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Equações de Maxwell

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As quatro equações de Maxwell descrevem todos os fenómenos electromagnéticos, aqui se mostra a indução magnética por médio de uma corrente eléctrica.

As equações de Maxwell são um conjunto de quatro equações que descrevem por completo os fenómenos electromagnéticos. A grande contribuição de James Clerk Maxwell foi reunir nestas equações longos anos de resultados experimentales, devidos a Coulomb , Gauss, Ampere, Faraday e outros, introduzindo os conceitos de campo e corrente de deslocação, e unificando os campos eléctricos e magnéticos em um sozinho conceito: o campo electromagnético.[1]

Conteúdo

Desenvolvimento histórico das equações de Maxwell

Retrato de Maxwell .
Veja-se também: Electromagnetismo


O aspecto mais importante do trabalho de Maxwell no electromagnetismo é o termo que introduziu na lei de Ampère; a derivada temporária de um campo eléctrico, conhecido como corrente de deslocação. O trabalho que Maxwell publicou em 1865, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, modificava a versão da lei de Ampère com o que se predizia a existência de ondas electromagnéticas se propagando, dependendo do médio material, à velocidade da luz em dito médio. Desta forma Maxwell identificou a luz como uma onda electromagnética, unificando assim a óptica com o electromagnetismo.[2]

Excetuando a modificação à lei de Ampère, nenhuma das outras equações era original. O que fez Maxwell foi reobtener ditas equações a partir de modelos mecânicos e hidrodinâmicos usando seu modelo de vórtices de linhas de força de Faraday.

Em 1884, Oliver Heaviside junto com Willard Gibbs agrupou estas equações e reformulou-as na anotação vectorial actual. No entanto, é importante conhecer que ao fazer isso, Heaviside usou derivadas parciais temporais, diferentes às derivadas totais usadas por Maxwell, na equação (54). Isso provocou que se perdesse o termo v x B que aparecia na equação posterior do trabalho de Maxwell (número 77). Na actualidade, este termo usa-se como complementar a estas equações e se conhece como força de Lorentz.

A história é ainda confusa, como o termo equações de Maxwell se usa também para um conjunto de oito equações na publicação de Maxwell de 1865, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, e esta confusão se deve a que seis das oito equações são escritas como três equações para a cada eixo de coordenadas, assim se pode um confundir ao encontrar vinte equações com vinte incógnitas. Os dois tipos de equações são quase equivalentes, apesar do termo eliminado por Heaviside nas actuais quatro equações.

Detalhe das equações

Lei de Gauss

Artigo principal: Lei de Gauss
Arquivo:LeyGauss1.jpg
Fluxo eléctrico de um ónus pontual em uma superfície fechada.

A lei de Gauss explica a relação entre o fluxo do campo eléctrico e uma superfície fechada. Define-se como fluxo eléctrico (\ \Phi) à quantidade de fluído eléctrico que atravessa uma superfície dada. Análogo ao fluxo da mecânica de fluídos, este fluído eléctrico não transporta matéria, mas ajuda a analisar a quantidade de campo eléctrico (\vec{E}) que passa por uma superfície.[3] Matematicamente expressa-lha como:

\Phi = \oint_S \vec{E}_{(r)} \cdot d \vec{s}

A lei diz que o fluxo do campo eléctrico através de uma superfície fechada tanto faz ao cociente entre o ónus (q) ou a soma do ónus que há no interior da superfície e a permitividad eléctrica no vazio (\epsilon_0), assim:[4] [5]

\oint_{S} \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac {q}{\epsilon_0}

A forma diferencial da lei de Gauss é

\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}

onde \rho é a densidade de ónus. Esta expressão é para um ónus no vazio, para casos gerais deve-se introduzir uma quantidade chamada densidade de fluxo eléctrico (\vec{D}) e nossa expressão obtém a forma:

\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho

Lei de Gauss para o campo magnético

Artigos principais: Lei de Gauss e Monopolo magnético
Erro ao criar miniatura:
As linhas de campo magnético começam e terminam no mesmo lugar, pelo que não existe um monopolo magnético.

