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Equação de onda

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A equação de onda é uma importante equação diferencial parcial linear de segunda ordem que descreve a propagación de uma variedade de ondas, como as ondas sonoras, as ondas de luz e as ondas na água. É importante em vários campos como a acústica, o electromagnetismo e a dinâmica de fluídos. Historicamente, o problema de uma sensata vibrante como as que estão nos instrumentos musicais foi estudado por Jean lhe Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, Joseph-Louis Lagrange e Hans-Teia.

Um pulso que viaja através de uma sensata com seus extremos fixos é modelado pela equação de onda.
As ondas esféricas provem de uma fonte pontual.

Conteúdo

Introdução

A equação de onda é o exemplo protótipo de uma equação diferencial parcial hiperbólica. Em sua forma mais elementar, a equação de onda faz referência a um escalar ou que satisfaz:

{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \Delta u,

Onde \Delta = \nabla^2 é o laplaciano e onde c é uma constante equivalente à velocidade de propagación da onda. Para uma onda sonora no ar a 20 °C, esta constante é de cerca de 343 m/s (veja-se velocidade do som). Para uma sensata vibrante, a velocidade pode variar muito dependendo da densidade linear da sensata e sua tensão. Para um resorte de torque (um slinky) pode ser tão lento como um metro por segundo.

Um modelo mais realista da equação diferencial para ondas permite que a velocidade de propagación da onda varie com a frequência da onda, a este fenómeno se lhe conhece como dispersión. Neste caso, c deverá ser remplazado pela velocidade de fase:

v_\mathrm{p} = \frac{\omega}{k}.

Outra correcção comum em sistemas realistas é que a velocidade pode depender também da amplitude da onda, o que nos leva a uma equação de onda não linear:

{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c(u)^2 \Delta u

Também há que considerar que uma onda pode ser transmitida em um portador móvel (Por exemplo a propagación do som no fluxo de um gás). Em tal caso o escalar ou conterá um Número Mach (o qual é positivo para a onda que se mova ao longo do fluxo e negativo para a onda refletida).

A equação de onda elástica em três dimensões descreve a propagación de onda em um médio elástico homogéneo isótropo. A maioria dos materiais sólidos são elásticos, pelo que essa equação descreve fenómenos tais como ondas sísmicas na Terra e as ondas de ultrasonido usadas para determinar defeitos nos materiais. Ainda que seja linear, esta equação tem uma forma mais complexa que as equações dadas acima, porque deve tomar em conta os movimentos longitudinales e transversais:

\rho{ \ddot{\bold{u}}} = \bold{f} + ( \lambda + 2\mu )\nabla(\nabla \cdot \bold{u}) - \mu\nabla \times (\nabla \times \bold{u})

Onde:

Note que nesta equação, a força e a deslocação são quantidades vectoriais. Esta equação é conhecida às vezes coma a equação de onda vectorial.

Há variações da equação de onda que também podem ser encontradas em mecânica cuántica e relatividad geral.

Equação de onda escalar em um espaço de uma sozinha dimensão

Obtenção da equação de onda

Da lei de Hooke

A equação de onda no caso de uma sozinha dimensão pode ser obtida da Lei de Hooke da seguinte maneira: imagina uma série de pequenos pesos de massa m, interconectados por resortes sem massa de longitude h. Os resortes têm uma rigidez de k:

Array of masses.png

Aqui ou (x) mede da distância em equilíbrio da massa situada em x. As forças exercidas sobre a massa m no lugar x + h são:

F_{\mathit{Newton}}=m \cdot a(t)=m \cdot {{\partial^2 \over \partial t^2}u(x+h,t)}
F_\mathit{Hooke} = F_{x+2h} + F_x = k \left [ {u(x+2h,t) - u(x+h,t)} \right ] + k[u(x,t) - u(x+h,t)]

A equação de movimento para o peso no lugar x+h, obtém-se ao equiparar estas duas forças:

m{\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}= k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]

onde a dependência com o tempo de ou (x) se faz explícita.

Se a série de pesos consiste em N pesos espaçados uniformemente ao longo de L = N h da massa total M =N m, e a rigidez total da série K = k/N podemos escrever a equação anterior como:

{\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}={KL^2 [\over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t)] \over h^2}

Tomando o limite N\rightarrow \infty,h\rightarrow 0 (e supondo que é suave) consegue-se:

{\partial^2 u(x,t) \over \partial t^2}={KL^2 \over M}{ \partial^2 u(x,t) \over \partial x^2 }

(KL2)/M é o quadrado da velocidade de propagación neste caso particular.

