Equação de movimento

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Em física , uma equação de movimento é uma equação diferencial que caracteriza como é a evolução temporária de um sistema físico. Esta equação relaciona a derivada temporária de uma ou várias variáveis que caracterizam o estado físico do sistema, com outras magnitudes físicas que provocam a mudança no sistema.

Conteúdo

1 Equações de movimento em mecânica clássica
2 Equações de movimento em teoria da relatividad
- 2.1 Equações de movimento de partículas
- 2.2 Equações de movimento em teoria clássica de campos
3 Equações de movimento em mecânica cuántica

Equações de movimento em mecânica clássica

Historicamente o primeiro exemplo de equação do movimento que se introduziu em física foi a segunda lei de Newton para sistemas físicos compostos de agregados partículas materiais pontuas. Nestes sistemas o estado físico de um sistema ficava fixado pela posição e velocidade de todas as partículas em um instante dado. Para finais do século XVIII introduziu-se a mecânica analítica ou racional, que era uma generalização das leis de Newton aplicáveis em pé de igualdade a sistemas de referência inerciales e não inerciales, e se criaram dois enfoques basicamente equivalentes conhecidos como mecânica lagrangiana e mecânica hamiltoniana, que podem chegar a um elevado grau de abstracção e formalización. Os exemplos clássicos de equação do movimento mais conhecidos são:

A segunda lei de Newton que se usa em mecânica newtoniana: $m\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} - \mathbf{F} = 0$
As equações de Euler-Lagrange que aparecem em mecânica lagrangiana: $\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L(q_i,\dot{q}_i)}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L(q_i,\dot{q}_i)}{\partial q_i} = 0$
As equações de Hamilton que aparecem em mecânica hamiltoniana: $\frac{dq_i}{dt} = \frac{\partial H(p_i,q_i)}{\partial p_i} \qquad \frac{dp_i}{dt} = -\frac{\partial H(p_i,q_i)}{\partial q_i}$

Equações de movimento em teoria da relatividad

Na teoria da relatividad existem dois tipos de entidades físicas, as partículas e os campos. Ainda que em última instância, tal como estabelece a teoria cuántica de campos, as partículas são campos materiais altamente localizados, em teoria da relatividad se podem tratar as partículas como entes físicos localizados no espaço-tempo. A distinção entre estes tipos de entidades físicas faz que em teoria da relatividad existam dois tipos de equações de movimento:

As equações de movimento das partículas materiais, que são a generalização relativista das equações da mecânica clássica.
As equações de movimento" ou evolução temporária dos campos físicos.

Equações de movimento de partículas

O análogo da primeira lei de Newton em teoria da teoria da relatividad postula que quando sobre as partículas não actua nenhuma força estas se movem ao longo das geodésicas do espaço tempo, isto é, sobre as linhas mais "rectas" possíveis ou de curvatura mínima. Quando sobre as partículas actua alguma força, a equação do movimento em termos de tempo próprio da partícula, os símbolos de Christoffel dependentes da curvatura do espaço tempo, e a força total sobre a partícula vem dada por:

$m \frac{\partial^2 x^k}{\partial \tau^2} + m\sum_{i,j=0}^3 \Gamma_{ij}^k \frac{\partial x^i}{\partial \tau} \frac{\partial x^j}{\partial \tau} = F^k$

Para uma partícula movendo-se através de um espaço-tempo plano ( $\Gamma_{ij}^k = 0$ ), com velocidade pequena com respeito à da luz ( $\tau \approx t$ ) a anterior equação reduz-se à segunda lei de Newton.

Equações de movimento em teoria clássica de campos

Os sistemas físicos formados por um conjunto de partículas interectuantes da mecânica clássica e os sistemas físicos de partículas relativistas sem interacção, são sistemas com um número finito de graus de liberdade, cujas equações de movimento vêm dadas por equações diferenciais ordinárias como todos os exemplos anteriores. No entanto, os campos físicos além de evolução temporária ou variação no tempo, apresentam variação no espaço. Essa característica faz que os campos físicos se considerem informalmente como sistemas com um número infinito de graus de liberdade. As particularidades dos campos fazem que suas equações de movimento" ou evolução temporária vingam dadas por equações em derivadas parciais em lugar de equações diferenciais ordinárias.

