Equação de Dirac

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A equação de Dirac de ondas relativista da mecânica cuántica foi formulada por Paul Dirac em 1928 . Dá uma descrição das partículas elementares de espín ½, como o elétron, e é completamente consistente com os princípios da mecânica cuántica e da teoria da relatividad especial. Além de dar conta do espín, a equação prediz a ocorrência de antipartículas .

Conteúdo

1 Forma da equação
2 Dedução da equação de Dirac
- 2.1 Natureza da função de onda
- 2.2 Espectro de energia
3 Teoria de buracos
4 Interacção electromagnética
- 4.1 Interacção hamiltoniana
- 4.2 Átomo hidrogenoide relativista
5 Anotação covariante relativista
6 Bibliografía
- 6.1 Artigos
- 6.2 Livros
7 Enlaces externos

Forma da equação

Já que a equação de Dirac foi originalmente formulada para descrever o elétron, as referências fá-se-ão com respeito a "elétrons", ainda que actualmente a equação aplica-se a outros tipos de partículas elementares de espín ½, como os quarks. Uma equação modificada de Dirac pode empregar-se para descrever de forma aproximada os protones e os neutrones, estes últimos formados por partículas mais pequenas telefonemas quarks, e que por tanto não são partículas elementares. A equação de Dirac apresenta a seguinte forma:

$\left(\alpha_0 mc^2 + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j p_j \, c\right) \psi (\mathbf{x},t) = i \hbar \frac{\partial\psi}{\partial t} (\mathbf{x},t)$

sendo m a massa em repouso do elétron, c a velocidade da luz, p o operador por enquanto, $\hbar$ a constante de Planck , x e t as coordenadas do espaço e o tempo, respectivamente; e ψ (x, t) uma função de onda de quatro componentes. A função de onda tem de ser formulada como um espinor (objecto matemático similar a um vetor que muda de signo com uma rotação de 2π descoberto por Pauli e Dirac) de quatro componentes, e não como um simples escalar, devido aos requerimientos da relatividad especial. São-nos α operadores lineares que governam a função de onda, escritos como uma matriz e são matrizes de 4×4 conhecidas como matrizes de Dirac. Há mais de uma forma de escolher um conjunto de matrizes de Dirac; um critério prático é:

$\alpha_0 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \quad \alpha_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$\alpha_2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & -i& 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \quad \alpha_3 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

A equação de Dirac descreve as amplitudes de probabilidade para um elétron sozinho. Esta teoria de uma sozinha partícula dá uma predição suficientemente boa do espín e do momento magnético do elétron, e explica a maior parte da estrutura fina observada nas linhas espectrales atómicas. Também realiza uma peculiar predição de que existe um conjunto infinito de estados cuánticos em que o elétron tem energia negativa. Este estranho resultado permite a Dirac predizer, por médio das hipóteses contidas na chamada teoria dos buracos, a existência de elétrons carregados positivamente. Esta predição foi verificada com a descoberta do positrón, no ano 1932.

Apesar deste sucesso, a teoria foi descartada porque implicava a criação e destruição de partículas, enfrentando-se assim a uma das consequências básicas da relatividad. Esta dificuldade foi resolvida mediante sua reformulación como uma teoria cuántica de campos. Acrescentar um campo electromagnético quantificado nesta teoria conduz à moderna teoria da electrodinámica cuántica (Quantum Electrodynamics, QED).

Dedução da equação de Dirac

A equação de Dirac é uma extensão ao caso relativista da equação de Schrödinger, que descreve a evolução no tempo de um sistema cuántico:

$H \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {\partial\over\partial t} \left| \psi (t) \right\rangle$

Por conveniencia, trabalhar-se-á na base de posições, em que o estado do sistema é representado pela equação de onda ψ(x, t). Nesta base, a equação de Schrödinger formula-se da seguinte maneira:

$H \psi (\mathbf{x},t) = i \hbar \frac{\partial\psi}{\partial t} (\mathbf{x},t)$

onde o hamiltoniano H denota um operador que actua sobre uma função de onda, e não sobre vetores de estado.

