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Distância

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A distância expressa a proximidade ou lonjura entre dois objectos, ou o intervalo de tempo que decorre entre dois acontecimentos. Também se emprega como expressão para indicar uma relação de afastamento afectivo entre duas pessoas: o desafecto.

Plano de Manhattan. A distância euclidiana (segmento verde), não se corresponde com o «caminho mais curto» ente dois pontos de dita cidade, além de não ser único.
A menor distância entre dois pontos percorrida sobre a superfície de uma esfera é um arco de círculo máximo: a ortodrómica.

Em matemática, a distância entre dois pontos do espaço euclídeo equivale à longitude do segmento de recta que os une, expressado numericamente. Em espaços mais complexos, como os definidos na geometria não euclidiana, o «caminho mais curto» entre dois pontos é um segmento de curva.

Em física , a distância é uma magnitude escalar, que se expressa em unidades de longitude ou tempo.

Conteúdo

Distância em geometria

Denomina-se distância euclídea entre dois pontos A(x_1, y_1) e B(x_2, y_2 ) do plano à longitude do segmento de recta que tem por extremos A e B. Pode calcular-se assim:

d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

A distância entre um ponto P e uma recta R é a longitude do segmento de recta que é perpendicular à recta R: Ax + By + C = 0 e a une no ponto P(x_1, y_1). Pode calcular-se assim:

d=\frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

onde |·| denota valor absoluto.

A distância entre duas rectas paralelas é a longitude do segmento de recta perpendicular a ambas que as une.

A distância entre um ponto P e um plano L é a longitude do segmento de recta perpendicular ao plano L : Ax + By + Cz + D = 0 que o une no ponto P (x1,e1,z1) e pode se calcular assim:

d=\frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}

Definição formal

Desde um ponto de vista formal, para um conjunto de elementos X define-se distância ou métrica como qualquer função binária d(a,b) de X \times X \mathbb{R} em que verifique as seguintes condições:

Se deixamos de exigir que se cumpra esta última condição, ao conceito resultante se lhe denomina pseudodistancia ou pseudométrica.

A distância é o conceito fundamental da Topologia de Espaços Métricos. Um espaço métrico não é outra coisa que um par (X,d), onde X é um conjunto no que definimos uma distância d.

No caso de que tivéssemos um par (X,d) e d fora uma pseudodistancia sobre X, então diríamos que temos um espaço pseudométrico.

Se (X,d) é um espaço métrico e E \subset X, podemos restringir d a de E a seguinte forma: d': E \times E \longrightarrow \mathbb{R} de forma que se x,y \in E então d'(x,y)=d(x,y) (isto é, d'=d|_{E \times E}). A aplicação d' é também uma distância sobre d, e como compartilha sobre E \times E os mesmos valores que d, se denota também da mesma maneira, isto é, diremos que (E,d) é subespacio métrico de .. (X,d)

Distância de um ponto a um conjunto

Se (X,d) é um espaço métrico, E \subset X, E \ne \varnothing e x \in X, podemos definir a distância do ponto x ao conjunto E da seguinte maneira: d(x,E):= inf \{d(x,y): y \in E\}.

É de destacar as seguintes três coisas:

Os casos de distância de um ponto a uma recta ou de distância de um ponto a um plano não são mais que casos particulares da distância de um ponto a um conjunto, quando se considera a distância euclídea.

Distância entre dois conjuntos

Se (X,d) é um espaço métrico, A \subset X e B \subset X, A \ne \varnothing, B \ne \varnothing, podemos definir a distância entre os conjuntos A e B da seguinte maneira: d(A,B):= inf \{d(x,y): x \in A, y \in B\}.

Pela mesma razão que dantes, sempre está definida. Ademais d(A,A)=0, mas pode ocorrer que d(A,B)=0 e no entanto A \ne B. É mais, podemos ter dois conjuntos fechados cuja distância seja 0 e no entanto sejam disjuntos, e inclusive que tenham clausuras disjuntas. Por exemplo, o conjunto A:= \{(x,0): x \in \mathbb{R}\} e o conjunto B:= \{(x,e^x): x \in \mathbb{R}\}. Por um lado, A=cl(A), B=cl(B) e A \cap B = \varnothing, e por outro d(A,B)=0.

A distância entre duas rectas, a distância entre dois planos, etc. não são mais que casos particulares da distância entre dois conjuntos quando se considera a distância euclídea.

Veja-se também

Obtido de http://ks312095.kimsufi.com../../../../articles/c/ou/m/Comunicações_de_Andorra_46cf.html"
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