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Energia cinética

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Para outros usos deste termo, veja-se Cinética.
As carroças de uma montanha russa atingem sua máxima energia cinética quando estão no fundo de sua trajectória. Quando começam a se elevar, a energia cinética começa a ser convertida a energia potencial gravitacional, mas, se se assume um atrito insignificante e outros factores de retardo, a quantidade total de energia no sistema segue sendo constante.

A energia cinética de um corpo é uma energia que surge no fenómeno do movimento. Está definida como o trabalho necessário para acelerar um corpo de uma massa dada desde o repouso até a velocidade que possui. Uma vez conseguida esta energia durante a aceleração, o corpo mantém sua energia cinética salvo que mude sua rapidez. Para que o corpo regresse a seu estado de repouso se requer um trabalho negativo da mesma magnitude que sua energia cinética.

Conteúdo

Introdução

O adjectivo "cinético" no nome energia vem da antiga palavra grega '(kinesis ' movimento'). O termo energia cinética e trabalho e seu significado cientista provem do século XIX. Os primeiros conhecimentos dessas ideias podem ser atribuídos a Gaspard Gustave Coriolis quem em 1829 publicou um artigo titulado Du Calcul de l'Effet dês Machines esboçando as matemáticas da energia cinética. O termo energia cinética deve-se a William Thomson mais conhecido como Lord Kelvin em 1849.

Existem várias formas de energia como a energia química, o calor, a radiación electromagnética, a energia nuclear, as energias gravitacional, eléctrica, elástica, etc, todas elas podem ser agrupadas em dois tipos: a energia potencial e a energia cinética.

A energia cinética pode ser entendida melhor com exemplos que demonstrem como esta se transforma de outros tipos de energia e a outros tipos de energia. Por exemplo um ciclista quer usar a energia química que lhe proporcionou sua comida para acelerar sua bicicleta a uma velocidade eleita. Sua rapidez pode manter-se sem muito trabalho, excepto pela resistência do ar e o atrito. A energia convertida em uma energia de movimento, conhecida como energia cinética mas o processo não é completamente eficiente e o ciclista também produz calor.

A energia cinética em movimento da bicicleta e o ciclista podem converter em outras formas. Por exemplo, o ciclista pode encontrar uma custa o suficientemente alta para subir, de modo que deve carregar a bicicleta até a cume. A energia cinética até agora usada ter-se-á convertido em energia potencial gravitatoria que pode se libertar se lançando custa abaixo pelo outro lado da colina. (até a bicicleta perde muita de sua energia pelo atrito, esta nunca entregará toda a velocidade que se lhe outorga pedaleando. Note que a energia não se perde porque só se converteu em outro tipo de energia pelo atrito). Alternativamente o ciclista pode ligar uma dínamo a uma de suas rodas e assim gerar energia eléctrica no descenso. A bicicleta poderia estar a viajar mas devagar no final da colina porque muita dessa energia tem sido desviada em fazer energia eléctrica. Outra possibilidade poderia ser que o ciclista aplique seus travões e nesse caso a energia cinética estar-se-ia a dissipar através do atrito em energia calórica.

Como qualquer magnitude física que seja função da velocidade, a energia cinética de um objecto não só depende da natureza interna desse objecto, também depende da relação entre o objecto e o observador (em física um observador é formalmente definido por uma classe particular de sistema de coordenadas chamado sistema inercial de referência). Magnitudes físicas como esta são telefonemas invariantes. A energia cinética esta co-localizada com o objecto e atribuído a esse campo gravitacional.

O cálculo da energia cinética realiza-se de diferentes formas segundo use-se a mecânica clássica, a mecânica relativista ou a mecânica cuántica. O modo correcto de calcular a energia cinética de um sistema depende de seu tamanho, e a velocidade das partículas que o formam. Assim, se o objecto se move a uma velocidade bem mais baixa que a velocidade da luz, a mecânica clássica de Newton será suficiente para os cálculos; mas se a velocidade é próxima à velocidade da luz, a teoria da relatividad começa a mostrar diferenças significativas no resultado e deveria ser usada. Se o tamanho do objecto é pequeno de nível subatómico, a mecânica cuántica é mais apropriada.

Energia cinética em mecânica newtoniana

Energia cinética de uma partícula

Em mecânica clássica, a energia cinética de um objecto pontual (um corpo tão pequeno que sua dimensão pode ser ignorada), ou em um sólido rígido que não rotacione, está dada na equação E_c = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} mv^2 onde m é a massa e v é a rapidez (ou velocidade) do corpo.