Deve especificar-se o hamiltoniano de forma que descreva adequadamente a energia total do sistema em questão. Seja um elétron "livre" isolado de campos de força externos. Em um modelo não relativista, se adopta uma hamiltoniano análogo à energia cinética da mecânica clássica (por enquanto ignorando o espín):

$H = \sum_{j=1}^3 \frac{p_j^2}{2m}$

sendo p os operadores por enquanto na cada direcção do espaço j = 1, 2, 3. A cada operador por enquanto actua sobre a função de onda como uma derivada espacial:

$p_j \psi(\mathbf{x},t) \equiv - i \hbar \, \frac{\partial\psi}{\partial x_j} (\mathbf{x},t)$

Para descrever um sistema relativista, deve encontrar-se um hamiltoniano diferente. Assume-se que os operadores por enquanto conservam a definição anterior. De acordo com a famosa relação massa-momento-energia de Albert Einstein, a energia total de um sistema vem dada pela expressão:

$E = \sqrt{(mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2}$

da qual se deduze que

$\sqrt{(mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2} \; \psi = i \hbar \frac{\partial\psi}{\partial t}$

Esta não é uma equação satisfatória, porque não trata por igual o espaço e o tempo, um dos princípios básicos da relatividad especial (o quadrado desta equação leva à equação de Klein-Gordon). Dirac razonó que, enquanto a parte direita da equação continha uma derivada de primeira ordem com respeito ao tempo, a parte da esquerda devia conter igualmente uma primeira derivada com respeito ao espaço (i. e., os operadores por enquanto). Uma possibilidade para obter esta situação é que a quantidade da raiz quadrada seja um quadrado perfeito. Considerando

$(mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_{j}c)^2 = \left( \alpha_0 mc^2 + \sum_{j=1}^3 \alpha_j p_j \, c \right)^2$

onde as α são constantes que devem ser determinadas. Elevando ao quadrado, e comparando coeficientes da cada termo, obtêm-se as seguintes condições por α:

$\alpha_\mu^2 = I \,,\qquad\qquad\quad\;\; \mu = 0,1,2,3$

$\alpha_\mu \alpha_\nu + \alpha_\nu \alpha_\mu = 0 \,,\quad \mu \ne \nu$

Aqui, I é o elemento identidade. Estas condições podem sintetizar-se em:

$\left\{\alpha_\mu , \alpha_\nu\right\} = 2\delta_{\mu\nu} \cdot I$

onde {...} é o anticonmutador, definido como {A,B} ≡ AB+BA, e δ é o delta de Kronecker, que tem valor 1 se os dois subíndices são iguais, e 0 em outro caso.

Estas condições podem não ser satisfeitas se os α são números ordinários, mas sim se cumprem se as α são determinadas matrizes. As matrizes devem ser hermíticas, já que o hamiltoniano é um operador hermítico. As matrizes mais pequenas que funcionam são as 4×4, mas há mais de uma eleição possível, ou representação, das matrizes. Conquanto a eleição da representação não pode afectar às propriedades da equação de Dirac, afecta ao significado físico das componentes individuais da função de onda.

Anteriormente apresentou-se a representação usada por Dirac. Uma forma mais compacta de descrever essa representação é a seguinte:

$\alpha_0 = \begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{bmatrix} \quad \alpha_j = \begin{bmatrix} 0 & \sigma_j \\ \sigma_j & 0 \end{bmatrix}$

onde 0 e I são as matrizes 2×2 zero (nula) e identidade, respectivamente; e σ_j's (j=1, 2, 3) são as matrizes de Pauli

Agora é singelo operar a raiz quadrada, da que se obtém a equação de Dirac. O hamiltoniano desta equação

$H = \,\alpha_0 mc^2 + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j p_j \, c$

denomina-se hamiltoniano de Dirac.

