David Hilbert

David Hilbert

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David Hilbert
Nascimento	23 de janeiro de 1862 Königsberg, Prusia Oriental
Fallecimiento	14 de fevereiro de 1943 Göttingen, Hanover (Alemanha)
Residência	Alemanha
Nacionalidade	Alemã
Campo	Matemático
Instituições	Universidade de Königsberg Universidade de Göttingen
Alma máter	Universidade de Königsberg
Supervisor doctoral	Ferdinand von Lindemann
Estudantes destacados	Wilhelm Ackermann Otto Blumenthal Richard Courant Max Dehn Erich Hecke Hellmuth Kneser Robert König Emanuel Lasker Erhard Schmidt Hugo Steinhaus Teiji Takagi Hermann Weyl Ernst Zermelo
Conhecido por	Teorema da Base de Hilbert Axiomas de Hilbert Problemas de Hilbert Programa de Hilbert Acção Einstein-Hilbert Espaço de Hilbert

David Hilbert (23 de janeiro de 1862 , Königsberg, Prusia Oriental – 14 de fevereiro de 1943 , Göttingen, Alemanha) foi um matemático alemão, reconhecido como um dos mais influentes do século XIX e princípios do XX. Estabeleceu sua reputação como grande matemático e cientista inventando ou desenvolvendo um grande leque de ideias, como a teoria de invariantes, a axiomatización da geometria e a noção de espaço de Hilbert, um dos fundamentos da análise funcional. Hilbert e seus estudantes proporcionaram partes significativas da infra-estrutura matemática necessária para a mecânica cuántica e a relatividad geral. Foi um dos fundadores da teoria da demonstração, a lógica matemática e a distinção entre matemática e metamatemática. Adoptou e defendeu vivamente a teoria de conjuntos e os números transfinitos de Cantor . Um exemplo famoso de sua liderança mundial na matemática é sua apresentação em 1900 de um conjunto de problemas que estabeleceram o curso de grande parte da investigação matemática do século XX.

Na pugna por demonstrar correctamente alguns dos erros cometidos por Einstein, na teoria geral da relatividad, David Hilbert se adiantou às correcções de Einstein, no entanto nunca quis se outorgar o mérito.^[1]

Conteúdo 1 Vida 2 O teorema de finitud 3 Axiomatización da geometria 4 Os 23 problemas 5 Formalismo 6 O programa de Hilbert 6.1 O trabalho de Gödel 7 A escola de Göttingen 8 Análise funcional 9 Física 10 Teoria de números 11 Charlas, ensaios e contribuições misceláneas 12 Últimos anos 13 Notas, referências e enlaces 13.1 Notas 13.2 Referências 14 Veja-se também 15 Enlaces externos

Vida

Hilbert nasceu em Königsberg , em Prusia Oriental (actual Kaliningrado, Rússia). Se graduó no liceo de sua cidade natal e se matriculó na Universidade de Königsberg ("Albertina"). Obteve seu doctorado em 1885, com uma disertación, escrita baixo supervisión de Ferdinand von Lindemann, titulada Über invariante Eigenschaften specieller binärer Formem, insbesondere der Kugelfunctionen ("Sobre as propriedades invariantes de formas binárias especiais, em particular as funções circulares"). Hermann Minkowski coincidiu com Hilbert na mesma universidade e momento como doctorando, e chegaram a ser amigos íntimos, exercendo um sobre o outro uma influência recíproca em vários momentos de suas carreiras científicas.

Hilbert permaneceu como professor na Universidade de Königsberg de 1886 a 1895 , quando, como resultado da intervenção em seu nome de Felix Klein, obteve o posto de Catedrático de Matemática na Universidade de Göttingen, que naquele momento era o melhor centro de investigação matemática no mundo, onde permaneceria o resto de sua vida.

O teorema de finitud

O primeiro trabalho de Hilbert sobre funções invariantes levou-lhe em 1888 à demonstração em seu famoso teorema de finitud. Vinte anos dantes, Paul Gordan tinha demonstrado o teorema da finitud de geradores para formas binárias usando um complexo enfoque computacional. As tentativas de generalizar este método a funções com mais de dois variáveis falharam pela enorme dificuldade dos cálculos implicados. Hilbert deu-se conta de que era necessário seguir um caminho completamente diferente. Como resultado, demonstrou o Teorema da Base de Hilbert: mostrar a existência de um conjunto finito de geradores, para as invariantes de cuánticas em qualquer número de variáveis, mas de forma abstrata. Isto é, demonstrou a existência de dito conjunto, mas não de forma algorítmica senão mediante um teorema de existência.