Em mecânica clássica a energia cinética pode-se calcular a partir da equação do trabalho e a expressão de uma força F dada pela segunda lei de Newton:

E_c = W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int m \frac{d\vec{v}}{dt} \cdot \vec{v}dt= \frac{1}{2}mv^2


A energia cinética incrementa-se com o quadrado da rapidez. Assim a energia cinética é uma medida dependente do sistema de referência. A energia cinética de um objecto está também relacionada com seu momento linear:

E_c = \frac{p^2}{2m}

Energia cinética em diferentes sistemas de referência

Como temos dito, na mecânica clássica, a energia cinética de uma massa pontual depende de sua massa m e seus componentes do movimento. Expressa-se em Joules (J). 1 J = 1 kg·m2/s2. Estes são descritos pela velocidade v da massa pontual, assim: E_c = \frac{1}{2} m v^2.

Em um sistema de coordenadas especial, esta expressão tem as seguintes formas:

E_c={1 \over 2} m (\dot x^2+\dot y^2+\dot z^2)
E_c=\frac{1}{2}m \left(\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2 \right)
E_c=\frac{1}{2}m \left(\dot r^2 + r^2 \dot \varphi^2 + \dot z^2 \right)
E_c=\frac{1}{2}m \left(r^2 \left[\dot \theta^2 + \dot \varphi^2 \sin^2\theta \right] + \dot r^2 \right)

Com isso o significado de um ponto em uma coordenada e sua mudança temporária se descreve como a derivada temporária de sua deslocação:

\dot x = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} x(t)

Em um formalismo Hamiltoniano não se trabalha com essas componentes do movimento, ou seja com sua velocidade, se não com seu impulso p (mudança na quantidade de movimento). Em caso de usar componentes cartesianas obtemos:

E_c = \frac{p_x^2+p_y^2+p_z^2}{2m}

Energia cinética de sistemas de partículas

Para uma partícula, ou para um solido rígido que não este rotacionando, a energia cinética vai a zero quando o corpo para. No entanto, para sistemas que contêm muitos corpos com movimentos independentes, que exercem forças entre eles e que podem (ou não) estar a rotacionar; isto não é do todo verdadeiro. Esta energia é chamada 'energia interna'. A energia cinética de um sistema em qualquer instante de tempo é a soma simples das energias cinéticas das massas, incluindo a energia cinética da rotação.

Um exemplo disto pode ser o sistema solar. No centro de massas do sistema solar, o sol está (quase) estacionário, mas os planetas e planetoides estão em movimento sobre ele. Assim em um centro de massas estacionário, a energia cinética está ainda presente. No entanto, recalcular a energia de diferentes marcos pode ser tedioso, mas há um truque. A energia cinética de um sistema de diferentes marcos inerciales pode calcular-se como a simples soma da energia em um marco com centro de massas e acrescentar na energia o total das massas dos corpos que se movem com rapidez relativa entre os dois marcos.

Isto se pode demonstrar facilmente: seja V a rapidez relativa em um sistema k de um centro de massas i:

E_c = \int \frac{v_k^2 dm}{2} = \int \frac{(v_i + V)^2 dm}{2} = \int \frac{(v_i^2 + 2 v_i V + V^2) dm}{2} = \int \frac{v_i^2 dm}{2} + V \int v_i dm + \frac{V^2}{2} \int dm

No entanto, seja \int \frac{v_i^2 dm}{2} = E_i a energia cinética no centro de massas desse sistema, \int v_i dm poderia ser o momento total que é por definição zero no centro de massas e seja a massa total: \int dm = M . Substituindo obtemos:

E_k = E_i + \frac{M V^2}{2} [1]

A energia cinética de um sistema então depende do Sistema de referência inercial e é mais baixo com respeito ao centro de massas referencial, por exemplo: em um sistema de referência em que o centro de massas seja estacionário. Em qualquer outro sistema de referência há uma energia cinética adicional correspondente à massa total que se move à rapidez do centro de massas.

Às vezes é conveniente dividir à energia cinética total de um sistema entre a soma dos centros de massa dos corpos, em sua energia cinética de translação e a energia de rotação sobre o centro de massas:

E_c = E_t + E_r \,

onde: Ec é a energia cinética total, Et é a energia cinética de translação e E r é a energia de rotação ou energia cinética angular neste sistema.

Então a energia cinética em uma pelota de tênis em viagem tem uma energia cinética que é a soma da energia em sua translação e em sua rotação.