Natureza da função de onda

Como a função de onda ψ se representa pela matriz de Dirac 4×1, tem de ser um objecto de 4 componentes. Ver-se-á na próxima secção que a função de onda contém dois conjuntos de graus de liberdade, um sócio à energia positiva e outro à negativa. A cada conjunto contém dois graus de liberdade que descrevem as amplitudes de probabilidade de que o espín seja para acima ou para abaixo, segundo uma direcção especificada.

Pode-se escrever explicitamente a função de onda como uma matriz coluna:

$\psi(\mathbf{x},t) \equiv \begin{bmatrix}\psi_1(\mathbf{x},t) \\ \psi_2(\mathbf{x},t) \\ \psi_3(\mathbf{x},t) \\ \psi_4(\mathbf{x},t) \end{bmatrix}$

A equação da onda dual pode ser escrita como uma matriz simples:

$\psi^\dagger(\mathbf{x},t) \equiv \begin{bmatrix}\psi_1^*(\mathbf{x},t) & \psi_2^*(\mathbf{x},t) & \psi_3^*(\mathbf{x},t) & \psi_4^*(\mathbf{x},t) \end{bmatrix}$

onde o superíndice denota uma conjugação complexa. A dualidad de uma função de onda escalar (um componente) é um conjugado complexo.

Como na mecânica cuántica de uma partícula única, o "quadrado absoluto" da função de onda dá a densidade de probabilidade da partícula na cada posição x, tempo t. Neste caso, o "quadrado absoluto" é obtido por multiplicação de matrizes:

$\psi^\dagger \psi \, (\mathbf{x},t) = \sum_{j = 1}^4 \psi_j^*(\mathbf{x},t) \psi_j(\mathbf{x},t)$

A conservação da probabilidade dá a condição de normalização

$\int \psi^\dagger \psi \, (\mathbf{x},t) \; d^3x = 1$

Aplicando a equação de Dirac, podemos examinar o fluxo local de probabilidade:

$\frac{\partial}{\partial t} \psi^\dagger \psi \, (\mathbf{x},t) = - \nabla \cdot \mathbf{J}$

O fluxo de probabilidade J vem dado por

$J_j = c \psi^\dagger \alpha_j \psi$

Multiplicando J pelo ónus do elétron e obtém-se a densidade de corrente eléctrico j levado pelo elétron.

Os valores das componentes da função de onda dependem do sistema de coordenadas. Dirac mostrou como ψ se transforma baixo mudanças gerais do sistema coordenado, incluindo rotações no espaço tridimensional, bem como nas transformações de Lorentz entre os esquemas relativistas de referência. Isto leva a que ψ não se transforma como um vetor, devido a rotações; e de facto é um tipo de objecto conhecido como espinor.

Espectro de energia

É instructivo achar os estados próprios de energia do Hamiltoniano de Dirac. Para isso, se resolve a equação de Schrödinger independente do tempo:

$H \psi_0 (\mathbf{x}) = E \psi_0(\mathbf{x})$

onde ψ é o fragmento independente do tempo da autofunción (eigenfunction) da energia:

$\psi (\mathbf{x}, t) = \psi_0 (\mathbf{x}) e^{- i E t / \hbar}$

Procuramos uma solução de onda plana. Por conveniencia, toma-se a z do eixo como a direcção em que a partícula se está a mover, como

$\psi_0 = w e^{\frac{ipz}{\hbar}}$

onde w é um espinor constante de quatro componentes, e p é o momento da partícula, tal e como podemos verificar aplicando o operador por enquanto à função de onda. Na representação de Dirac, a equação por ψ ₀ diminui na equação de valores próprios.