Da equação de transporte escalar genérica

Começando com a equação de transporte escalar genérica sem difusão,

\frac{\partial\phi}{\partial t}+\frac{\partial(u\phi)}{\partial x}=S_\phi,

Derivamos com respeito a para t conseguir

\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}+\frac{\partial^2(u\phi)}{\partial x\partial t}=\frac{\partial S_\phi}{\partial t}.

Assumindo que S_\phi e u são constantes, podemos escrever

\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}+u\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial\phi}{\partial t}=0.

Substituindo a derivada com respecto do tempo de obtemos. \phi

\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}+u\frac{\partial}{\partial x}\left[S_\phi-\frac{\partial(u\phi)}{\partial x}\right]=0,

o que dá como resultado a equação de onda,

\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}-u^2\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}=0,

onde u é a velocidade de propagación do escalar \phi o qual, em general, esta em função do tempo e da posição.

Solução do problema de valor inicial

A solução geral da equação de onda escalar unidimensional

{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 { \partial^2 u \over \partial x^2 }

Foi obtida por d'Alembert . A equação de onda pode ser escrita de uma forma factorizada:

\left[ \frac{\part}{\part t} - c\frac{\part}{\part x}\right] \left[ \frac{\part}{\part t} + c\frac{\part}{\part x}\right] u = 0.\,

Portanto, se F e G são funções arbitrárias, qualquer soma da forma

u(x,t) = F(x-ct) + G(x+ct) \,

satisfará a equação de onda. Os dois termos são ondas viajantes: qualquer ponto da forma de onda dada por um argumento específico já seja F ou G mover-se-á com velocidade c já seja para a frente ou para atrás: para a frente para F e para atrás para G, estas funções podem ser determinadas para satisfazer condições iniciais arbitrárias:

u(x,0)=f(x) \,
u_t(x,0)=g(x) \,

O resultado é a Fórmula de d'Alembert:

u(x,t) = \frac{f(x-ct) + f(x+ct)}{2} + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} g(s) ds

No sentido clássico, se \scriptstyle f(x) \in C^k e \scriptstyle g(x) \in C^{k-1} então \scriptstyle u(t,x) \in C^k. No entanto, as formas de onda F e G também podem ser generalizadas, tais como a função delta. Nesse caso, a solução pode ser interpretada como um impulso que viaja para a direita ou para a esquerda.

A equação de onda básica é uma equação diferencial linear a qual estabelece que a amplitude das duas ondas que interactúan é simplesmente a soma das ondas. Isto também significa que o comportamento de uma onda se pode analisar ao dividir a onda em seus componentes. A Transformada de Fourier divide uma onda sinusoidal em seu componentes e é útil para a análise da equação de onda.

A equação de onda escalar em um espaço de três dimensões

A solução do problema de valor inicial para a equação de onda no espaço de três dimensões pode ser obtida da solução para uma onda esférica. Este resultado pode utilizar-se para obter a solução no espaço de duas dimensões.

Ondas esféricas

A equação de onda não se modifica ao rotacionar as coordenadas espaciais, e portanto um pode esperar encontrar soluções que dependam sozinho da distância radial a um ponto dado. Estas soluções deverão cumprir

u_{tt} - c^2 \left( u_{rr} + \frac{2}{r} u_r \right) =0. \,

Esta equação pode ser reescrita como

(ru)_{tt} -c^2 (ru)_{rr}=0; \,

a quantidade ru cumpre com a equação da onda de uma sozinha dimensão. Portanto, há soluções na forma

u(t,r) = \frac{1}{r} F(r-ct) + \frac{1}{r} G(r+ct), \,

onde F e G são funções arbitrárias. A cada termo pode ser interpretado como uma onda esférica que se expande ou contrai a uma velocidade c. Tais ondas são geradas por uma fonte pontual e fazem possível sinais agudos cuja forma só se altera por uma diminuição na amplitude quando r aumenta (se veja a ilustração de uma onda esférica na parte superior direita). Tais ondas só existem em casos de espaços com dimensões ímpares. Felizmente, vivemos em um mundo que tem um espaço de três dimensões, de forma que podemos nos comunicar claramente com ondas acústicas e electromagnéticas.

