Visita Encydia-Wikilingue.com

Equação de Hamilton-Jacobi

equação de hamilton-jacobi - Wikilingue - Encydia

A equação de Hamilton-Jacobi é uma equação diferencial em derivadas parciais usada em mecânica clássica e mecânica relativista que permite encontrar as equações de evolução temporária ou de movimento".

A equação de Hamilton-Jacobi (EHJ) permite uma formulación alternativa à mecânica lagrangiana e a mecânica hamiltoniana (e por tanto à mecânica newtoniana, baseada na tentativa de integração directa das equações de movimento). O emprego da equação de Hamilton-Jacobi resulta ventajoso quando se conhece alguma integral de movimento.

Ademais a formulación baseada em EHJ é a única formulación da mecânica na que o movimento de uma partícula e o de uma onda se descrevem nos mesmos termos. É por isto que a EHJ constitute uma meta longamente perseguida da física teórica, desde Johann Bernoulli no século XVIII procurou uma analogia entre a propagación de ondas e partículas. Esta razão foi a que levo a Schrödinger a procurar uma equação para a "mecânica ondulatoria" ou mecânica cuántica generalizando a equação de Hamilton-Jacobi (em lugar de usar os outros enfoques alternativos da mecânica clássica). Inclusive a primeira equação para mecânica cuántica relativista, a equação de Klein-Gordon, baseou-se na EHJ relativista em lugar de outros enfoques alternativos.

Conteúdo

Formulación da mecânica clássica baseada na EHJ

A equação de Hamilton-Jacobi é uma equação em derivadas parciais não-linear para a função principal de Hamilton S(q_{1},\dots,q_{N}; t), telefonema também integral de acção:

(1) H\left(t,q_{1},\dots,q_{N};\frac{\partial S}{\partial q_{1}},\dots,\frac{\partial S}{\partial q_{N}}\right) + \frac{\partial S}{\partial t}=0.

Tal como se descreve neste artigo, esta equação pode ser deduzida da mecânica hamiltoniana considerando a como S\; a função generatriz de uma transformação canónica. Os momentos conjugados das coordenadas correspondem às derivadas da função S\; com respeito às próprias coordenadas generalizadas:

(2) p_{k} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{\partial S}{\partial q_{k}}

Analogamente, as coordenadas generalizadas podem-se obter como derivadas com respeito aos novos momentos conjugados, tal como se descreve mais adiante. Investindo estas equações algebraicamente, um pode encontrar as equações de evolução do sistema mecânico, determinando a variação das coordenadas com o tempo. As posições iniciais e as velocidades iniciais aparecem dentro das constantes de integração para uma solução completa da equação (1). As constantes de integração neste método usualmente coincidem com integrales do movimento como a energia, o momento angular ou o vetor de Runge-Lenz.

Exemplos

\frac{1}{2m}\left[ \left(\frac{\part S}{\part x}\right)^2 + \left(\frac{\part S}{\part y}\right)^2 + \left(\frac{\part S}{\part z}\right)^2 \right] + \left(\frac{\part S'}{\part t}+ V(\mathbf{x})\right) = 0

Equações de movimento a partir da EHJ

A equação de Hamilton-Jacobi (EHJ) para n coordenadas generalizadas contém ademais o tempo, pelo qual uma solução completa de dita equação conterá n+1 constantes de integração arbitrárias. Como a função S\; só intervém na EHJ através de suas derivadas primeiras uma destas constantes será aditiva e por tanto uma integral completa da equação terá a forma:[1]

(3) S(q_1,\dots,q_n) = f(t,q_1,\dots,q_n;\alpha_1,\dots,\alpha_n) + A

Onde o n+1 constantes são precisamente α1, ..., αn e A . Para encontrar a solução das equações de movimento basta construir n equações algébricas:

(4) \frac{\part S(t,q_i,\alpha_i)}{\part \alpha_i} = \beta_i

Investindo estas equações para despejar as coordenadas generalizadas qi obtêm-se ditas coordenadas como função do tempo e de 2n coordenadas, tal como ter-se-ia obtido pelos métodos da mecânica lagrangiana ou a mecânica hamiltoniana.