Energia cinética de um sólido rígido em rotação

Para um sólido rígido que está a rotacionar pode se decompor a energia cinética total como duas somas: a energia cinética de translação (que é a sócia à deslocação do centro de massa do corpo através do espaço) e a energia cinética de rotação (que é a sócia ao movimento de rotação com certa velocidade angular). A expressão matemática para a energia cinética é:

E_c = E_{tra} + E_{rot} =\frac{1}{2} m \| \vec{v} \|^2 + \frac{1}{2} \vec{\omega}^{t} \cdot (\mathbf{I} \vec{\omega})

Onde:

E_{tra}\; Energia de translação.
E_{rot}\; Energia de rotação.
m \, Massa do corpo.
\mathbf{I} tensor de (momentos de) inércia.
\vec{\omega} = velocidade angular do corpo.
\vec{\omega}^{t} = traspuesta do vetor da velocidade angular do corpo.
\vec{v} = velocidade linear do corpo.

O valor da energia cinética é positivo, e depende do sistema de referência que se considere ao determinar o valor (módulo) da velocidade \vec{v} e \vec{\omega}. A expressão anterior pode deduzir da expressão geral:

E_c = \int_M \frac{\| \vec{v} \|^2}{2} dm

Na hidrodinâmica

Na Hidrodinâmica muda com muita frequência a energia cinética pela densidade da energia cinética. Isto se escreve geralmente através de uma pequena e ou uma \epsilon, assim:

e_c={1 \over 2} \rho v^2, onde \rho descreve a densidade do fluído.

Energia cinética em mecânica relativista

Energia cinética de uma partícula

Se a rapidez de um corpo é uma fracção significante da velocidade da luz, é necessário utilizar mecânica relativista para poder calcular a energia cinética. Em relatividad especial, devemos mudar a expressão para o momento linear e dela por interacção se pode deduzir a expressão da energia cinética:

E_c = m \gamma c^2 - m c^2 = \frac{m c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - m c^2

Tomando a expressão relativista anterior, desenvolvendo-a em série de Taylor e fazendo o limite clássico recupera-se a expressão da energia cinética típica da mecânica newtoniana:

E_c = \lim_{c \to \infty} \frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-mc^2= \lim_{c \to \infty} mc^2\left [\frac{1}{2}\left(\frac{v^2}{c^2}\right)+ \frac{3}{8}\left(\frac{v^2}{c^2}\right)^2+...\right] = \frac{1}{2}mv^2

A equação mostra que a energia de um objecto se acerca ao infinito quando a velocidade v se acerca à velocidade da luz c, então é impossível acelerar um objecto a essas magnitudes. Este produto matemático é a fórmula de equivalencia entre massa e energia, quando o corpo está em repouso obtemos esta equação:

E_0 = m c^2 \!

Assim, a energia total E pode particionarse entre as energias das massas em repouso mas a tradicional energia cinética newtoniana de baixa velocidade. Quando os objectos se movem a velocidades bem mais baixas que a luz (p.e. qualquer fenómeno na terra) os primeiros dois termos da série predominan.

A relação entre energia cinética e momentum é mais complicada neste caso e vem dada pela equação:

E_c = \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4} - m c^2

Isto também pode se expandir como uma série de Taylor, o primeiro termino desta simples expressão vem da mecânica newtoniana. O que sugere isto é que as fórmulas para a energia e o momento não são especiais nem axiomáticas mas alguns conceitos emergem das equações de massa com energia e dos princípios da relatividad.

Energia cinética de um sólido em rotação

A diferença do caso clássico a energia cinética de rotação em mecânica relativista não pode ser representada simplesmente por um tensor de inércia e uma expressão quadrática a partir dele no que intervenha a velocidade angular. O caso simples de uma esfera em rotação ilustra este ponto; se supomos uma esfera de um material suficientemente rígido para que possamos desprezar as deformações por culpa da rotação (e por tanto as mudanças de densidade) e tal que sua velocidade angular satisfaça a condição \scriptstyle \omega R < c se pode calcular a energia cinética \scriptstyle E_c a partir da seguinte integral:

E_c + m_0c^2 = \int_S \frac{c^2 dm}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = 2\pi \int_{r=0}^{r=R} \int_{\theta = 0}^{\theta = \pi} \frac{\rho c^2}{\sqrt{1-\frac{r^2\omega^2}{c^2}}} r^2\sin \theta drd\theta

Integrando a expressão anterior obtém-se a expressão:

E_c = \frac{3}{2}m_0c^2 \left(\frac{c}{R\omega}\right)^2 \left[ 1 + \frac{1}{2} \left(\frac{R\omega}{c}-\frac{c}{R\omega}\right) \ln \left(\frac{c+R\omega}{c-R\omega} \right) \right] - m_0c^2
Comparação entre a expressão para a energia cinética de uma esfera de acordo com a mecanica clássica e a mecânica relativista (aqui R é a rádio, ω a velocidade angular e m 0 a massa em repouso da esfera.