$\begin{bmatrix} mc^2 & 0 & pc & 0 \\ 0 & mc^2 & 0 & -pc \\ pc & 0 & -mc^2 & 0 \\ 0 & -pc & 0 & -mc^2 \end{bmatrix} w = E w$

Para a cada valor de p , há dois espaços próprios, ambos de duas dimensões. Um espaço próprio contém valores próprios positivos, e os outro valores próprios negativos, da forma:

$E_\pm (p) = \pm \sqrt{(mc^2)^2 + (pc)^2}$

O espaço próprio positivo está estruturado pelos estados próprios:

$\frac{1}{\sqrt{\epsilon^2+(pc)^2}}\left\{ \begin{bmatrix}pc \\ 0 \\ \epsilon \\ 0 \end{bmatrix} \,,\, \begin{bmatrix}0 \\ pc \\ 0 \\ - \epsilon \end{bmatrix} \right\}$

e o espaço próprio negativo pelos estados próprios:

$\frac{1}{\sqrt{\epsilon^2+(pc)^2}}\left\{ \begin{bmatrix}-\epsilon \\ 0 \\ pc \\ 0 \end{bmatrix} \,,\, \begin{bmatrix}0 \\ \epsilon \\ 0 \\ pc \end{bmatrix} \right\}$

Onde

$\epsilon \equiv |E| - mc^2$

O primeiro estado próprio da estrutura da cada espaço próprio tem espín apontando na direcção +z ("espín para acima") e o segundo espín próprio tem espín apontando na direcção -z ("espín para abaixo").

No limite não relativista, a componente do espinor ε reduz a energia cinética da partícula, que é insignificante comparada com pc:

$\epsilon \sim \frac{p^2}{2m} << pc$

Neste limite, por tanto, podemos interpretar os quatro componentes da função de onda como suas amplitudes respectivas do (I) espín para acima com energia positiva, e o (II) espín para abaixo com energia positiva, (III) espín para acima com energia negativa, e (IV) espín abaixo com energia negativa. Esta descrição não é muito exacta no regime da relatividad, onde os componentes não nulos do espinor são de medidas similares.

Teoria de buracos

As soluções negativas de E na secção precedente são problemáticas: desde o ponto de vista da mecânica relativista, a energia de uma partícula em repouso (p = 0) seria E = mc² tanto como E = - mc². Matematicamente parece não ter motivo algum para recusar as soluções correspondentes a energia negativa.

Para enfrentar este problema, Dirac introduziu uma hipótese (conhecida como teoria de buracos) segundo a qual o vazio é o estado mais importante dos quantos, no que todos os estados próprios de energia negativa do elétron estão ocupados. Esta descrição do vazio, como um «mar» de elétrons é chamada o mar de Dirac. O princípio de exclusão de Pauli proíbe aos elétrons ocupar o mesmo estado, qualquer elétron adicional seria forçado a ocupar um estado próprio de energia positiva, e os elétrons de energia positiva não poderiam decaer a estados próprios de energia negativa.

Posteriormente Dirac razonó que se os estados próprios de energia negativa estão cheios de forma incompleta, a cada estado próprio não ocupado chamado buraco- poderia se comportar como uma partícula carregada positivamente. O buraco tem energia positiva, já que precisa-se energia para criar um par partícula-buraco a partir do vazio. Dirac em um princípio pensava que o buraco era um protón, mas Hermann Weyl advertiu de que o buraco comportar-se-ia como se tivesse a mesma massa do elétron, enquanto o protón é, aproximadamente, dois mais mil vezes em massa. O buraco foi finalmente identificado como positrón, partícula descoberta experimentalmente por Carl Anderson em 1932 .

