Equação de Helmholtz

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A equação de Helmholtz, nomeada assim por Hermann von Helmholtz vem dada por:

$(\nabla^2 + k^2)\phi = 0$

onde $\nabla^2$ é o laplaciano, $k$ é uma constante (número de onda), e $\phi$ um campo escalar.

Dedução teórica da equação

Vamos mostrar como se deduzem as equações de Helmholtz a partir das equações de Maxwell. Para meios não condutores livres de fontes caracterizados por e $\epsilon$ $\mu (\sigma=0)$ , as equações de Maxwell se reduzem a:

A :. $\vec{\nabla} \times \vec{E} = - \mu \frac{\partial \vec{H}}{ \partial t}$

B : $\vec{\nabla} \times \vec{H} = - \epsilon \frac{\partial \vec{E}}{ \partial t}$

C : $\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 0$

D : $\vec{\nabla} \cdot \vec{H} = 0$

As equações anteriores A ,B,C e D são equações diferenciais de primeiro grau para os campos $\vec{E}$ e $\vec{H}$ . Podemos combiná-las para produzir uma equação de segundo grau contendo unicamente $\vec{E}$ ou $\vec{H}$ . Usamos as equações A e B e operando obtém-se:

$\vec{\nabla} \times \vec{\nabla} \times \vec{E} = - \mu \frac{\partial (\vec{\nabla} \times \vec{H})}{ \partial t} = - \mu \cdot \epsilon \frac{\partial^2 \vec{E}}{ \partial t^2}$

No entanto sabemos que: $\vec{\nabla} \times \vec{\nabla} \times \vec{E} = \vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{E}) - \vec{\nabla^2}\vec{E}$

e usando a equação C temos que:

$\vec{\nabla} \times \vec{\nabla} \times \vec{E} = - \vec{\nabla^2}\vec{E}$

Portanto substituindo os termos temos finálmente que:

$\vec{\nabla^2}\vec{E} - \mu \cdot \epsilon \frac{\partial^2 \vec{E}}{ \partial t^2}$

A velocidade de fase vem dada por:

$v_\mathrm{p} = \frac{\omega}{k}$

o que significa que: $v_\mathrm{p} = \frac {1}{\sqrt{\mu \epsilon}}$

e portanto, substituindo, temos:

$\vec{\nabla^2}\vec{E} - \frac {1}{v_\mathrm{p}^2} \frac{\partial^2 \vec{E}}{ \partial t^2} = 0$

Analogamente podemos sacar a equação para $\vec{H}$ :

$\vec{\nabla^2}\vec{H} - \frac {1}{v_\mathrm{p}^2} \frac{\partial^2 \vec{H}}{ \partial t^2} = 0$

Como podemos apreciar, as duas equações anteriores são as equações de onda vectoriais homogéneas. Decompondo estas duas equações obtidas em coordenadas cartesianas podemos decompo-lo em três equações de ondas escalares, homogéneas e unidimensionales. A cada componente do campo electrico e magnéticos deve satisfazer uma equação cuja solução representa uma onda. Para campos com dependência harmônica com o tempo convenientemente deve-se usar fasores. Desta maneira do deduzido anteiormente, chega-se à conclusão:

$\vec{\nabla^2}\vec{E_\mathrm{s}} + \frac {\omega^2}{v_\mathrm{p}^2} \vec{E_\mathrm{s}} = 0$