Energia potencial

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As carroças de uma montanha russa atingem sua máxima energia potencial gravitacional na parte mais alta do percurso. Ao descer, esta é convertida em energia cinética, a que chega a ser máxima no fundo da trajectória (e a energia potencial mínima). Depois, ao voltar a elevar devido à inércia do movimento, o traspasso de energias investe-se. Se assume-se um atrito insignificante, a energia total do sistema permanece constante.

Em um sistema físico, a energia potencial é energia que mede a capacidade que tem dito sistema para realizar trabalho em função exclusivamente de sua posição ou configuração. Pode pensar-se como a energia armazenada no sistema, ou como uma medida do trabalho que um sistema pode entregar.

Mais rigorosamente, a energia potencial é uma magnitude escalar sócia a um campo de forças (ou como em elasticidade um campo tensorial de tensões). Quando a energia potencial está associada a um campo de forças, a diferença entre os valores do campo em dois pontos A e B tanto faz ao trabalho realizado pela força para qualquer percurso entre B e A.

Conteúdo

1 Energia potencial associada a campos de forças
- 1.1 Energia potencial gravitatoria
- 1.2 Energia potencial electrostática
2 Energia potencial elástica
3 Veja-se também

Energia potencial associada a campos de forças

A energia potencial pode definir-se somente quando a força é conservativa. Se as forças que actuam sobre um corpo são "não conservativas" então não se pode definir a energia potencial, como ver-se-á a seguir. Uma força é conservativa quando se cumpre alguma das seguintes propriedades:

O trabalho realizado pela força entre dois pontos é independente do caminho percorrido.
O trabalho realizado pela força para qualquer caminho fechado é nulo.
Quando o rotor da força é zero.

Pode-se demonstrar que todas as propriedades são equivalentes (isto é, que qualquer delas implica a outra). Nestas condições, a energia potencial define-se como:

$U_B - U_A = -\int_A^B \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} .$

Obviamente se as forças não são conservativas não existirá em general uma maneira unívoca de definir a anterior integral. Da propriedade anterior segue-se que se a energia potencial é conhecida, se pode obter a força a partir do gradiente de Ou:

$\mathbf{F} = - \nabla U .$

Também pode se percorrer o caminho inverso: supor a existência uma função energia potencial e definir a força correspondente mediante a fórmula anterior. Pode-se demonstrar que toda a força assim definida é conservativa.

Evidentemente, a forma funcional da energia potencial depende da força de que se trate; assim, para o campo gravitatorio (ou eléctrico), o resultado do produto das massas (ou ónus) por uma constante dividido pela distância entre as massas (ónus), pelo que vai diminuindo à medida que se incrementa dita distância.

Energia potencial gravitatoria

A força gravitatoria mantém aos planetas em órbita em torno do sol

Este tipo de energia está associada com o grau de separação entre dois corpos, os quais se atraem mediante força gravitacional.

Caso geral. A energia potencial gravitatoria V_G de uma partícula material de massa m situada dentro do campo gravitatorio terrestre vem dada por:

$V_G(r) = -\frac{GMm}{r}$

Onde:

$r\,$ , distância entre a partícula material e o centro da Terra.

$G \,$ , constante universal da gravitación.

$M \,$ , massa da Terra.

Esta última é a fórmula que precisamos empregar, por exemplo, para estudar o movimento de satélites e mísseis balísticos:

Cálculo simplificado. Quando a distância percorrida por um móvel h é pequena, o que sucede na maioria das aplicações usuais (tiro parabólico, saltos de água, etc.), podemos usar o desenvolvimento de Taylor à anterior equação. Assim se chamamos r à distância ao centro da terra, R à rádio da Terra e h à altura sobre a superfície da Terra temos:

$V_G(r) = -\frac{GMm}{(R+h)} \approx -\frac{GMm}{R} +\frac{GM}{R^2}mh = -\frac{GMm}{R} + mgh$

Onde temos introduzido a aceleração sobre a superfice:

$g= \frac{GM}{R^2} \approx 9,80665\ \frac{m}{s^2}$

Por tanto a variação da energia potencial gravitatoria ao deslocar-se um corpo de massa m desde uma altura h₁ até uma altura h₂ é:

$\Delta V_G \approx mg(h_2-h_1)$

Dado que a energia potencial anula-se quando a distância é infinita, frequentemente se atribui energia potencial zero à altura correspondente à do solo, já que o que é de interesse não é o valor absoluto de V , senão sua variação durante o movimento.