Esta solução pode ser justificada se pensamos na função f(t,q_1,\dots,q_n;\alpha_1,\dots,\alpha_n) como a função generatriz de uma transformação canónica, onde as constantes α1, ..., αn representam os novos momentos conjugados sócios a dita transformação, do facto que f seja uma função generatriz de segundo tipo implicará que:

p_i = \frac{\part f}{\part q_i} \quad \beta_i = \frac{\part f}{\part \alpha_i} \quad \bar{H} = H + \frac{\part f}{\part t}

Mas como a função f satisfaz a equação de Hamilton-Jacobi a nova hamiltoniana \bar{H} será nula e por tanto:

\dot\alpha_i = -\frac{\part \bar{H}}{\part \beta_i} = 0 \qquad \dot\beta_i = +\frac{\part \bar{H}}{\part \alpha_i} = 0

E por tanto a solução trivial do anterior sistema é αi = cte. e βi = cte. , já que as αi são conhecidas, porque conhecemos uma integral completa, as βi podem obter da condição:

\beta_i = \frac{\part f}{\part \alpha_i} = \frac{\part S}{\part \alpha_i}

Que é precisamente a solução que se tinha assinalado anteriormente.

Separação de variáveis

Em muitos sistemas físicos importantes para encontrar a solução das equações de movimento no enfoque de Hamilton-Jacobi procura-se uma solução completa de dita equação pelo método de separação de variáveis.

Um caso interessante apresenta-se quando alguma das coordenadas, por exemplo q1, só aparece formando uma combinação com a derivada da acção respecto do próprio q1, isto é, quando a equação de Hamilton-Jacobi pode escrever na forma:

(5a ). H\left(t,q_i;\frac{\part S}{\part q_i},\phi\left(q_1,\frac{\part S}{\part q_1}\right)\right) + \frac{\part S}{\part t}=0

Nesse caso pode procurar-se uma solução da forma:

(5b) S = \hat{S}(t,q_j) + S_1(q_1) \qquad j\ne 1

A substituição de uma equação deste tipo na (5a )permite reduzir o número de variáveis envolvida em uma unidade já que cumprir-se-iam simultaneamente as relações:

H\left(t,q_i;\frac{\part \hat{S}}{\part q_i}, \alpha_1\right) + \frac{\part \hat{S}}{\part t}=0 \qquad \land \qquad \phi\left(q_1,\frac{\part S_1}{\part q_1}\right) = \alpha_1

Em alguns casos de sistemas totalmente integrables de facto este procedimento pode-se repetir para a cada uma das variáveis obtendo-se uma integral completa mediante cuadraturas simples da forma:

(5c) S = -E(\alpha_1,\dots,\alpha_n)t + \sum_k S_k(q_k; \alpha_1,\dots,\alpha_n)

Coordenadas cíclicas

Em mecânica hamiltoniana chama-se coordenadas cíclica a umas coordenadas q_i\; que não aparece explicitamente no hamiltoniano. Uma coordenada cíclica é sempre um caso particular no que a equação de Hamilton-Jacobi pode se escrever em forma (5a )puediéndose conseguir a redução da equação em uma variável mediante a mudança:

(6) S = \hat{S}(t,q_j) + \alpha_1q_1 \qquad j\ne 1

Para um sistema conservativo o tempo t comporta-se de maneira análogo a uma coordenada cícilica,[2] como se pode ver a partir da forma da solução (5c).

Exemplos de separabilidad

Fixado um sistema de coordenadas, a equação de Hamilton-Jacobi admitirá separação de variáveis em dito sistema de coordenadas dependendo da forma funcional da energia potencial. A seguir vão alguns exemplos:

H = \frac{1}{2m}\left(p_r^2 + \frac{p_\theta^2}{r^2} + \frac{p_\phi^2}{r^2\sin^2 \theta} \right) + U(r,\theta,\phi)
E o problema de encontrar as trajectórias baixo dito hamiltoniano admitirá separação de variáveis se a função de energia potencial tem a seguinte forma:
U(r,\theta,\phi) = U_r(r) + \frac{U_\theta(\theta)}{r^2} + \frac{U_\phi(\phi)}{r^2\sin^2 \theta}
Muitos problemas fisicamente importantes frequentemente têm simetría axial pelo U_\phi(\theta)=0\,que , e nessas circunstâncias a acção admite uma solução dependente de três constantes (E, p_\phi, \beta)\, da forma:
S(r,\theta,\phi;t) = -Et\ +\ p_\phi \phi\ +\ \int \left[\beta-2mU_\theta(\theta)-\frac{p_\phi^2}{\sin^2\theta}\right]^{1/2}d\theta\ +\ \int \left[2m(E-U_r(r))-\frac{\beta}{r^2}\right]^{1/2}dr