Por necessidade, a teoria de buracos assume que os elétrons de energia negativa no mar de Dirac não interaccionan uns com outros, nem com os elétrons de energia positiva. Com esta assunção, o mar de Dirac produziria uma imensa (de facto, infinita) ónus eléctrico negativa, a maior parte da qual de uma forma ou outra seria anulada por um mar de ónus positiva como o vazio permanece electricamente neutro. No entanto, é completamente insatisfactorio postular que os elétrons de energia positiva podem ser afectados pelo campo electromagnético, enquanto os elétrons de energia negativa não o são. Por este motivo, os físicos abandonaram a teoria de buracos em favor da teoria de campos de Dirac, que deixa de lado o problema dos estados de energia negativa tratando os positrones como verdadeiras partículas. (Caveat: em algumas aplicações da física da matéria condensada, os conceitos baseados na «teoria de buracos» são válidos). O mar de elétrons de condução, em um condutor eléctrico, chamado mar de Fermi, contém elétrons com energias mais altas que o potencial químico do sistema. Um estado vazio no mar de Fermi comporta-se como um elétron carregado positivamente, conquanto se remete tanto a um «buraco» como a um positrón. O ónus negativo do mar de Fermi é equilibrada pelo ónus positivo da grade iónica do material.

No enfoque moderno a interpretação do mar de elétrons refere-se ao problema da eleição do estado do vazio. De facto em algumas teorias, diferentes eleições do estado do vazio podem ter consequências físicas diferentes.

Interacção electromagnética

Até aqui considerou-se um elétron que não está em contacto com campos externos. Continuando por analogia com o hamiltoniano de uma partícula carregada na electrodinámica cuántica, pode-se modificar o hamiltoniano de Dirac para incluir os efeitos de um campo electromagnético. O hamiltoniano revisado é (em unidades do Sistema Internacional):

$H = \alpha_0 mc^2 + \sum_{j=1}^3 \alpha_j \left[p_j - \frac{e}{c} A_j(\mathbf{x}, t) \right] c + e \phi(\mathbf{x}, t)$

onde e é o ónus eléctrico do elétron e A e Φ são os potenciais electromagnéticos escalar e vectorial, respectivamente. Aqui, os potenciais escrevem-se como funções do tempo t e do operador de posição x. Esta é uma aproximação semiclásica que é válida quando as flutuações cuánticas do campo (por exemplo, a emissão e absorción de fotones) não são importantes.

Dando a Φ o valor 0 e trabalhando no limite não relativista, Dirac solucionou para as duas primeiras componentes nas funções de onda de energia positiva (que são as componentes dominantes no limite não relativista), obtendo

$\left( \frac{1}{2m} \sum_j |p_j - e A_j(\mathbf{x}, t)|^2 - \frac{\hbar e}{2mc} \sum_j \sigma_j B_j(\mathbf{x}) \right) \begin{bmatrix}\psi_1 \\ \psi_2 \end{bmatrix}$
$= (E - mc^2) \begin{bmatrix}\psi_1 \\ \psi_2 \end{bmatrix}$

onde B = $\nabla$ ×A é o campo magnético que actua sobre a partícula. Esta é precisamente a equação de Pauli para uma partícula de espín ½ não relativista, com um momento magnético $\hbar e/2mc$ (por exemplo: um factor g de espín igual a 2). O momento magnético real do elétron é maior que isso, mas unicamente um 0,12% maior. A diferença deve-se às flutuações cuánticas no campo electromagnético, que podem ser menospreciadas.

Anos após a descoberta da equação de Dirac, a maioria de físicos achavam que também descrevia o protón e o neutrón, que também são partículas de espín -1/2. No entanto, desde os experimentos de Stern e Frisch em 1933 , descobriu-se que o momento magnético destas partículas era notavelmente diferente das predições da equação de Dirac. O protón tem um momento magnético 2,79 vezes maior que a predição (com a massa do protón posta como m nas fórmulas mencionadas), i.e., um factor g de 5,58. O neutrón, que é elécticamente neutro, tem um factor g de -3,83. Estes momentos magnéticos anormales foram o primeiro indício experimental de que o protón e o neutrón não eram partículas elementares. De facto estão compostos de partículas mais pequenos telefonemas quarks.