Solução de um problema de valor inicial general

A equação de onda é linear em ou e mantém-se inalterada nas translações no espaço e o tempo. Portanto, podemos gerar uma grande variedade de soluções ao transladar e assumir ondas esféricas. Façamos que φ(ξ,η,ζ) seja uma função arbitrária de três variáveis independentes, e façamos que a forma de onda esférico F seja uma função delta: isto é, deixemos que F seja um pequeno limite de função contínua cuja integral seja a unidade, mas cujo apoio (a região onde a função é diferente de zero) se reduz à origem. Façamos que uma família de ondas esféricas tenham seu centro em (ξ,η,ζ) e façamos que r seja a distância radial a partir desse ponto. Assim

r^2 = (x-\xi)^2 + (y-\eta)^2 + (z-\zeta)^2. \,

Se ou é uma sobreposição de tais ondas com função de ponderação φ, então

u(t,x,y,z) = \frac{1}{4\pi c} \iiint \varphi(\xi,\eta,\zeta) \frac{\delta(r-ct)}{r} d\xi\,d\eta\,d\zeta; \,

o denominador 4πc é colocado por conveniencia.

Da definição da função delta, ou também se pode escrever como

u(t,x,y,z) = \frac{t}{4\pi} \iint_S \varphi(x +ct\alpha, y +ct\beta, z+ct\gamma) d\omega, \,

onde α, β, e γ são coordenadas na unidade esférica S e ω é o elemento em S . Este resultado tem a interpretação de que ou(t,x) é t vezes o valor médio de φ em uma esfera de rádio ct centrada em x:

u(t,x,y,z) = t M_{ct}[\phi]. \,

Disso se deduze que

u(0,x,y,z) = 0, \quad u_t(0,x,y,z) = \phi(x,y,z). \,

O valor médio é ainda uma função de t , e portanto se

v(t,x,y,z) = \frac{\part}{\part t} \left( t M_{ct}[\psi] \right), \,

então

v(0,x,y,z) = \psi(x,y,z), \quad v_t(0,x,y,z) = 0. \,

Estas fórmulas proporcionam a solução para o problema de valor inicial da equação de onda. Estas mostram que a solução em um ponto dado P, dando (t, x, e, z) só depende da informação na esfera de rádio ct que é intersecada pelo cone de luz desenhado desde P. A solução não depende da informação no interior desta esfera. Por conseguinte, o interior da esfera é uma lagoa para a solução. Este fenómeno é chamado princípio de Huygens. Isto é verdadeiro para números ímpares de dimensões de espaço, onde para uma dimensão a integração é realizada através da fronteira de um intervalo de w.r.t. a medida de Dirac. Isto não se satisfaz em qualquer outro número de dimensões de espaço. O fenómeno das lagoas pesquisou-se amplamente em Atiyah , Bott e Gårding (1970, 1973).

Equação de onda escalar em um espaço de duas dimensões

Em um espaço de duas dimensões, a equação de onda é

u_{tt} = c^2 \left( u_{xx} + u_{yy} \right). \,

Podemos utilizar a teoria tridimensional para resolver este problema se consideramos a ou como uma função de três dimensões que é independente da terceira dimensão. Se

u(0,x,y)=0, \quad u_t(0,x,y) = \phi(x,y), \,

então a fórmula da solução em três dimensões converte-se em

u(t,x,y) = tM_{ct}[\phi] = \frac{t}{4\pi} \iint_S \phi(x + ct\alpha,\, y + ct\beta) d\omega,\,

onde α e β são as duas primeiras coordenadas na unidade esférica, e dω é o elemento de área na esfera. Esta integral pode ser rescrita como uma integral sobre o disco D com centro em (x,e) e rádio ct:

u(t,x,y) = \frac{1}{2\pi c} \iint_D \frac{\phi(x+\xi, y +\eta)}{\sqrt{(ct)^2 - \xi^2 - \eta^2}} d\xi\,d\eta. \,

É evidente que a solução em (t,x,e) dependa não só da informação no cone de luz onde

(x -\xi)^2 + (y - \eta)^2 = c^2 t^2, \,

senão também da informação que está no interior desse cone.