Hilbert enviou seus resultados aos Mathematische Annalen. Gordan, o experiente em teoria de invariantes para a Mathematische Annalen, não foi capaz de apreciar a natureza revolucionária do teorema de Hilbert e recusou o artigo, criticando a exposição porque era insuficientemente comprensiva. Seu comentário foi:

Isto é teología, não matemática!

Klein, por outro lado, reconheceu a importância do trabalho e assegurou-se de que fosse publicado sem alterações. Animado por Klein e os comentários de Gordan, Hilbert estendeu seu método em um segundo artigo, proporcionando estimativas sobre o grau máximo do conjunto mínimo de geradores, e enviou-o uma vez mais aos Annalen. Depois de ler o manuscrito, Klein escreveu-lhe, dizendo:

Sem dúvida este é o trabalho mais importante em álgebra geral que os Annalen têm publicado nunca.

Mais adiante, quando a utilidade do método de Hilbert tinha sido reconhecida universalmente, o próprio Gordan diria:

Tenho de admitir que inclusive a teología tem seus méritos.

Axiomatización da geometria

O texto Grundlagen der Geometrie (Fundamentos da geometria) que Hilbert publicou em 1899 substitui os axiomas de Euclides tradicionais por um conjunto formal de 21 axiomas. Evitam as debilidades identificadas nos de Euclides , cujos trabalhos seguiam sendo usados como livro de texto naquele momento. O estudante estadounidense de 19 anos Robert Lê Moore publicou de forma independente e contemporânea um conjunto equivalente de axiomas. Alguns deles coincidem, enquanto alguns dos axiomas do sistema de Moore são teoremas no de Hilbert, e vice-versa.

O enfoque de Hilbert marcou a mudança ao sistema axiomático moderno. Os axiomas não se tomam como verdades evidentes. A geometria pode tratar de coisas, sobre as que temos intuiciones poderosas, mas não é necessário atribuir um significado explícito aos conceitos indefinidos. Como diz Hilbert, os elementos tais como o ponto, a recta, o plano e outros, se podem substituir com mesas, cadeiras, jarras de cerveja e outros objectos. O que se discute são suas relações definidas.

Hilbert começa listando os conceitos sem definição: ponto, recta, plano, incidencia (uma relação entre pontos e planos), estar entre, congruencia de pares de pontos e congruencia de ângulos. Os axiomas unificam a geometria plana e a sólida de Euclides em um único sistema.

Os 23 problemas

Hilbert propôs uma lista muito influente de 23 problemas sem resolver no Congresso Internacional de Matemáticos de Paris em 1900. Reconhece-se de forma geral que esta é a recopilación de problemas abertos mais exitosa e de profunda consideração produzida nunca por um único matemático.

Depois de reescribir os fundamentos da geometria clássica, Hilbert podia tê-lo extrapolado ao resto das matemáticas. Este enfoque difere, no entanto, dos posteriores 'fundacionalista' Russel-Whitehead ou o 'enciclopedista' Nicolas Bourbaki, e de seu contemporâneo Giuseppe Peano. A comunidade matemática ao completo poderia embarcar-se em problemas que ele identificou como aspectos cruciais nas áreas da matemática que ele considero como chaves.

Lançou o conjunto de problemas na conferência "Os problemas da matemática" apresentada durante o curso do Segundo Congresso Internacional de Matemáticos celebrado em Paris. Esta é a introdução à conferência de Hilbert:

Quem entre nós não estaria contente de levantar o velo depois do que se esconde o futuro; observar os desenvolvimentos por vir de nossa ciência e os segredos de seu desenvolvimento nos séculos que sigam? Qual será o objectivo para o que tenderá o espírito das gerações futuras de matemáticos? Que métodos, que novos factos revelará no novo século no vasto e rico campo do pensamento matemático?

Apresentou menos da metade dos problemas no Congresso, que foram publicados nas actas. Estendeu o panorama em uma publicação posterior, e com ela chegou a formulación canónica actual dos 23 Problemas de Hilbert. O texto ao completo é importante, dado que a exégesis das questões pode seguir sendo matéria de debate inevitável, a cada vez que se perguntam quantas têm sido resolvidas.

