derivada logarítmica - Wikilingue - Encydia
No âmbito das matemáticas, especificamente no cálculo e a análise complexa, a derivada logarítmica de uma função f fica definido pela fórmula
onde f ′ é a derivada de f .
Quando f é uma função f(x) de uma variável real x, e toma valores reais, estritamente positivos, esta é então a fórmula para (log f)′, ou seja, a derivada do logaritmo natural de f , como se deduze aplicando directamente a regra da corrente.
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Propriedades básicas
Muitas propriedades do logaritmo real também são válidas para a derivada logarítmica, ainda quando a função não toma valores de reais positivos. Por exemplo, dado que o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos dos factores, tem-se que
Pelo que para funções reais positivas, a derivada logarítmica de um produto é a soma da derivada logarítmica dos factores. Também é possível aplicar a regra de Leibniz para a derivada do produto e assim obter 
Portanto, é verdadeiro que pára toda a função que a deivada logarítmica de um produto é a soma das derivadas logarítmicas dos factores (quando as mesmas estão definidas).
Em forma similar (de facto é uma consequência), a derivada logarítmica de de a função recíproca de uma função é o negado da derivada logarítmica da função:
na mesma forma que o logaritmo da recíproca de um número real positivo é a negación do logaritmo do número.
Em forma geral, a derivada logarítmica de um cociente é a diferença das derivadas logarítmicas do dividendo e do divisor:
na mesma forma que o logaritmo de um cociente é a diferença dos logaritmos do dividendo e do divisor.
Com respeito à derivada logarítmica de uma potência (com expoente real constante), a mesma é o produto do expoente e da derivada logarímica da base:
em forma análoga a que o logaritmo de uma potência é o produto entre o expoente e o logaritmo da base.
Em resumem, tanto as derivadas como os logaritmos possuem uma regra do produto, uma regra recíproca, uma regra do cociente, e uma regra da potência (comparar com a lista de identidades logarítmicas); a cada par de regras encontram-se relacionadas mediante a derivada logarítmica.
Cálculo de derivadas ordinárias utilizando derivadas logarítmicas
As derivadas logarítmicas podem ajudar a simplificar o cálculo de derivadas que requerem a regra do produto. O procedimento é o seguinte: Suponhamos que ƒ(x) = ou(x)v(x) e que se deseja calcular ƒ'(x). Em vez de realizar o cálculo em forma directa, calculamos sua derivada logarítmica. Ou seja, calcula-se:
Multiplicando por ƒ calcula-se ƒ':
Esta técnica é especialmente útil quando ƒ é o produto de uma grande quantidade de factores. A técnica descripta faz possível calcular ƒ' mediante o cálculo da derivada logarítmica da cada factor, somando, e multiplicando por ƒ.
Factores de integração
A ideia da derivada logarítmica está muito relacionada com o método do factor de integração para equações diferenciais de primeira ordem. Utilizando uma anotação em de operadores, tem-se
- D = d/dx
e seja M o operador de multiplicação por alguma função G(x). Então
- M−1DM
pode ser escrito (pela regra do produto) como
- D + M*
onde M* agora é o operador de multiplicação pela derivada logarímica
- G′/G.
Na prática temos um operador tal que
- D + F = L
e desejamos resolver equações do tipo
- L(h) = f
para a fuunción h, conhecida f. Pelo que o problema fica reduzido a resolver
- G′/G = F
que tem a seguinte solução
- exp(∫F)
com qualquer integral indefinida de F .
Análise complexa
A fórmula indicada pode ser aplicada em forma ampla; por exemplo se f(z) é uma função meromórfica, faz sentido em todos os valores complexos z nos quais f não possui nem um zero nem um pólo. É mais ainda, em um zero ou em um pólo a derivada logarítmica se comporta em uma forma tal que é facilmente analizable mediante o caso particular
- zn
com n um inteiro, n ≠ 0. A derivada logarítmica é
- n/z;
e é possível generalizar a conclusão no sentido de que se f é meromórfica, as exclusividades da derivada logarítmica de f são todos pólos simples, com residuo n de um zero de ordem n, residuo −n de um pólo de ordem n. Veja-se argument principle. Esta informação com frequência é utilizada em integração de contorno.
Exemplos
- O crescimento exponencial e o decaimiento exponencial são processos com uma derivada logarítmica constante.
- Em matemáticas financeiras, a letra grega
é a derivada logarítmica do preço derivado com respeito ao preço subjacente.