Derivação da EHJ

Da própria definição do funcional de acção segue-se trivialmente a seguinte relação entre a acção e o lagrangiano:

\frac{dS}{dt} = L

Por outra parte , considerando a acção como uma função das coordenadas, os momentos conjugados e o tempo se tem que:

\frac{dS}{dt} = \frac{\part S}{\part t} + \sum_i \frac{\part S}{\part \dot{q}_i} \dot{q}_i = \frac{\part S}{\part t} + \sum_i p_i\dot{q}_i = L

Desta última equação deduze-se simplesmente que:

\frac{\part S}{\part t} = L - \sum_i p_i\dot{q}_i = -H(p_i,q_i)

Já que o segundo termo coincide precisamente com a definição do Hamiltoniano. Esta última equação coincide com a equação de Hamilton-Jacobi se nela se substituyen de novo os momentos conjutados pelas derivadas da acção com respeito às coordenadas.

Equação de Hamilton-Jacobi relativista

A equação de Hamilton-Jacobi relativista para uma partícula livre em um espaço-tempo de Minkowski tem usualmente a seguinte forma:

(6) \left(\frac{\part S}{\part x}\right)^2 + \left(\frac{\part S}{\part y}\right)^2 + \left(\frac{\part S}{\part z}\right)^2 - \frac{1}{c^2}\left(\frac{\part S}{\part t}\right)^2 = -m_0^2c^2

Introduzindo na anterior equação S = S' -mc^2t\; pode obter-se o limite clássico de dita equação:

\frac{1}{2m}\left[ \left(\frac{\part S'}{\part x}\right)^2 + \left(\frac{\part S'}{\part y}\right)^2 + \left(\frac{\part S'}{\part z}\right)^2 \right] - \frac{1}{2mc^2}\left(\frac{\part S'}{\part t}\right)^2 + \frac{\part S'}{\part t} = 0

Na teoria da relatividad geral usando um sistema de coordenadas arbitrário e usando o convênio de sumación de Einstein a forma covariante usual da equação para uma partícula livre é:

(7) g^{ik}\left(\frac{\part S}{\part x^i}\right)\left(\frac{\part S}{\part x^k}\right) = -m_0^2c^2

Equação de Hamilton-Jacobi e mecânica cuántica

A formulación baseada na equação de Hamilton-Jacobi é a primeira formulación completa da mecânica clássica que é aplicável tanto a partículas como a ondas. É por isso que quando De Broglie propôs o comportamento dual onda-corpúsculo em 1923 para dar conta de certos factos experimentales, se tratasse de procurar uma equação para a "onda de matéria" baseada nesta equação, já que a grandes escalas dita onda devia se manifestar como partícula, de modo que parecia que uma generalização da formulación de Hamilton-Jacobi, era a forma mais singela de encontrar essa equação de ondas.

De facto dita equação de ondas" continuando com a proposta de De Broglie foi obtida por Schrödinger em 1925 quando formulou a hoje conhecida como equação de Schrödinger:

i\hbar{\partial\Psi(t,\vec{r})\over\partial t}=-{\hbar^2\over 2m}\overrightarrow{\nabla}^2\Psi(t,\vec{r})+V(\vec{r},t)\Psi(t,\vec{r})

Onde a função de onda relacionar-se-ia com a função de acção que aparece na equação de Hamilton-Jacobi seria relação que uma vez introduzida na equação de Schrödinger leva ao seguinte limite clássico:

\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{1}{2m}\left[\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)^2 + \left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^2 \right] + V(x) = \frac{i\hbar}{2m} \Delta S

Equação que coincide com a equação de Hamilton-Jacobi para uma partícula em um potencial V(x), excepto por um termo adicional, que resultaria despreciable no nível macroscópico dada a pequeñez da constante de Planck \hbar.

Referências

  1. ↑ Landau & Lifshitz, p. 178
  2. ↑ Landau & Lifshitz, p. 180

Bibliografía

Enlaces externos

Obtido de http://ks312095.kimsufi.com../../../../articles/a/n/d/Andorra.html"
Your Ad Here