Aqui estão os 23 problemas

1. Problema de Cantor sobre o cardinal do contínuo. Qual é o cardinal do contínuo?

2. A compatibilidade dos axiomas da aritmética. São compatíveis os axiomas da aritmética?

3. A igualdade dos volumes de dois tetraedros de igual base e igual altura.

4. O problema da distância mais curta entre dois pontos. É a linha recta a distância mais curta entre dois pontos, sobre qualquer superfície, em qualquer geometria?

5. Estabelecer o conceito de grupo de Envolva, ou grupo contínuo de transformações, sem assumir a diferenciabilidad das funções que definem o grupo.

6. Axiomatización da física. É possível criar um corpo axiomático para a física?

7. A irracionalidad e trascendencia de certos números como e, 2v2, etc.

8. O problema da distribuição dos números primos.

9. Demonstração da lei mais geral de reciprocidad em um corpo de números quaisquer.

10. Estabelecer métodos efectivos de resolução de equações diofánticas.

11. Formas quadráticas com coeficientes algébricos quaisquer.

12. A extensão do teorema de Kronecker sobre corpos abelianos a qualquer domínio de racionalidad algébrica.

13. Imposibilidad de resolver a equação geral de sétimo grau por médio de funções de s ólo dois argumentos.

14. Prova da condição finita de certos sistemas completos de funções.

15. Fundamentación rigorosa do cálculo enumerativo de Schubert ou geometria algébrica.

16. Problema da topologia de curvas algébricas e de superfícies.

17. A expressão de formas definidas por somas de quadrados.

18. Construção do espaço dos poliedros congruentes.

19. As soluções dos problemas regulares do cálculo de variações, são sempre analíticas?

20. O problema geral de condições de contorno de Dirichlet.

21. Demonstração da existência de equações diferenciais lineares de classe fuchsiana, conhecidos seus pontos singulares e grupo monodrómico.

22. Uniformidad das relações analíticas por médio de funções automórficas: sempre é possível uniformizar qualquer relação algébrica entre dois variáveis por médio de funções automorfas de uma variável.

23. Extensão dos métodos do cálculo de variações.

Alguns se resolveram em pouco tempo. Outros se discutiram durante todo o século XX, e actualmente se chegou à conclusão de que uns poucos são irrelevantes ou impossíveis de fechar. Alguns continuam sendo actualmente um repto para os matemáticos.

Formalismo

Seguindo a tendência que se tinha convertido em regular a metade de século, o conjunto de problemas de Hilbert também constituía uma espécie de manifesto, que abriu a via para o desenvolvimento da escola formalista, uma das três escolas matemáticas mais importantes do século XX. De acordo ao formalismo, a matemática é um jogo carente de significado no que um joga com símbolos carentes de significado de acordo a umas regras formais estabelecidas de antemão. Por tanto é uma actividade de pensamento autónoma. No entanto, há margem para a dúvida ao respecto de se a própria visão de Hilbert era simplistamente formalista neste sentido.

O programa de Hilbert

Em 1920 propôs de forma explícita um projecto de investigação (em metamatemática , como se chamou então) que acabou sendo conhecido como programa de Hilbert. Queria que a matemática fosse formulada sobre umas bases sólidas e completamente lógicas. Achava que, em princípio, isto podia se conseguir, mostrando que:

1. toda a matemática se segue de um sistema finito de axiomas escolhidos correctamente; e
2. que tal sistema axiomático se pode provar consistente.

Parecia ter razões técnicas e filosóficas para formular esta proposta. Isto afirmava seu desgosto pelo que se tinha dado a conhecer como ignorabimus, que ainda era um problema activo em seu tempo dentro do pensamento alemão, e que podia rastrearse nessa formulación até Emil du Bois-Reymond.

O programa segue sendo reconocible na filosofia da matemática mais popular, onde se lhe chama normalmente formalismo. Por exemplo, o grupo Bourbaki adoptou uma versão selectiva e diluida como adequada para os requisitos de seus projectos gémeos de (a) escrever trabalhos fundamentais enciclopédicos, e (b) dar suporte ao sistema axiomático como ferramenta de investigação. Este enfoque tem tido sucesso e influência em relação com o trabalho de Hilbert no álgebra e a análise funcional, mas não tem conseguido cuajar igual com seus interesses em física e lógica.