Interacção hamiltoniana

É digno de ter-se em conta que o hamiltoniano pode ser escrito como soma de dois termos:

$H = H_{el} + H_{int}\,$

Onde H_o é o hamiltoniano de Dirac para um elétron livre e H_int é o hamiltoniano da interacção electromagnética. Este último pode-se escrever como:

$H_{int} = e \phi(\mathbf{x}, t) - ec \sum_{j=1}^3 \alpha_j A_j(\mathbf{x}, t)$

Isto tem o valor esperado

$\langle H \rangle = \int_{\R^3} \psi^\dagger H_{int} \psi\ d^3x = \int_{\R^3} \left(\rho \phi - \sum_{i=1}^3 j_i A_i \right)\ d^3x$

onde ρ é a densidade de ónus eléctrica e j é a densidade de corrente eléctrica. A integral no último termo é a densidade de energia de interacção. Isso é uma quantidade escalar covariante relativista, como pode se observar o escrevendo em termos do cuadrivector carrega corrente j = (ρc, j) e o cuatrivector do potencial A = (φ/c, A ):.

$\langle H \rangle = \int \, \left( \sum_{\nu = 0}^3 j^\nu A_\nu \right) \; d^3r$

Átomo hidrogenoide relativista

A equação de Schrödinger aplicada a elétrons é só uma aproximação não relativista à equação de Dirac que dá conta tanto do efeito do espín do elétron. No tratamiendo de Dirac dos elétrons aliás a função de onda deve substituir-se por um espinor de quatro componentes.

$\psi_{n,jm}^{(\pm)} (r,\theta, \phi) = \begin{Bmatrix} \cfrac{iG_{n,lj}(r)}{r} \boldsymbol{\varphi}_{jm}^{(\pm)} \\ \cfrac{F_{n,lj}(r)}{r} (\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat\mathbf{r}) \boldsymbol{\varphi}_{jm}^{(\pm)} \end{Bmatrix}$

Onde as funciones F e G se expressam em termos de funções hipergeométricas:

$F_{n,lj}(r) = \left(1+\frac{E}{mc^2}\right)e^{-\frac{\rho}{2}}(F_1(\rho)+F_2(\rho)), \qquad G_{n,lj}(r) = \left(1-\frac{E}{mc^2}\right)e^{-\frac{\rho}{2}}(F_1(\rho)-F_2(\rho)),$

A modo de comparação com o caso não relativista se dão a seguir a forma explícita do espinor de funções de onda do estado fundamental:

$\psi_{n=1,j=\frac{1}{2},m=+\frac{1}{2}} (r,\theta, \phi) = \frac{(2mZ\alpha)^{3/2}}{(4\pi)^{1/2}}\left( \frac{1+\gamma}{2\Gamma(1+2\gamma)} \right)^{1/2} (2mZ\alpha r)^{\gamma-1}e^{-mZ\alpha r} \begin{Bmatrix} 1 \\ 0 \\ \cfrac{i(1-\gamma)}{Z\alpha}\cos \theta \\ \cfrac{i(1-\gamma)}{Z\alpha}\sin \theta e^{i\varphi} \end{Bmatrix}$
$\psi_{n=1,j=\frac{1}{2},m=-\frac{1}{2}} (r,\theta, \phi) = \frac{(2mZ\alpha)^{3/2}}{(4\pi)^{1/2}}\left( \frac{1+\gamma}{2\Gamma(1+2\gamma)} \right)^{1/2} (2mZ\alpha r)^{\gamma-1}e^{-mZ\alpha r} \begin{Bmatrix} 1 \\ 0 \\ \cfrac{i(1-\gamma)}{Z\alpha}\sin \theta e^{-i\varphi} \\ \cfrac{i(1-\gamma)}{Z\alpha}\cos \theta \end{Bmatrix}$

O limite não relativista se obtém fazendo tender $\gamma := \sqrt{1-Z^2\alpha^2} \to 1$ , isto é, fazendo tender a constante de estrutura fina a zero.

