Equação de Klein-Gordon

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A equação de Klein-Gordon ou equação K-G deve seu nome a Oskar Klein e Walter Gordon, e é a equação que descreve um campo escalar livre em teoria cuántica de campos.

Conteúdo

1 História
2 Forma da equação
3 A equação K-G em mecânica cuántica
4 A equação K-G em teoria cuántica de campos
- 4.1 Solução geral
5 Veja-se também

História

A equação de Klein-Gordon foi proposta originalmente por Erwin Schrödinger como equação para a função de onda de uma partícula cuántica. No entanto, já que a equação de Klein-Gordon não admitia uma interpretação probabilista adequada entre outros problemas, Schrödinger considerou mais adequado passar a uma versão não relativista da equação que é a que actualmente se conhece como equação de Schrödinger.

Mais tarde a função de onda que aparece na equação de Klein-Gordon seria apropriadamente interpretada como a densidade de um campo bosónico carregado de espín zero. Assim o facto de que a "densidade de probabilidade" fosse negativa era interpretada como uma densidade de ónus negativa e os problemas de interpretação como probabilidades de presença desapareciam, ainda que persistiam outros dos problemas mencionados mais adiante. No entanto, dentro da teoria cuántica de campos a equação de Klein-Gordon sim resultou útil.

Forma da equação

A equação de Klein-Gordon para partículas em um espaço-tempo plano tem a seguinte forma:

(1) $\left [\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 + \frac{m^2c^2}{\hbar^2} \right ] \phi = 0$

Usando o operador D'Alambertiano $\Box ^2$ e o parámetro de massa $\mu\,$ definidos como:

$\Box ^2 = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 = \sum_\nu \partial_\nu \partial^\nu, \qquad \mu = \frac{mc}{\hbar}$

A equação pode escrever-se escreve-se de maneira mais compacta e manifestamente covariante:

(2) $\left [\Box ^2 + \mu^2 \right ] \phi = 0$

Note-se que se se escolhe a métrica com signatura oposta, aparece um signo menos adiante de em $\ \mu$ esta última equação.

Em um espaço-tempo geral a equação de Klein-Gordon pode escrever-se como:

(3) $\left [\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\part}{\part x^\alpha}\left(\sqrt{-g}\ g^{\alpha\beta} \frac{\part \phi}{\part x^\beta} \right) \right]+ \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\phi = 0$

Onde:

$g^{\alpha\beta}\,$ , são as componentes contravariantes do tensor métrico.

$\sqrt{-g}$ , é a raiz quadrada do determinante mudado de signo.

A equação K-G em mecânica cuántica

Inicialmente a equação KG introduziu-se em mecânica cuántica com a pretensão de renderizar a equação de movimento para uma partícula cuántica e relativista. Deste modo, deduze-se a equação escrevendo a energia que tem uma partícula relativista e utilizando a forma dos operadores Hamiltoniano e momento em mecânica cuántica:

$E^2 = \mathbf{p}^2 c^2 + m^2 c^4= \left [i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \right ] ^2 \quad \quad , \quad \mathbf{p}=-i\hbar \nabla$

Existe vários problemas se tratamos de interpretar a variável dinâmica $\phi\,$ como uma função de onda, já que aparecem várias incongruencias como:

O que a energia não esteja dimensionada inferiormente, o que daria lugar a partículas instáveis. Este problema de interpretação que também o apresentava a equação de Dirac, até que se apresentou a interpretação das energias negativas como antipartículas.
A densidade de probabilidade associada a esta função de onda não é definida positiva, pelo que o quadrado do módulo do campo de Klein-Gordon, a diferença do que sucede com uma função de onda ordinária não pode ser interpretado como uma probabilidade. A "densidade" conservada na evolução temporária é:

$\rho = \frac{i\hbar e}{2mc^2} \left(\phi^*\frac{\part \phi}{\part t} - \phi\frac{\part \phi^*}{\part t} \right)$

Que pode ser negativa, pelo que não admitia uma interpretação em termos de probabilidades positivas. Essa última foi a razão do abandono da equação de Klein-Gordon como equação viável dentro da mecânica cuántica para descrever partículas cuánticas relativistas.

