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Equação de primeiro grau

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Exemplo gráfico de equações lineares.

Uma equação de primeiro grau ou equação linear é uma proposta de igualdade, envolvendo uma ou mais variáveis à primeira potência, que não contém produtos entre as variáveis, isto é, uma equação que envolve somente somas e restas de uma variável à primeira potência. No sistema cartesiano representam rectas. Uma forma comum de equações lineares é:

 y = m \cdot x + b \;

Onde  m \; representa a pendente e o valor de determina  b \; a ordenada à origem (o ponto onde a recta curta ao eixo e).

As equações nas que aparece o termo  x \cdot y (chamado retangular) não são consideradas lineares.

Alguns exemplos de equações lineares:

 3x + 2y = 10 \,
 3x + y -5 = -7x + 4y +3 \,
 x - y + z = 15 \,
 3x - 2y + z = 20 \,
 x + 4y - 3z = 10 \,

Conteúdo

Formas de equações lineares

Formas complexas como as anteriores podem reescribirse usando as regras do álgebra elementar em formas mais simples. As letras maiúsculas representam constantes, enquanto x e e são variáveis.

Equação geral

Ax + By + C = 0\,
Aqui A e B não são ambos zero. Representa uma linha no cartesiano. É possível encontrar os valores onde x e e se anulam.
\frac{x}{E} + \frac{y}{F} = 1
Aqui E e F não devem ser zero. O gráfico desta equação curta ao eixo X e ao eixo E em E e F respectivamente.
  1. x = Tt + U\,
  2. y = Vt + W\,
Duas equações que devem se cumprir de maneira simultanea, a cada uma no variável t. Pode converter à forma geral despejando t em ambas equações e igualando.
y = F\,
Um caso especial é a forma regular onde  \, A = 0 e  \, B = 1 . O gráfico é uma linha horizontal sem interseção com o eixo X ou (se F = 0) coincidente com o esse eixo.
x = E\,
Outro caso especial da forma geral onde  \, A = 1 e  \, B = 0 . O gráfico é uma linha vertical, interceptando o eixo X em E .
0 = 0\,
Neste caso, todas as variáveis foram canceladas, deixando uma equação que é verdadeira em todos os casos. A forma original (não uma tão trivial como a do exemplo), é chamada identidade. O gráfico é todo o plano cartesiano, já que o satisfaz todo o par de números reais x e e.

Note-se que se a manipulação algébrica leva a uma equação como 1 = 0 então a original é telefonema inconsistente, ou seja que não se cumpre para nenhum par de números x e e. Um exemplo poderia ser:  \, 3 x + 2 =3 x - 5 .

Adicionalmente poderia ter mais de dois variáveis, em equações simultaneas. Para mais informação véa: Sistema linear de equações

Equação linear no espaço n-dimensional

As funções lineares de várias variáveis admitem também interpretações geométricas. Assim uma função linear de dois variáveis da forma

 f(x,y) = a_1 x + a_2 y \,

representa um plano e uma função

f(x_1,x_2,...,x_n) = a_1 x_1 + a_2 x_2 + ... + a_n x_n \,

representa uma hipersuperficie plana de n-1 dimensões em um volume n-dimensional.

Sistemas de equações lineares

Os sistemas de equações lineares expressam várias equações lineares simultaneamente e admitem um tratamento matricial. Para sua resolução deve ter tantas equações como incógnitas e o determinante da matriz tem de ser real e não nulo. Geometricamente correspondem a interseções de linhas em um único ponto (Sistema linear de duas equações com duas incógnitas), planos em uma recta (duas equações lineares de três incógnitas) ou um único ponto (três equações lineares de três incógnitas). Os casos nos que o determinante da matriz é nulo não possuem solução.

Linealidad

Uma função é linear se só se cumpre com a seguinte proposição:

f\, (x + y) = f\, (x) + f\, (y)

f\,(a x) = a f\, (x)


onde a é qualquer escalar. Também se chama a f operador linear

Veja-se também

Função polinomial de grau 1
Equação de segundo grau
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