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Derivada logarítmica

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No âmbito das matemáticas, especificamente no cálculo e a análise complexa, a derivada logarítmica de uma função f fica definido pela fórmula

 \frac{f'}{f} \!

onde f ′ é a derivada de f .

Quando f é uma função f(x) de uma variável real x, e toma valores reais, estritamente positivos, esta é então a fórmula para (log f)′, ou seja, a derivada do logaritmo natural de f , como se deduze aplicando directamente a regra da corrente.

Conteúdo

Propriedades básicas

Muitas propriedades do logaritmo real também são válidas para a derivada logarítmica, ainda quando a função não toma valores de reais positivos. Por exemplo, dado que o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos dos factores, tem-se que

 (\log uv)' = (\log u + \log v)' = (\log u)' + (\log v)' .\!

Pelo que para funções reais positivas, a derivada logarítmica de um produto é a soma da derivada logarítmica dos factores. Também é possível aplicar a regra de Leibniz para a derivada do produto e assim obter  \frac{(uv)'}{uv} = \frac{u'v + uv'}{uv} = \frac{u'}{u} + \frac{v'}{v} .\! Portanto, é verdadeiro que pára toda a função que a deivada logarítmica de um produto é a soma das derivadas logarítmicas dos factores (quando as mesmas estão definidas).

Em forma similar (de facto é uma consequência), a derivada logarítmica de de a função recíproca de uma função é o negado da derivada logarítmica da função:

 \frac{(1/u)'}{1/u} = \frac{-u'/u^{2}}{1/u} = -\frac{u'}{u} ,\!

na mesma forma que o logaritmo da recíproca de um número real positivo é a negación do logaritmo do número.

Em forma geral, a derivada logarítmica de um cociente é a diferença das derivadas logarítmicas do dividendo e do divisor:

 \frac{(u/v)'}{u/v} = \frac{(u'v - uv')/v^{2}}{u/v} = \frac{u'}{u} - \frac{v'}{v} ,\!

na mesma forma que o logaritmo de um cociente é a diferença dos logaritmos do dividendo e do divisor.

Com respeito à derivada logarítmica de uma potência (com expoente real constante), a mesma é o produto do expoente e da derivada logarímica da base:

 \frac{(u^{k})'}{u^{k}} = \frac {ku^{k-1}u'}{u^{k}} = k \frac{u'}{u} ,\!

em forma análoga a que o logaritmo de uma potência é o produto entre o expoente e o logaritmo da base.

Em resumem, tanto as derivadas como os logaritmos possuem uma regra do produto, uma regra recíproca, uma regra do cociente, e uma regra da potência (comparar com a lista de identidades logarítmicas); a cada par de regras encontram-se relacionadas mediante a derivada logarítmica.

Cálculo de derivadas ordinárias utilizando derivadas logarítmicas

As derivadas logarítmicas podem ajudar a simplificar o cálculo de derivadas que requerem a regra do produto. O procedimento é o seguinte: Suponhamos que ƒ(x) = ou(x)v(x) e que se deseja calcular ƒ'(x). Em vez de realizar o cálculo em forma directa, calculamos sua derivada logarítmica. Ou seja, calcula-se:

\frac{f'}{f} = \frac{u'}{u} + \frac{v'}{v}.

Multiplicando por ƒ calcula-se ƒ':

f' = f\left(\frac{u'}{u} + \frac{v'}{v}\right).

Esta técnica é especialmente útil quando ƒ é o produto de uma grande quantidade de factores. A técnica descripta faz possível calcular ƒ' mediante o cálculo da derivada logarítmica da cada factor, somando, e multiplicando por ƒ.

Factores de integração

A ideia da derivada logarítmica está muito relacionada com o método do factor de integração para equações diferenciais de primeira ordem. Utilizando uma anotação em de operadores, tem-se

D = d/dx

e seja M o operador de multiplicação por alguma função G(x). Então

M−1DM

pode ser escrito (pela regra do produto) como

D + M*

onde M* agora é o operador de multiplicação pela derivada logarímica

G′/G.

Na prática temos um operador tal que

D + F = L

e desejamos resolver equações do tipo

L(h) = f

para a fuunción h, conhecida f. Pelo que o problema fica reduzido a resolver

G′/G = F

que tem a seguinte solução

exp(∫F)

com qualquer integral indefinida de F .

Análise complexa

A fórmula indicada pode ser aplicada em forma ampla; por exemplo se f(z) é uma função meromórfica, faz sentido em todos os valores complexos z nos quais f não possui nem um zero nem um pólo. É mais ainda, em um zero ou em um pólo a derivada logarítmica se comporta em uma forma tal que é facilmente analizable mediante o caso particular

zn

com n um inteiro, n ≠ 0. A derivada logarítmica é

n/z;

e é possível generalizar a conclusão no sentido de que se f é meromórfica, as exclusividades da derivada logarítmica de f são todos pólos simples, com residuo n de um zero de ordem n, residuo −n de um pólo de ordem n. Veja-se argument principle. Esta informação com frequência é utilizada em integração de contorno.

Exemplos

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