Problemas com fronteiras

No espaço de uma sozinha dimensão

Uma corrente flexível que se estica entre dois pontos x=0 e x=L satisfaz a equação de onda, para t>0 e 0 < x < L. Nos pontos fronteiriços, ou pode satisfazer uma variedade de condições de fronteira. Uma forma geral que é apropriada para aplicações é

-u_x(t,0) + a u(t,0) = 0, \,
u_x(t,L) + b u(t,L) = 0,\,

onde a e b não são negativos. O caso em onde se requer que ou desapareça em um ponto final é no limite desta condição quando os respectivos a ou b se aproximam ao infinito. O método de separação de variáveis consiste na busca de soluções para este problema na forma espacial

u(t,x) = T(t) v(x).\,

Uma consequência é que

\frac{T''}{c^2T} = \frac{v''}{v} = -\lambda. \,

O valor próprio λ deve ser determinado de maneira que exista uma solução não trivial do problema do valor de fronteira

v'' + \lambda v=0, \,
-v'(0) + a v(0) = 0, \quad v'(L) + b v(L)=0.\,

Este é um caso especial do problema geral da teoria de Sturm-Liouville. Se a e b são positivos, os valores próprios são todos positivos e as soluções serão as funções trigonométricas. Uma solução que satisfaz a condição inicial integrable ao quadrado para ou e out pode ser obtida a partir da expansão destas funções na série trigonométricas apropriadas.

Em um espaço de várias dimensões

Uma solução da equação de onda em duas dimensões com uma condição de fronteira de zero deslocação ao longo de toda a borda exterior.

A teoria do valor de fronteira inicial unidimensional pode ampliar a um número arbitrário de dimensões espaciais. Considere um domínio D em um espaço x de m dimensões, com fronteira B. Então a equação de onda será satisfeita se x está em D e t>0. Na fronteira D, a solução ou deverá satisfazer

\frac{\part u}{\part n} + a u =0, \,

onde n é a normal unitária a B que aponta para afora e a é uma função não negativa definida sobre B. O caso em onde ou desaparece em B é um caso limite quando a se acerca ao infinito. As condições iniciais são

u(0,x) = f(x), \quad u_t=g(x), \,

onde f e g são definidos em D . Este problema pode ser solucionado mediante a expansão de f e g nas funções próprias do Laplaciano em D , que cumpram as condições de fronteira. Assim, a função própria v satisfaz

\nabla \cdot \nabla v + \lambda v = 0, \,

em D , e

\frac{\part v}{\part n} + a v =0, \,

em B.

No caso de um espaço de duas dimensões, as funções próprias podem interpretar-se como os modos de vibração de uma membrana estendida sobre a fronteira B. Se B é um círculo, então estas eigenfunciones têm uma componente angular que é uma função trigonométrica do ângulo polar θ, multiplicado por uma função de Bessel (de ordem inteiro) do componente radial. Maiores detalhes encontram-se na equação de Helmholtz.

Se a fronteira é uma esfera em um espaço de três dimensões, as componentes angulares das funções próprias são harmônicos esféricos, e os componentes radiais são funções de Bessel de ordem semientero.

A equação de onda não homogénea em uma dimensão

A equação de onda não homogénea em uma dimensão é a seguinte:

c^2 u_{x x}(x,t) - u_{t t}(x,t) = s(x,t)

com condições iniciais dadas por

u(x,0)=f(x)
u_t(x,0)=g(x).

A função s(x,t) é chamada também a função fonte como na prática descreve os efeitos das fontes de onda no médio que as porta. Exemplos físicos de funções fonte incluem a força motriz de uma onda sobre uma sensata, ou a densidade de ónus ou corrente na condição de Lorenz de electromagnetismo .

Um método para resolver o problema de valor inicial (com os valores iniciais que se propuseram acima) é aproveitar das propriedades da equação de onda cujas soluções a obedecem causalmente. Isto é, para qualquer ponto (x_i,t_i), o valor de só \scriptstyle u(x_i,t_i) depende dos valores de e \scriptstyle f(x_i + c t_i) \scriptstyle f(x_i - c t_i) e os valores da função \scriptstyle g(x) entre \scriptstyle (x_i - c t_i) e \scriptstyle (x_i + c t_i). Isto pode observar na fórmula de Alembert, como se assinalou anteriormente, onde estas quantidades são as únicas que aparecem nela. Fisicamente, se a máxima velocidade de propagación é \scriptstyle c, então nenhuma parte da onda que não possa se propagar a um determinado ponto em um momento dado pode afectar à amplitude no mesmo ponto e tempo.