Assim, se a altura do solo é h₁ = 0, então a energia potencial a uma altura h₂ = h será simplesmente V_G = mgh.

Energia potencial electrostática

A energia potencial electrostática de um sistema formado por duas partículas de ónus q e Q situadas a uma distancia r uma da outra tanto faz a:

$V_E(r) = K \frac{Qq}{r}$

Sendo K uma constante universal ou constante de Coulomb cujo valor aproximado é 9*10⁹ (volts·metro/culombio).

Uma definição de energia potencial eléctrica seria a seguinte: quantidade de trabalho que se precisa realizar para acercar um ónus pontual de massa nula com velocidade constante desde o infinito até uma distancia r de um ónus do mesmo signo, a qual utilizamos como referência. No infinito o ónus de referência exerce uma força nula.

Energia potencial elástica

Artigo principal: Energia de deformação

A energia elástica ou energia de deformação é o aumento de energia interna acumulado no interior de um sólido deformable como resultado do trabalho realizado pelas forças que provocam a deformação.

Potencial harmônico (caso unidimensional), dada uma partícula em um campo de forças que responda à lei de Hooke (F= -k|r|) sendo k a constante de dito campo, sua energia potencial será V = 1/2 K |r|².

Energia de deformação (caso linear general), neste caso a função escalar que dá o campo de tensões é a energia livre de Helmholtz por unidade de volume f que representa a energia de deformação. Para um sólido elástico linear e isótropo, a energia potencial elástica em função das deformações ε_ij e a temperatura a energia livre de um corpo deformado vem dada por:

(1) $\begin{cases} f(\epsilon_{ij},T) = \lambda(T) \left(\sum_{i=1}^{3}\epsilon_{ii}\right)^2 + 2\mu(T) \sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} \epsilon_{ij}^2 \\ f(\epsilon_{ij},T) =\lambda(T) \left(\epsilon_{xx}+\epsilon_{yy} +\epsilon_{zz}\right)^2+ 2\mu(T) \left(\epsilon_{xx}+\epsilon_{xy}+ ... +\epsilon_{zy}+\epsilon_{zz}\right)^2 \end{cases}$

Onde $\lambda(T), \mu(T) \,$ são constantes elásticas chamadas coeficientes de Lamé, que podem depedender da temperatura, e estão relacionadas com o módulo de Young e o coeficiente de Poisson mediante as relações algébricas:

$\lambda=\frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \qquad \mu=\frac{E}{2(1+\nu)}$

A partir desta expressão (1) do potencial termodinámico de energia livre podem obter-se as tensões a partir das seguintes relações termodinámicas:

$\sigma_{ij} = \left ( \frac{\partial f}{\partial \epsilon_{ij}} \right)_S = \frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)}\left(\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{kk}\right)+\frac{E}{(1+\nu)} \epsilon_{ij}$

Estas últimas equações chamam-se equações de Lamé-Hooke e escritas mais explicitamente em forma matricial têm a forma:

$\begin{pmatrix} \sigma_{xx}\\ \sigma_{yy}\\ \sigma_{zz}\\ \sigma_{xy}\\ \sigma_{xz}\\ \sigma_{yz} \end{pmatrix} = \frac{E}{1+\nu} \begin{pmatrix} 1+\alpha & \alpha & \alpha & & & \\ \alpha & 1+\alpha & \alpha & & & \\ \alpha & \alpha & 1+\alpha & & & \\ & & & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ & & & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ & & & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \varepsilon_{xx}\\ \varepsilon_{yy}\\ \varepsilon_{zz}\\ \varepsilon_{xy}\\ \varepsilon_{xz}\\ \varepsilon_{yz} \end{pmatrix}$

Onde

$\alpha:=\frac{\nu}{1-2\nu}$

Energia de deformação (caso não-linear general), no caso de materiais elásticos não-lineares a energia de deformação pode se definir só no caso de materiais hiperelásticos. E nesse caso a energia elástica está estreitamente relacionada com o potencial hiperplástico a partir da qual se deduze a equação constitutiva.

Veja-se também

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