O campo físico mais importante no contexto da teoria da Relatividad Especial é o campo electromagnético, cujas equações de evolução temporária vêm dadas pelas equações de Maxwell. Estas equações podem escrever-se de diversas maneiras e de diversas anotações, ainda que no contexto da teoria da relatividad convém escrevê-las em forma explicitamente covariante em termos do tensor campo electromagnético $F^{\alpha\beta}$ . Nessa forma, as equações reduzem-se a duas equações da forma (unidades cgs):

${\partial F^{\alpha\beta} \over {\partial x^{\alpha}}} = {4 \pi \over c }J^{\beta} \qquad {\partial F_{\alpha\beta} \over \partial x^\gamma} + {\partial F_{\gamma\alpha} \over \partial x^\beta} + {\partial F_{\beta\gamma} \over \partial x^\alpha} = \epsilon_{\mu\beta\gamma}g^{\alpha\mu}{\partial F^{\beta\gamma} \over \partial x^\alpha} = 0$

Onde se usou o convênio de sumación de Einstein, $J^\beta$ são as componentes do cuadrivector densidade de corrente. Nessas equações aparecem as coordendas $(x^0, x^1, x^2, x^3) = (ct, x, y, z)$ (onde c é a velocidade da luz, t o tempo, e (x,e,z) são as coordenadas cartesinas convencionais do espaço tridimensional. Assim a evolução no tempo do campo electromagnético, se nos fixamos em um ponto concreto do espaço vem medida pelas derivadas com respeito à coordenada x<seu>0</soube> = ct.

No contexto da teoria geral da relatividad aparece um problema adicional. A própria geometria do espaço tempo vem representada por um campo tensorial chamado tensor métrico. O próprio campo gravitatorio é uma manifestação de que a geometria do espaço tempo não é plana ou euclídea. O campo gravitatorio de facto é proporcional à curvatura do espaço tempo. As equações de evolução voltam a ser equações diferenciais em derivadas parciais:

$R_{\alpha\beta} - {g_{\alpha\beta} R \over 2} + \Lambda g_{\alpha\beta} = 8 \pi {G \over c^4} T_{\alpha\beta}$

$R_{\alpha\beta} = {R^\rho}_{\alpha\rho\beta} = \partial_\rho\Gamma^\rho_{\beta\alpha} - \partial_\beta\Gamma^\rho_{\rho\alpha} + \Gamma^\rho_{\rho\lambda}\Gamma^\lambda_{\beta\alpha} - \Gamma^\rho_{\beta\lambda}\Gamma^\lambda_{\rho\alpha}$

$\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}=\frac{1}{2}g^{\gamma\mu} \left(\frac{\partial g_{\mu\alpha}}{\partial x^\beta} + \frac{\partial g_{\mu\beta}}{\partial x^\alpha} - \frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial x^\mu} \right)$

onde reaparecem os símbolos de Christoffel que apareciam na equação do movimento das partículas. A diferença das equações do campo electromagnético, estas equações do campo gravitatorio ou geometria do espaço tempo são equações não lineares devido à presença de termos que são o produto de dois Γ. Isto faz que as equações de Einstein do campo gravitatorio sejam de difícil solução.

Equações de movimento em mecânica cuántica

Em mecânica cuántica existem diversos tipos de equação de movimento para a função de onda segundo o tipo de problema ou sistema cuántico estudado. Os exemplos mais conhecidos de equação do movimento são:

A equação de Schrödinger: $\left[-\frac{\hbar^2}{2 m}\nabla^2 + U(\mathbf{r}) \right] \psi(\mathbf{r},t) = i\hbar \frac{\partial \psi(\mathbf{r},t)}{\partial t}$
A equação de Klein-Gordon: $\left[ \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 + \mu^2 \right] \psi = 0$
A equação de Dirac: $i\hbar \frac{d\psi}{dt} = \left[ c \sum_{i=1}^3 \alpha_i p_i + \alpha_0 mc^2 \right] \psi$