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Equação diferencial

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Uma equação diferencial é uma equação na que intervêm derivadas de uma ou mais funções. Dependendo do número de variáveis independentes respecto das que se deriva, as equações diferenciais se dividem em:

Conteúdo

Introdução

Alguns exemplos de equações diferenciais são:

À variável dependente também se lhe chama função incógnita (desconhecida). A resolução de equações diferenciais é um tipo de problema matemático que consiste em procurar uma função que cumpra uma determinada equação diferencial. Pode-se levar a cabo mediante um método específico para a equação diferencial em questão ou mediante uma transformada (como, por exemplo, a transformada de Laplace).

Ordem da equação

A ordem da derivada mais alta em uma equação deferencial chama-se ordem da equação

Grau da equação

É a potência da derivada de maior ordem que aparece na equação, desde que a equação este em forma polinomial, de não ser assim se considera que não tem grau.

Equação diferencial linear

Diz-se que uma equação é linear se tem a forma \, a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \dots + a_1(x)y' +a_0(x)y=g(x), isto é:

Exemplos:

Usos

As equações diferenciais são muito utilizadas em todos os ramos da engenharia para a modelagem de fenómenos físicos. Seu uso é comum tanto em ciências aplicadas, como em ciências fundamentais (física, química, biologia) ou matemáticas, como em economia.

\mathbf{Mx}''(t)+ \mathbf{Cx}'(t)+\mathbf{Kx}(t)=\mathbf{P}(t) \,

Onde M é a matriz que descreve a massa da estrutura, C é a matriz que descreve o amortecimento da estrutura, K é a matriz de rigidez que descreve a rigidez da estrutura, x é vetor de deslocações [nodales] da estrutura, P é o vetor de forças (nodales equivalentes), e t indica tempo. Esta é uma equação de segunda ordem como se tem a deslocação x e sua primeira e segunda derivada com respeito ao tempo.

{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 {\partial^2 u \over \partial x^2 },

onde t\, é o tempo e x\, é a coordenada do ponto sobre a sensata. A esta equação chama-se-lhe equação de onda.

Solução de uma equação diferencial

Tipos de soluções

Uma solução de uma equação diferencial é uma função que ao remplazar à função incógnita, na cada caso com as derivações correspondentes, verifica a equação, isto é a converte em uma identidade. Há três tipos de soluções:

  1. Solução geral: uma solução de tipo genérico, expressada com uma ou mais constantes. A solução geral é um faz de curvas. Tem uma ordem de infinitud de acordo a sua quantidade de constantes (uma constante corresponde a uma família simplesmente infinita, dois constantes a uma família duplamente infinita, etc). Em caso que a equação seja linear, a solução geral consegue-se como combinação linear das soluções (tantas como a ordem da equação) da equação homogénea (que resulta de fazer o termo não dependente de nem y(x) de suas derivadas igual a 0) mais uma solução particular da equação completa.
  2. Solução particular: Se fixando qualquer ponto P(X_0,Y_0) por onde deve passar necessariamente a solução da equação diferencial, existe um único valor de C, e portanto da curva integral que satisfaz a equação, este receberá o nome de solução particular da equação no ponto P(X_0,Y_0), que recebe o nome de condição inicial. É um caso particular da solução geral, em onde a constante (ou constantes) recebe um valor específico.
  3. Solução singular: uma função que verifica a equação, mas que não se obtém particularizando a solução geral.

Resolução de algumas equações

Veja-se também

Bibliografía

Enlaces externos

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