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Equação em derivadas parciais

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Em matemáticas uma equação em derivadas parciais (às vezes abreviado como EDP) é uma relação entre uma função ou de várias variáveis independentes x,e,z,t,... e as derivadas parciais de ou respecto dessas variáveis. As equações em derivadas parciais empregam-se na formulación matemática de processos da física e outras ciências que costumam estar distribuídos no espaço e o tempo. Problemas típicos são a propagación do som ou do calor, a electrostática, a electrodinámica, a dinâmica de fluídos, a elasticidade, a mecânica cuántica e muitos outros.

Conteúdo

Introdução

Uma equação em derivadas parciais muito simples pode ser:

\frac{\part u}{\part x}=0\,

onde ou é uma função de x e e. Esta relação implica que os valores de ou (x, e) são completamente independentes de x. Portanto a solução geral desta equação diferencial é:

u(x,y) = f(y),\,

onde f é uma função arbitrária de e . A equação diferencial ordinária (Similar à EDP, mas com funções de uma variável) análoga é

\frac{du}{dx}=0,\,

que tem a seguinte solução

u(x) = c,\,

Onde c é qualquer valor constante (independente de x). Estes dois exemplos ilustram que as soluções gerais das equações diferenciais ordinárias se mantêm com constantes, mas as soluções das equações diferenciais em derivadas parciais geram funções arbitrárias. Uma solução de uma equação em derivadas parciais geralmente não é única; desta forma têm-se que proporcionar condições adicionais de contorno capazes de definir a solução de forma única. Por exemplo, no caso singelo anterior, a função f(y) pode determinar-se se u especifica-se sobre a linha x=0.

Anotação e exemplos

Nas equações em derivadas parciais é muito comum denotar as derivadas parciais empregando sub-índices (Anotação tensorial). Isto é:

u_x = {\part u \over \part x}
u_{xy} = {\part^2 u \over \part y\, \part x} = {\part \over \part y } \left({\part u \over \part x}\right)

Especialmente na física matemática, costuma-se preferir o operador nabla (que em coordenadas cartesianas se escreve como \nabla=(\part_x,\part_y,\part_z) para as derivadas espaciais e um ponto (\dot u) para as derivadas que envolvem o tempo, por exemplo para escrever a Equação de onda (se veja mais abaixo) como

\ddot u=c^2\Delta u \, (anotação matemática)
\ddot u=c^2\nabla^2u \, (anotação física)

Solução geral e solução completa

Toda a equação em derivadas parciais de primeira ordem possui uma solução dependente de uma função arbitrária, que se denomina usualmente solução geral da EDP. Em muitas aplicações físicas esta solução geral é menos importante que as chamadas soluções completas.

Uma solução completa é uma solução particular da EDP que contém tantas constantes arbitrárias independentes como variáveis independentes intervêm na equação. Por exemplo a integração das equações do movimento de um sistema mecânico mediante o método baseado na equação de Hamilton-Jacobi requer uma integral completa, enquanto a solução geral resulta menos interessante desde o ponto de vista físico.

Existência e unicidad

Ainda que o assunto da existência e unicidad das soluções das equações diferenciais ordinárias tem uma resposta muito satisfatória resumida no teorema de Picard-Lindelöf, o mesmo assunto para as equações em derivadas parciais está longe de estar satisfatoriamente resolvido. Ainda que existe um teorema geral, o teorema de Cauchy-Kovalevskaya, que afirma que para uma EDP que é analítica na função incógnita e suas derivadas tem uma única solução analítica. Ainda que este resultado que parece estabelecer a existência e unicidad das soluções, existem exemplos de EDP de primeira ordem cujos coeficientes têm derivadas de qualquer ordem (ainda que sem ser analíticas) mas que não têm solução.[1] Inclusive se a solução de uma EDP existe e é única, esta pode ter propriedades indeseables.

Um exemplo de comportamento patológico é a sequência de problemas de Cauchy dependentes do parámetro n para a equação de Laplace:

\frac{\part^2 u}{\partial x^2} + \frac{\part^2 u}{\partial y^2}=0,\,

com condições inciales

u(x,0) = 0, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}(x,0) = \frac{\sin n x}{n},\,

Onde n é um inteiro. A derivada de ou com respeito a e aproxima-se a 0 uniformemente em x à medida que n incrementa-se, mas a solução é:

u(x,y) = \frac{(\sinh ny)(\sin nx)}{n^2}.\,

Esta solução aproxima-se a infinito se nx não é um inteiro múltiplo de π para qualquer valor de e . O problema de Cauchy para a equação de Laplace denomina-se mau proposto ou não bem definido, já que a solução não depende continuamente dos dados do problema. Estes problemas mau definidos não são usualmente satisfatórios para as aplicações físicas.

Classificação das EDP de segunda ordem

As EDP de segunda ordem classificam-se habitualmente dentro de quatro tipos de EDP que são de interesse fundamental, a seguir se dão exemplos destes quatro tipos:

Equação Nome Tipo
\nabla^2 u = 0 Laplace Elíptica
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u Onda Hiperbólica
\frac{\partial u}{\partial t} = k \nabla^2 u Difusão Parabólicas
\nabla^2 u = ku Helmholtz Elíptica

Com maior generalidad, se tem-se uma equação de segunda ordem do tipo:

Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + Du_{x} + Eu_{y} + F = 0 \quad

EDP de ordem superior

Conquanto as EDP de segunda ordem regem uma imensa quantidade de fenómenos físicos, outra quantidade não tão grande é regida por EDP de ordens superiores, como exemplos podemos citar:

\frac{\partial^4 w}{\partial x^4}+2\frac{\partial^4 w}{\partial x^2 \partial y^2} + \frac{\partial^4 w}{\partial y^2}=\frac{q(x,y)}{D}
\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left[ EI\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} \right] + \rho A \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = p(x,t)

Referências

  1. ↑ Lewy, 1957.

Bibliografía

Enlaces externos

Veja-se também

Obtido de http://ks312095.kimsufi.com../../../../articles/a/n/d/Andorra.html"
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