O trabalho de Gödel

Hilbert e os matemáticos de talento que trabalharam com ele nesta empresa estavam dedicados ao projecto. Sua tentativa de dar suporte à matemática axiomatizada com princípios definidos, que eliminaria as incertezas teóricas, ia no entanto a acabar em derrota.

Gödel demonstrou que não se podia demonstrar a completitud de nenhum sistema formal não contradictorio que fosse suficientemente amplo para incluir ao menos a aritmética, só mediante seus próprios axiomas. Em 1931 seu teorema da incompletitud mostrou que o ambicioso plano de Hilbert era impossível tal como se propunha. O segundo requisito não podia se combinar com o primeiro de forma razoável, enquanto o sistema axiomático seja genuinamente finitario.

No entanto, o teorema de completitud não diz nada ao respecto da demonstração da completitud da matemática mediante um sistema formal diferente. Os lucros posteriores da teoria da demonstração no mínimo clarificaron a relação da consistência com as teorias de interesse principal para os matemáticos. O trabalho de Hilbert tinha começado lógico em seu caminho à clarificación; a necessidade de entender o trabalho de Gödel levou então ao desenvolvimento da teoria da recursividad e após a lógica matemática como disciplina autónoma na década de 1930-1940. Deste 'debate' nasceu directamente a base para a informática teórica de Alonzo Church e Alan Turing.

A escola de Göttingen

Entre os estudantes de Hilbert se encontron Hermann Weyl, o campeão de ajedrez Emanuel Lasker, Ernst Zermelo e Carl Gustav Hempel. John von Neumann foi assistente seu. Na Universidade de Göttingen, Hilbert encontrou-se rodeado por um círculo social constituído por alguns dos matemáticos mais importantes do século XX, como Emmy Noether e Alonzo Church.

Análise funcional

Ao redor de 1909, Hilbert dedicou-se ao estudo de equações diferenciais e integrales; seu trabalho teve consequências directas em partes importantes a análise funcional moderno. Para poder levar a cabo estes estudos, Hilbert introduziu o conceito de um espaço euclídeo de infinitas dimensões, chamado mais tarde espaço de Hilbert. Seu trabalho nesta parte da análise proporcionou a base de importantes contribuições à matemática da física nas duas décadas seguintes, ainda que em direcções que por então não se podiam antecipar. Mais tarde, Stefan Banach amplificou o conceito, definindo os espaços de Banach. O espaço de Hilbert é por si mesma a ideia mais importante da análise funcional, que cresceu a sua ao redor durante o século XX.

Física

Até 1912, Hilbert foi de forma quase exclusiva um matemático "puro". Quando planeava fazer uma visita a Bonn, onde estava inmerso no estudo da física, seu amigo e colega matemático Hermann Minkowski fazia chistes dizendo que tinha que passar 10 dias em cuarentena dantes de poder visitar a Hilbert. Em realidade, Minkowski parece ser responsável pela maioria de investigações de Hilbert em física anteriores a 1912, incluído seu seminário conjunto sobre o tema em 1905.

Em 1912, três anos depois da morte de seu amigo, mudou seu objectivo para este tema de forma quase exclusiva. Arranjou que se lhe atribuísse um "tutor em física".^[2] Começou estudando a teoria cinética dos gases e passou depois à teoria elementar de radiación e à teoria molecular da matéria. Inclusive depois do estallido da guerra em 1914, continuou celebrando seminários e classes onde se seguiam de perto os trabalhos de Einstein entre outros.

Hilbert convidou a Einstein a Göttingen para que desse em uma semana de lições entre junho e julho de 1915 sobre relatividad geral e sua teoria da gravidade em desenvolvimento (Sauer 1999, Folsing 1998). O intercâmbio de ideias levou a forma-a final das equações de campo da Relatividad Geral, em concreto as equações de campo de Einstein e a acção de Einstein-Hilbert. Ainda que Einstein e Hilbert não chegaram nunca a enzarzarse em uma disputa pública sobre prioridade, tem tido algo de discussão sobre a descoberta das equações de campo.