Em termos de encontrar uma solução, estas propriedades causales dão a entender que para qualquer ponto dado na linha que se está a considerar, a única área que precisa ser considerada é a área que abarque a todos os pontos que poderiam afectar causalmente o ponto que se está a considerar. Designando a área que afecta causalmente no ponto \scriptstyle (x_i,t_i) como \scriptstyle R_C. Suponhamos que integramos a equação de onda não homogénea sobre esta região.

\iint \limits_{R_C} \left ( c^2 u_{x x}(x,t) - u_{t t}(x,t) \right ) dx dt = \iint \limits_{R_C} s(x,t) dx dt.

Para simplificar isto em grande parte, podemos usar o teorema de Green no lado esquerdo e assim obter o seguinte:

\int_{ L_0 + L_1 + L_2 } \left ( - c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right ) = \iint \limits_{R_C} s(x,t) dx dt.

A parte esquerda é agora a soma de três integrales de linha ao longo das fronteiras da região de causalidad. Estas resultam ser bastante fáceis de calcular

\int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} - u_t(x,0) dx = - \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx.

No anterior, o termo a ser integrado com respeito ao tempo desaparece como o intervalo envolvido é zero, assim d t = 0 .

Para os outros dois lados da região, cabe assinalar que \scriptstyle x \pm c t é uma constante, renomeada \scriptstyle x_i \pm c t_i, onde o signo se escolhe adequadamente. Deste modo, podemos obter a relação \scriptstyle dx \pm c dt = 0, escolhendo de novo o signo direito:

\int_{L_1} \left ( - c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right ) \,
= \int_{L_1} \left ( c u_x(x,t) dx + c u_t(x,t) dt \right)\,
= c \int_{L_1} d u(x,t) = c u(x_i,t_i) - c f(x_i + c t_i).\,

E de forma similar para o último segmento de fronteira:

\int_{L_2} \left ( - c^2 u_x(x,t) dt - u_t(x,t) dx \right )
= - \int_{L_2} \left ( c u_x(x,t) dx + c u_t(x,t) dt \right )
= - c \int_{L_2} d u(x,t) = - \left ( c f(x_i - c t_i) - c u(x_i,t_i) \right )
= c u(x_i,t_i) - c f(x_i - c t_i).\,

Somando os três resultados juntos e pondo-os de volta na integral original:

- \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx + c u(x_i,t_i) - c f(x_i + c t_i) + c u(x_i,t_i) - c f(x_i - c t_i) = \iint \limits_{R_C} s(x,t) dx dt
2 c u(x_i,t_i) - \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx - c f(x_i + c t_i) - c f(x_i - c t_i) = \iint \limits_{R_C} s(x,t) dx dt
2 c u(x_i,t_i) = \int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx + c f(x_i + c t_i) + c f(x_i - c t_i) + \iint \limits_{R_C} s(x,t) dx dt
u(x_i,t_i) = \frac{f(x_i + c t_i) + f(x_i - c t_i)}{2} + \frac{1}{2 c}\int^{x_i + c t_i}_{x_i - c t_i} g(x) dx + \frac{1}{2 c}\int^{t_i}_0 \int^{x_i + c \left ( t_i - t \right )}_{x_i - c \left ( t_i - t \right )} s(x,t) dx dt. \,

Na última equação da sequência, as fronteiras da integral sobre a função fonte fizeram-se explícitas. Quanto a esta solução, que é válida para todas as opções (x_i,t_i) compatíveis com a equação de onda, é evidente que os dois primeiros termos são simplesmente a fórmula de Alembert, como se assinalou anteriormente na solução da equação de onda homogénea em uma dimensão. A diferença está no terceiro termo, a integral sobre a fonte.

Outros sistemas de coordenadas

Em três dimensões, a equação de onda, quando é escrita em coordenadas cilíndricas elípticas, pode ser resolvida por separação de variáveis, o que implica à equação diferencial de Mathieu.

Veja-se também

Referências

Enlaces externos

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