equação de poisson - Wikilingue - Encydia
Em matemática e física, a equação de Poisson é uma equação em derivadas parciais com uma ampla utilidade em electrostática , engenharia mecânica e física teórica. Seu nome deve-lho ao matemático, geómetra e físico francês Siméon-Denis Poisson.
A equação de Poisson define-se como:
onde 
é o operador laplaciano, e f e φ são funções reais ou complexas. Em um sistema de coordenadas cartesianas tridimensional, toma a forma:
Se f = 0, a equação converte-se na equação de Laplace
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Problema de Poisson
A equação de Poisson junto com as condições de contorno homogéneas, constitui um dos três problemas clássicos relacionados com o operador laplaciano que se detalham a seguir. Concretamente o problema de Poisson é o problema de encontrar uma função definida sobre o domínio Ω que satisfaça:
(1)
Este tipo de problema pode ser resolvido de maneira singela, mediante o método da função de Green, para n > 2:
Problemas de potencial
A equação anterior aparece em problemas electrostáticos e de potencial gravitatorio. Nesses problemas ρ representa a densidade de ónus eléctrica ou bem a densidade de massa. Ademais o constante cn deve ser tomada 1/ε0 para problemas electrostáticos (em SE ), enquanto em problemas de potencial gravitatorio toma-se como cn = 4πG.
Problema de Dirichlet
O problema de Dirichlet é um problema de encontrar uma função harmônica sobre um domínio tal que seja igual a outra função dada sobre o contorno do domínio:(2)
Em electrostática o problema de Dirichlet corresponde-se com o problema de encontrar o campo dentro de uma cavidade metálica "conectada a terra" (potencial constante) de forma Ω dentro da qual há uma distribuição de ónus dada por ρ.
Relação com o problema de Poisson
Existe um médio para reduzir o problema de Dirichlet a um problema de Poisson. Se 
é uma função de classe C1 sobre a fronteira do domínio e 
é uma extensão de f a todo o domínio Ω que seja de classe C2, isto é:
Então a solução do problema de Dirichlet () vem dada por uma função soma da extensão anterior e outra função que é solução de um problema de Poisson como ():
Problema de Von Neumann
O problema de Von Neumann é similar ao anterior mas em lugar de fixar o valor da função incógnita sobre a fronteira, fixa o valor da derivada perpendicularmente à superfície.
(3)