Ademais, o trabalho de Hilbert antecipou e assistiu a vários avanços na formulación matemática da mecânica cuántica. Seu trabalho foi chave para o de Hermann Weyl e John von Neumann sobre a equivalencia matemática da mecânica de matrizes de Werner Heisenberg e a equação de onda de Erwin Schrödinger, e seu espaço de Hilbert joga um papel importante na teoria cuántica. Em 1926, von Neumann mostrou que se os estados atómicos se entendessem como vetores no espaço de Hilbert, então corresponder-se-iam tanto com a teoria de função de onda de Schrödinger como com as matrizes de Heisenberg.

Mediante esta imersão na física, trabalhou em dar-lhe rigor à matemática que a sustenta. Ainda que é muito dependente da matemática avançada, o físico tende a ser "descuidado" com ela. Para um matemático "puro" como Hilbert, isto era "feio" e difícil de entender. Ao começar a compreender a física e a maneira em que os físicos usavam a matemática, desenvolveu uma teoria matematicamente coerente para o que encontrou, principalmente na área das equações integrales. Quando seu colega Richard Courant escreveu os clássico Métodos de física matemática incluiu algumas ideias de Hilbert, e acrescentou seu nome como coautor inclusive ainda que Hilbert não chegou a contribuir ao escrito. Hilbert disse que "a física é demasiado dura para os físicos", implicando que a matemática necessária estava longe de seu alcance pelo geral; o livro de Courant-Hilbert facilitou-lhes as coisas.

Teoria de números

Hilbert unificou o campo da teoria algébrica de números com seu tratado de 1897 Zahlbericht (literalmente, "relatório sobre números"). Abateu o problema de Waring no sentido amplo. Desde então teve pouco mais que dizer sobre o tema; mas a emergência das formas modulares de Hilbert na disertación de um estudante implica que seu nome está mais unido a uma área importante.

Propôs uma série de conjecturas sobre a teoria de corpos de classes. Os conceitos foram muito influentes, e sua própria contribuição fica patente nos nomes do corpo de classe de Hilbert e o símbolo de Hilbert da teoria local de corpos de classes. Os resultados sobre estas conjecturas ficaram provados em sua maioria sobre 1930, depois do importante trabalho de Teiji Takagi que o estabeleceu como o primeiro matemático japonês de nível internacional.

Hilbert não trabalhou nas áreas principais da teoria analítica de números, mas seu nome ficou unido à conjectura de Hilbert-Pólya, por razões anecdóticas.

Charlas, ensaios e contribuições misceláneas

Seu paradoxo do Grand Hotel, uma meditación sobre as estranhas propriedades do infinito, usa-se com frequência em textos populares sobre números cardinales infinitos.

Últimos anos

Hilbert viveu para ver aos nazistas purgar à maioria de membros facultativos sobresalientes da Universidade de Göttingen, em 1933 . [1]. Entre aqueles forçados a marchar-se estiveram Hermann Weyl, que tinha ocupado a cátedra de Hilbert ao se retirar em 1930, Emmy Noether e Edmund Landau. Um dos que teve de deixar a Alemanha foi Paul Bernays, colaborador de Hilbert em lógica matemática e coautor com ele do importante livro Grundlagen der Mathematik (que acabou se apresentando em dois volumes, em 1934 e 1939). Esta foi uma secuela do livro de Hilbert-Ackermann Fundamentos de lógica teórica de 1928.

Ao redor de um ano depois, assistiu a um banquete, e sentaram-lhe ao lado do novo Ministro de Educação, Bernhard Rust. Rust perguntou-lhe, "Como vai a matemática em Göttingen agora que tem sido libertada da influência judia?" Ao que Hilbert contestou, "A matemática em Göttingen? Já não fica nada disso".^[3]

Para quando Hilbert morreu em 1943 , os Nazistas tinham reestruturado quase por completo a universidade, já que muito do pessoal facultativo anterior era judeu ou estava casado com judeus. Ao funeral de Hilbert assistiu menos de uma dúzia de pessoas, só duas dos quais eram colegas académicos.^[4]

Em sua tumba, em Göttingen, pode-se ler sua epitafio:

Wir müssen wissen, wir werden wissen - Devemos saber, saberemos.

Ironicamente, no dia dantes de que Hilbert pronunciasse esta frase, Kurt Gödel apresentava sua tese, que continha o famoso teorema de incompletitud: há coisas que sabemos que são certas, mas que não podemos provar.

