numerador negativo, se é ímpar o numerador é negativo e o denominador positivo, e por tanto em todos os casos baixo a condição anterior a expressão resulta ser negativa, e por tanto fica provado nesse caso que a curva de demanda tem pendente negativa.

Exemplo: Mercado de dois bens

Nesta secção considera-se aplicar a teoria dos apartados anteriores a um mercado de dois bens. Neste caso a função de utilidade e a restrição orçamental virão dadas por:

U:= f_U(Q_1,Q_2;Y), \qquad P_1Q_1+P_2Q_2 = Y

A matriz jacobiana de quantidades em frente a preços virá dada por:

\begin{bmatrix} \frac{\part Q_1}{\part P_1} & \frac{\part Q_1}{\part P_2}\\ \frac{\part Q_2}{\part P_1} & \frac{\part Q_2}{\part P_2} \end{bmatrix} = \frac{1}{D} \begin{bmatrix} -\part^2_{Q_2}f_U \part_{Q_1}f_U/P_1 & \part^2_{Q_1Q_2}f_U \part_{Q_2}f_U/P_2 \\ \part^2_{Q_1Q_2}f_U \part_{Q_1}f_U/P_1 & -\part^2_{Q_1}f_U \part_{Q_2}f_U/P_2 \end{bmatrix}

Sendo:

D < 0\,

Admitindo que a função de utilidade é não-decreciente e convexa[1] se têm as condições:

\part_{Q_i} f_U = \frac{\part f_U}{\part Q_i} \ge 0, \qquad \part^2_{Q_i} f_U = \frac{\part^2 f_U}{\part Q_i^2} < 0

E nesse caso pode-se provar que a "curva" de demanda tem pendente negativa em todos seus pontos já que:

\frac{\part Q_i}{\part P_i} \le 0

Referências

Notas

  1. ↑ A condição de convexidad dá-se por exemplo se cumpre-se a lei dos rendimentos marginales decrecientes para qualquer quantidade de bens.

Bibliografía

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