Ainda que a equação de Klein-Gordon prediz correctamente o desdoblamiento observado dos níveis energéticos dos átomos hidrogenoides 2s e 2p, conseguindo-se um melhor lembro cualitativo o acordo cuantitativo não é bom. O cálculo mediante a equação de Klein-Gordon prediz que os níveis energéticos $E_{nl}\,$ do átomo hidrogenoide são:

$E_{nl} = -\frac{R\hbar Z^2}{n^2} \left[1+ \frac{\alpha^2Z^2}{n^2} \left(\frac{n}{l+\frac{1}{2}} -\frac{3}{4} \right)+ \dots \right]$

O primeiro termo da expressão anterior coincde com o predito pela equação de Schrödinger, mas o segundo é umas três vezes maiores que o valor observado, e correctamente predito pela equação de Dirac.

Finalmente, a equação de Klein-Gordon também não tem em conta adequadamente o spin de certas partículas, pelo que não podia representar adequadamente partículas como os elétrons que têm espín 1/2.

A equação K-G em teoria cuántica de campos

Em teoria cuántica de campos o objecto fundamental não é a função de onda senão o próprio estado físico do vazio ou espaço tempo. Os campos físicos e as partículas materiais concebem-se neste enfoque como operadores autoadjuntos definidos sobre o conjunto de estados do espaço tempo. A presença de campo em uma determinada região do espaço tempo comporta que nele existe um operador autoadjunto associado campo dessa região. Nesse novo enfoque a variável o operador cuántico sócio à variável $\phi\,$ é um campo, que não precisa dar lugar a uma densidade de probabilidade positiva. De facto no formalismo da mecânica cuántica de campos o campo de Klein-Gordon descreve um tipo de campo que tratado mediante a cuantización canónica descreve um campo escalar com ónus eléctrico de spin 0 (bosón), por exemplo, os mesones π podem ser descritos mediante a equação K-G. Para descrever campos de spin 1/2 utiliza-se a equação de Dirac.

A descrição de um campo em teoria cuántica de campos parte de uma verdadeira densidade lagrangiana que a partir do princípio de mínima acção proporciona a equação de movimento que define sua evolução temporária. A densidade de Lagrangiano da que se deriva a equação de Klein-Gordon variando a acção ou mediante as equações de Euler-Lagrange é

$\mathcal{L}=\partial_{\mu}\phi \partial^{\mu}\phi - \mu^2\phi^2$

Onde o campo é real. Neste caso a partícula que surje como excitação deste campo não tem ónus e seu antipartícula é ela mesma. Para descrever uma partícula escalar com ónus, e a seu antipartícula, a densidade lagrangiana toma-se como:

$\mathcal{L}=\partial_{\mu}\phi \partial^{\mu}\phi^* - \mu^2 \phi^*\phi$

Obtém-se então uma equação de Klein-Gordon para $\ \phi$ e outra para seu complexo conjugado $\phi^*\,$ .

Solução geral

Pode-se fazer um desenvolvimento em ondas planas e a solução geral para um campo real de Klein-Gordon é então

$\hat\phi \left ( \mathbf{x} , t \right ) = \int \frac{d^3 \mathbf{p}}{(2 \pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_{\mathbf{p}}}} \left ( \hat{a}_{\mathbf{p}} e^{-\frac{i}{\hbar}E_\mathbf{p}t} e^{\frac{i}{\hbar} \mathbf{p} \mathbf{x}} + \hat{a}_{\mathbf{p}}^{\dagger} e^{\frac{i}{\hbar}E_\mathbf{p}t} e^{-\frac{i}{\hbar} \mathbf{p} \mathbf{x}} \right )$

Estando relacionada a energia com a massa e o trimomento mediante a relação de dispersión

$E_{\mathbf{p}}^2 = \mathbf{p}^2 c^2 + m^2 c^4$

Onde $\hat{a}$ e $\hat{a}^{\dagger}$ são os coeficientes do desenvolvimento, e uma vez efectuada a segunda cuantización se convertem em operadores de criação e destruição das partículas bosónicas do campo, que de facto são formalmente similares aos operadores criação e destruição que intervêm no oscilador harmônico cuántico. É então quando se põe de manifesto o carácter bosónico da equação de Klein-Gordon, e se pode fazer a interpretação do campo $\hat\phi$ como um conjunto de infinitos osciladores harmônicos cuánticos desacoplados.