O tratamento dos elétrons mediante a equação de Dirac só supõe pequenas correcções aos níveis dados pela equação de Schrödinger. Talvez o efeito mais interessante é o desaparecimento da degeneração dos níveis, pelo efeito da interacção espín-órbita consistente em que os elétrons com valores diferentes do terceiro número cuántico m (número cuántico magnético) têm diferentes energia devido ao efeito sobre eles do momento magnético do núcleo atómico. Aliás os níveis energéticos vêm dados por:^[1]

$E_n = m_ec^2\sqrt{1+\left( \frac{Z\alpha}{n-|m|+\sqrt{m^2+(Z\alpha)^2}} \right)^2}$

Onde:

$m_e\;$ , é a massa do elétron.

$c\; \alpha$ , são a velocidade da luz e a constante de estrutura fina.

$Z, n, m\;$ , são o número de protones do núcleo, o número cuántico principal e o número cuántico magnético.

Se se prescinde da energia associada à massa em repouso do elétron estes níveis podem resultam próximos aos preditos pela equação de Schrödinger, especialmente no caso m = 0:

$E_n -m_ec^2 \approx \frac{m_e}{2}\left( \frac{Z\alpha}{n-|m|+\sqrt{m^2+(Z\alpha)^2}} \right)^2$

Anotação covariante relativista

Voltamos à equação de Dirac para o elétron livre. Às vezes é conveniente escrever a equação em uma forma covariante relativista, na que as derivadas no tempo e o espaço se tratam ao mesmo nível. Para fazer isto, deve se ter em conta que o operador do momento p funciona como uma derivada espacial:

$\mathbf{p} \psi(\mathbf{x},t) = - i \hbar \nabla \psi(\mathbf{x},t)$

Multiplicando a cada membro da equação de Dirac para a 0 (recordando que α₀²=I) e substituindo na mencionada definição de p , obtém-se

$\left[ i\hbar c \left(\alpha_0 \frac{\partial}{c \partial t} + \sum_{j=1}^3 \alpha_0 \alpha_j \frac{\partial}{\partial x_j} \right) - mc^2 \right] \psi = 0$

Agora, se definem quatro matrizes gama:

$\gamma_0 = \alpha_0 \,,\quad \gamma_j = \alpha_0 \alpha_j$

Estas matrizes têm a propriedade de que

$\left\{\gamma_\mu , \gamma_\nu \right\} = 2\eta_{\mu\nu} \cdot I\,,\quad \mu,\nu = 0, 1, 2, 3$

onde η, uma vez mais, é a métrica do espaço tempo plano. Estas relações definem um álgebra de Clifford denominada «álgebra de Dirac». A equação de Dirac pode ser agora reformulada, usando o cuatrivector de posição-tempo x = (ct, x), como

$\left(i\hbar c \, \sum_{\mu=0}^3 \; \gamma_\mu \, \frac{\partial}{\partial x_\mu} - mc^2 \right) \psi = 0$

Ou como

$\frac{h} {2 \pi} \sum_{\mu=0}^3 \; \gamma_\mu \, \partial_\mu \psi + imc\psi = 0$

Bibliografía

↑ Hydrogenic Solutions of Dirac's Equation

Artigos

P.A.m. Dirac, Proc. R. Soc. A117 610 (1928)
P.A.m. Dirac, Proc. R. Soc. A126 360 (1930)
C.D. Anderson, Phys. Rev. 43 491 (1933)
R. Frisch, Ou. Stern, Z. Phys. 85 4 (1933)

Livros

Penrose, Roger. O caminho à realidade, 1ª edição (Mondadori, 2006)
Dirac, P.A.m., Principles of Quantum Mechanics, 4th edition (Clarendon, 1982)
Shankar, R., Principles of Quantum Mechanics, 2nd edition (Plenum, 1994)
Lawden, F., The Mathematical Principles of Quantum Mechanics, Dover edition (2005)

Enlaces externos

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