Electrodinámica cuántica

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A electrodinámica cuántica (QED acrónimo de Quantum Electrodynamics) é a teoria cuántica do campo electromagnético. QED descreve os fenómenos que implicam as partículas electricamente carregadas que fazem reciprocamente por médio da força electromagnética.

História e predições

A QED é uma das teorias mais precisas de quantas criaram-se no século XX. É capaz de fazer predições de certas magnitudes físicas com até vinte cifras decimales de precisão, um resultado pouco frequente nas teorias físicas anteriores. Por essa razão a teoria foi chamada "a jóia da física". Entre suas predições mais exactas estão:

O momento magnético anómalo do elétron e do muón, para o qual a equação de Dirac predizia um valor de exactamente o duplo do valor clássico. Para o elétron a QED prediz um valor:

$g_e = 2(1+a) = 2\left(1+\frac{q_e^2}{4\pi\epsilon_0 hc}\right)$

Onde:

$q_e\;$ é o ónus eléctrico do elétron.

$h\;$ é a constante de Planck.

$c\;$ é a velocidade da luz no vazio.

$\epsilon_0\;$ é a permitividad eléctrica do vazio.

O valor do salto de Lamb nos níveis energéticos do átomo de hidrógeno.

Shin'ichirō Tomonaga, Julian Schwinger e Richard Feynman receberam os prêmios Nobel de Física de 1965 por seu desenvolvimento, suas contribuições que implicavam uma prescripción covariante e gauge invariante para o cálculo de quantidades observables. A técnica matemática de Feynman, baseada em seus diagramas, parecia inicialmente muito diferente do enfoque teórico de campos, baseado em operadores de Schwinger e Tomonaga, mas foi mais adiante demonstrado como equivalente. O procedimento de renormalización para dar sentido a algumas das predições infinitas da teoria cuántica do campo também encontrou sua primeira posta em prática acertada em electrodinámica cuántica.

Descrição da teoria

A electrodinámica cuántica é uma descrição detalhada da interacção entre fotones e partículas carregadas de tipo fermiónico. A teoria cuántica compartilha certos rasgos com a descrição clássica. De acordo com a descrição da óptica clássica a luz viaja sobre todos os caminhos permitidos, e sua interferência determina as frentes de onda que se propagam de acordo com o princípio de Fermat. Similarmente, na descrição cuántica dos fotones (e os fermiones), estes passam pela cada caminho possível permitido por aberturas ou sistemas ópticos. Em ambos casos o observador detecta simplesmente o resultado matemático da sobreposição de todas as ondas consideradas ao longo de integrales de linha. Uma diferença é que na electrodinámica a velocidade efectiva de um fotón pode superar a velocidade da luz em média.^[1]

Ademais QED foi a primeira teoria cuántica do campo na qual as dificuldades para construir uma descrição completa de campos e de criação e aniquilación de partículas cuánticas, foram resolvidas satisfatoriamente.

Formalismo

Diagrama de Feynman ilustrando a interacção entre dois elétrons produzida mediante o intercâmbio de um fotón.

Matematicamente, podemos dizer que a electrodinámica cuántica tem a estrutura de uma teoria de gauge abeliana com $\mathrm{U}(1)$ o grupo de gauge. O campo de gauge que média a interacção entre campos de espín -1/2 com ónus é o campo electromagnético.

A evolução temporária de um sistema de partículas carregadas e fotones pode ser calculada mediante um cálculo perturbativo. Em concreto a comparação com os experimentos realizables frequentemente requer o cálculode os elementos da matriz S que permitem encontrar as secções eficazes de dispersión para partícula que pode ser comparada com os resultados dos experimentos.

A electrodinámica cuántica reduz este tipo de cálculos a um desenvolvimento perturbativo em série de potências que permite encontrar com a precisão desejada essas secções eficazes. A cada um dos termos perturbativos admite uma representação gráfica conhecida como diagrama de Feynman. De facto, a electrodinámica cuántica foi historicamente a primeira teoria onde se usaram diagramas de Feynman como ajuda no cálculo perturbativo. A forma da cada um dos termos perturbativos e, por tanto, a representação gráfica sócia depende da forma do lagrangiano que caracteriza dita teoria (ver mais adiante).

A invarianza gauge local $\mathrm{U}(1)$

Veja-se também: teoria de gauge

É interessante observar como se pode achar o lagrangiano da QED como simples exigência de que o lagrangiano de um fermión livre com ónus eléctrico não nula seja invariante gauge local. Seja $\mathcal{L}_l$ o lagrangiano do fermión livre:

$\mathcal{L}_l=\dot{\imath}\bar{\psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi - m\bar{\psi}\psi=\bar{\psi}(\dot{\imath}\gamma^{\mu}\partial_{\mu} -m)\psi$

Em outras palavras, queremos que $\mathcal{L}_l$ seja invariante baixo uma transformação local $\mathrm{U}(1)$ de maneira que o campo mude como:

$\psi(x)\rightarrow e^{-\dot{\imath}\alpha (x)}\psi(x)$

Nesse caso, a derivada covariante e o gauge serão:

$D_{\mu}=\partial_{\mu}-\dot{\imath}eA_{\mu}\qquad \therefore\qquad A_{\mu}\rightarrow A_{\mu}+\frac{1}{e}\partial_{\mu}\alpha.$

Com tudo isto, nos fica o lagrangiano da electrodinámica cuántica:

$\mathcal{L}_{QED}=\bar{\psi}\left( \dot{\imath}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m\right)\psi +e\bar{\psi}\gamma^{\mu}A_{\mu}\psi-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}.$

Adecuación experimental

É importante assinalar que a electrodinámica cuántica não dá valores concretos do que sucederia em um experimento concreto, senão só probabilidades de que suceda um determinado tipo de situação. É por isso, que os experimentos usam um número relativamente grande de partículas que são dispersadas estatisticamente de acordo com as probabilidades preditas pela teoria. A partir da distribuição de partículas dispersadas pode medir-se a secção eficaz comparável com as predições numéricas da teoria.