Notas, referências e enlaces

Notas

Referências

Bibliografía primária para a tradução ao inglês:

• Ewald, William B. (1996). From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, Oxford Uni. Press.
  • 1918. "Axiomatic thought," 1115-14.
  • 1922. "The new grounding of mathematics: First report," 1115-33.
  • 1923. "The logical foundations of mathematics," 1134-47.
  • 1930. "Logic and the knowledge of nature," 1157-65.
  • 1931. "The grounding of elementary number theory," 1148-56.
  • 1904. "On the foundations of logic and arithmetic," 129-38.
  • 1925. "On the infinite," 367-92.
  • 1927. "The foundations of mathematics," com comentários de Weyl e um adendo de Bernays, 464-89.
• vão Heijenoort, Jean (1967). From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Harvard Univ. Press.
• Hilbert, David (1999). Geometry and Imagination, American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1998-4. (um grupo de lições acessíveis ao público, dadas originalmente a cidadãos de Göttingen)

Secundária:

• Almira, J. M., Sabina de Lis, J. C. (2007). Hilbert. Matemático Fundamental, Nivola. ISBN 978-84-96566-40-8.

• Bottazini, Umberto (2003). Il flauto dei Hilbert. Storia della matemática, UTET. ISBN 88-7750-852-3.
• Corry, L., Renn, J., e Stachel, J. (1997). «[Expressão errónea: operador < inesperado Belated Decision in the Hilbert-Einstein Priority Dispute]». Science 278. 
• Grattan-Guinnes, Ivor (2000). The Search for Mathematical Roots 1870-1940, Princeton Uni. Press.
• Gray, Jeremy (2000). The Hilbert Challenge. ISBN 0-19-850651-1.
• Odifreddi, Piergiorgio (2003). Divertimento Geométrico - Dá Euclide ad Hilbert, Bollati Boringhieri. ISBN 88-339-5714-4.. Uma exposição clara dos "erros" de Euclides e das soluções apresentadas no Grundlagen der Geometrie, com referência à geometria não euclídea.
• Reid, Constance (1996). Hilbert, Springer. ISBN 0-387-94674-8.. A biografia em inglês.
• Sauer, Tilman (1999). «[Expressão errónea: operador < inesperado The relativity of discovery: Hilbert's first note on the foundations of physics]». Arch. Hist. Exact Sci. v53. pp 529-575. . (Disponível da Cornell University Library como PDF descargable [2])
• Thorne, Kip (1995). Black Holes and Time Warps: Einstein's Outrageous Legacy, W. W. Norton & Company. ISBN 0-393-31276-3.
• Folsing, Albrecht (1998). Albert Einstein, Penguin.
• Mehra, Jagdish (1974). Einstein, Hilbert, and the Theory of Gravitation, Reidel.

Veja-se também

• Acção de Einstein-Hilbert
• Cubo de Hilbert
• Curva de Hilbert
• Matriz de Hilbert
• Espaço de Hilbert
• Símbolo de Hilbert
• Transformada de Hilbert
• Hilbert Nullstellensatz
• Teorema 90 de Hilbert
• Axiomas de Hilbert
• Teorema da Base de Hilbert
• Teorema de irreductibilidad de Hilbert
• Paradoxo de Hilbert do hotel infinito
• Teorema syzygy de Hilbert
• Wavelet Hilbert-Hermitiana
• Conjectura de Hilbert-Pólya
• Operador de Hilbert-Schmidt
• Conjectura de Hilbert-Smith
• Teorema de Hilbert-Speiser
• Fundamentos de lógica teórica
• Disputa sobre prioridade na relatividad

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga conteúdo multimédia sobre David Hilbert.Commons
• Wikiquote alberga frases célebres de ou sobre David Hilbert. Wikiquote
• Ou'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Biografia de David Hilbert» (em inglês), MacTutor History of Mathematics archive, Universidade de Saint Andrews, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hilbert.html 
• David Hilbert no Mathematics Genealogy Project
• Os 23 problemas de Hilbert
• O programa de Hilbert
• Obras de David Hilbert no Projecto Gutenberg
• Charla de Hilbert na rádio gravada em Königsberg em 1930 (em Alemão), com tradução ao inglês.

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