Para uma esfera em rotação os pontos sobre o eixo não têm velocidade de translação enquanto os pontos mais afastados do eixo de giro têm uma velocidade \scriptstyle \omega R, à medida que esta velocidade se aproxima à velocidade da luz a energia cinética da esfera tende a crescer sem limite. Isto contrasta com a expressão clássica que se dá a seguir:

E_c = \frac{1}{2}I \omega^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{2}{5} m_0R^2\right) \omega^2

Paradoxalmente, dentro da teoria especial da relatividad, o suposto de que um médio contínuo indeformable leva a que os pontos mais afastados do eixo de giro atinjam a velocidade da luz aplicando ao corpo uma quantidade finita de energia. O qual revela que o suposto não pode ser correcto quando alguns pontos da periferia do sólido se estão a mover a velocidades próximas à da luz.

Energia cinética em mecânica cuántica

Na mecânica cuántica, o valor que se espera de energia cinética de um elétron, \langle\hat{T}\rangle, para um sistema de elétrons descreve uma função de onda \vert\psi\rangle que é a soma de um elétron, o operador se espera que atinja o valor de:

\langle\hat{T}\rangle = -\frac{\hbar^2}{2 m_e}\bigg\langle\psi \bigg\vert \sum_{i=1}^N \nabla^2_i \bigg\vert \psi \bigg\rangle

onde m_e é a massa de um elétron e \nabla^2_i é o operador laplaciano que actua nas coordenadas do elétron iésimo e a soma de todos os outros elétrons. Note que é uma versão cuantizada de uma expressão não relativista de energia cinética em termos de momento:

E_c = \frac{p^2}{2m}

O formalismo da funcional de densidade em mecânica cuántica requer um conhecimento sobre a densidade electrónica, para isto formalmente não se requer conhecimentos da função de onda.

Dado uma densidade electrónica \rho(\mathbf{r}), a funcional exacta da energia cinética do n-ésimo elétron é incerta; no entanto, em um caso específico de um sistema de um elétron, a energia cinética pode escrever-se assim:

T[\rho] = \frac{1}{8} \int \frac{ \nabla \rho(\mathbf{r}) \cdot \nabla \rho(\mathbf{r}) }{ \rho(\mathbf{r}) } d^3r

onde T[\rho] é conhecida como a funcional da energia cinética de Von Weizsacker.

Energia Cinética de partículas na mecânica cuántica

Na teoria cuántica uma magnitude física como a energia cinética deve vir representada por um operador autoadjunto em um espaço de Hilbert adequado. Esse operador pode construir por um processo de cuantización , o qual conduz para uma partícula movendo pelo espaço euclídeo tridimensional a uma representação natural desse operador sobre o espaço de Hilbert L^2(\R) dado por:

\hat{E}_c = -\hbar^2 \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)

que, sobre um domínio denso de dito espaço formado classes de equivalencia representables por funções C², define um operador autoadjunto com autovalores sempre positivos, o qual faz que sejam interpretables como valores fisicamente mensuráveis da energia cinética.

Energia Cinética do sólido rígido na mecânica cuántica

Um sólido rígido apesar de estar formado por um número infinito de partículas, é um sistema mecânico com um número finito de graus de liberdade o qual faz que seu equivalente cuántico possa ser representado por sobre um espaço de Hilbert de dimensão infinita de tipo L² sobre um espaço de configuração de inúteis dimensão finita. Neste caso o espaço de configuração de um sólido rígido é precisamente o grupo de Envolva SO(3) e por tanto o espaço de Hilbert apropriado e o operador energia cinética de rotação podem representar-se por:

\mathcal{H} = L^2(SO(3),\mu_h) \qquad \hat{E}_{rot}= \left(\frac{\hat{L}_x^2}{2I_1} + \frac{\hat{L}_y^2}{2I_2} + \frac{\hat{L}_z^2}{2I_3} \right)

onde \mu_h é a medida de Haar invariante de SO (3), \hat{L}_i são os operadores do momento angular na representação adequada e os escalares I_i são os momentos de inércia principais.

Energia cinética e temperatura

A nível microscópico a energia cinética média das moléculas de um gás define sua temperatura. De acordo com a lei de Maxwell-Boltzmann para um gás ideal clássico a relação entre a temperatura (T) de um gás e sua energia cinética média é:

T =\frac{2}{3\kappa_B}\langle E_k \rangle = \frac{m}{3\kappa_B}\langle v^2 \rangle


onde \kappa_B é a constante de Boltzmann, m\; é a massa da cada uma das moléculas do gás.

Veja-se também

Referência

  1. ↑ Center of Mass Reference Frame

Bibliografía

Enlaces externos

Wikcionario

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