As predições da electrodinámica cuántica têm sido confirmadas pelos experimentos até um nível insólito de precisão: habitualmente têm-se experimentos que coincidem em 12 cifras decimales correctas com as predições da teoria. Isto faz da electrodinámica cuántica a teoria mais precisa construída pelo homem.

Formulación matemática

A dinâmica e propriedades básicas de uma teoria de campo depende da forma seleccionada para o lagrangiano. A selecção de lagrangiano depende das simetrías do grupo de gauge e do facto de que a teoria descreva adequadamente a interacção entre fermiones carregados. Em uma teoria que descreva campos fermiónicos interactuando mediante um campo de gauge bosónico associado a partículas sem massa (fotones) cujo grupo de gauge é conmutativo, o lagrangiano de partida pode se tomar como:

(1) $\mathcal{L} = i \bar{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi - e\bar{\psi}\gamma_\mu A^\mu \psi -m \bar{\psi} \psi - \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\,$

Onde o campo ferminónico $\ \psi$ e seu adjunto de Dirac $\bar\psi$ são os campos que representam partículas de ónus eléctrica, especificamente o elétron e os campos do positrón representados como espinor de Dirac. A parte do lagrangiano que contém o tensor de campo electromagnético descreve a evolução livre do campo electromagnético, enquanto a equação de Dirac com a derivada covariante de gauge descreve a evolução livre dos campos do elétron e do positrón bem como sua interacção com o campo electromagnético.

Equações de movimento

As equações de movimento" ou equações de evolução temporária da QED podem obter mediante as equações de Euler-Lagrange do lagrangiano da teoria. Inserindo esse lagrangiano nas equações de Euler-Lagrange obtém-se a equação de evolução temporária da teoria:

(2) $\partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = 0 \quad \mbox{con} \begin{cases} \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) = \partial_\mu \left( i \bar{\psi} \gamma^\mu \right)\\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = -e\bar{\psi}\gamma_\mu A^\mu - m \bar{\psi} \end{cases}$

Colocando os dois termos dentro da equação de Euler-Lagrange resulta finalmente a seguinte equação de evolução para o campo fermiónico:

$i \gamma^\mu \partial_\mu \psi - m \psi = e \gamma_\mu A^\mu \psi \,$

O membro da esquerda é precisamente a equação de Dirac e o termo da direita representa a interacção com o campo electromagnético.

As mesmas equações de Euler-Lagrange, aplicadas agora ao campo $A^\mu$ , permitem encontrar as equações de evolução do campo electromagnético:

(3) $\part_\nu \left( \frac{\part \mathcal{L}}{\part ( \part_\nu A_\mu )} \right) - \frac{\part \mathcal{L}}{\part A_\mu} = 0 \quad \mbox{con} \begin{cases} \part_\nu \left( \frac{\part \mathcal{L}}{\part ( \part_\nu A_\mu )} \right) = \part_\nu \left( \part^\mu A^\nu - \part^\nu A^\mu \right)\\ \frac{\part \mathcal{L}}{\part A_\mu} = -e\bar{\psi} \gamma^\mu \psi \end{cases}$

E a equação de evolução do campo electromagnético resulta finalmente:

$\partial_\nu F^{\nu \mu} = e \bar{\psi} \gamma^\mu \psi \,$

Onde o segundo membro pode ser interpretado como a densidade de corrente associada ao campo fermiónico.

Regras de Feynman

Para dar conta de todos os efeitos cuánticos, é necessário substituir as componentes dos campos nas anteriores equações diferenciais por operadores autoadjuntos interpretables como genuinos operadores cuánticos. Em general isso leva a uns sistemas de equações que não sabemos como integrar exactamente, mas que admitem um tratamento perturbativo, decompondo o operador de evolução temporário $\hat{U}_{QED}=\exp(it\hat{H}_{QED})$ em séries de potências ou série perturbativa.

O cálculo da cada termo da série anterior pode realizar-se de maneira quase automática com a ajuda dos chamados diagramas de Feynman, aos que se pode associar umas regras de Feynman. A precisão do cálculo depende de quantos termos consideram-se na série perturbativa anterior.

Renormalización

Um sério problema com as regras de Feynman é que tal que foram estabelecidas pela primeira vez conduzem a diagramas e termos divergentes na série perturbativa, isto é, termos não finitos que jogam a perder o cálculo dos termos finitos. Obviamente todos os resultados físicos são finitos e esses termos divergentes do cálculo não são observables na realidade. A renormalización é um conjunto de regras adicionais que interpretam que relação existe entre os termos calculados e os termos mensuráveis na realidade e geram regras adicionais que permitem "normalizar" os cálculos e garantir que se produzem resultados numéricos finitos comparáveis com a realidade mediante experimento.

É conhecido que o facto de que uma teoria cuántica seja uma teoria de campo de gauge lhe confere a propriedade de ser renormalizable, no sentido de que existe um conjunto de regras adicionais que permitem eliminar termos divergentes não observables e dar lugar a resultados finitos.

Referências

↑ Richard P. Feynman QED:(QED (book)) p89-90 "the light tens an amplitude to go faster or slower than the speed c, but these amplitudes cancel each other out over long distances"; see also accompanying text

Obtido de http://ks312095.kimsufi.com../../../../articles/c/ou/m/Comunicações_de_Andorra_46cf.html"

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