Experimentalmente chegou-se ao resultado de que os campos magnéticos, a diferença dos eléctricos, não começam e terminam em ónus diferentes. Esta lei primordialmente indica que as linhas dos campos magnéticos devem ser fechadas. Em outras palavras, diz-se que sobre uma superfície fechada, seja qual seja esta, não seremos capazes de encerrar uma fonte ou sumidero de campo, isto expressa a não existência do monopolo magnético.[6] Matematicamente isto se expressa assim:[5]

\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0

onde \vec{B} é a densidade de fluxo magnético, também chamada indução magnética.

Sua forma integral equivalente:

\oint_S \vec{B} \cdot d\vec{S} = 0

Como na forma integral do campo eléctrico, esta equação só funciona se a integral está definida em uma superfície fechada.


Lei de Faraday-Lenz

Artigo principal: Lei de Faraday

A lei de Faraday fala-nos sobre a indução electromagnética, a que origina uma força electromotriz em um campo magnético. Esta lei é muitas vezes chamada como lei de Faraday-Lenz, como Heinrich Lenz descobriu esta indução de maneira separada a Faraday mas quase simultânea.[7] O primeiro que se deve introduzir é a força electromotriz (\mathcal{E}), se temos um campo magnético variável com o tempo, uma força electromotriz é induzida em qualquer circuito eléctrico; e esta força tanto faz a menos a derivada temporária do fluxo magnético, assim:[8]

\mathcal{E} = - \frac{d \phi_B}{d t},

como o campo magnético é dependente da posição temos que o fluxo magnético tanto faz a:

\phi_B = \int_{S} \vec{B} \cdot d\vec{S}.

Ademais, o que exista força electromotriz indica que existe um campo eléctrico que se representa como:

\mathcal{E} = \oint \vec{E} \cdot d\vec{l}

com o que finalmente se obtém a expressão da lei de Faraday:[5]

\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \ { d \over dt } \int_{S} \vec{B} \cdot d\vec{S}

O que indica que um campo magnético que depende do tempo implica a existência de um campo eléctrico, do que sua circulação por um caminho arbitrário fechado tanto faz a menos a derivada temporária do fluxo magnético em qualquer superfície limitada pelo caminho fechado.

A forma diferencial desta equação é:

\vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

Esta equação relaciona os campos eléctrico e magnético, mas tem também muitas outras aplicações práticas. Esta equação descreve como os motores eléctricos e os geradores eléctricos funcionam. Mais precisamente, demonstra que um voltaje pode ser gerado variando o fluxo magnético que atravessa uma superfície dada.

Lei de Ampère generalizada

Artigo principal: Lei de Ampère generalizada

Ampère formulou uma relação para um campo magnético imóvel e uma corrente eléctrica que não varia no tempo. A lei de Ampère diz-nos que a circulação em um campo magnético (\vec{B}) ao longo de uma curva fechada C tanto faz à densidade de corrente (\vec{\jmath}) sobre a superfície encerrada no curvo C, matematicamente assim:[5]

\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \int_S \vec{\jmath} \cdot d\vec{S}

onde \ \mu_0 é a permeabilidad magnética no vazio.

Mas quando esta relação lha considera com campos que sim variam através do tempo chega a cálculos erróneos, como o de violar a conservação do ónus.[9] Maxwell corrigiu esta equação para conseguir adaptá-la a campos não estacionários e posteriormente pôde ser comprovada experimentalmente. Maxwell reformulou esta lei assim:[5]

\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \int_S \vec{\jmath} \cdot d\vec{S} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d}{dt} \int_S \vec{E} \cdot d\vec{S}

No caso específico estacionário esta relação corresponde à lei de Ampère, ademais confirma que um campo eléctrico que varia com o tempo produz um campo magnético e ademais é consequente com o princípio de conservação do ónus.[9]

Em forma diferencial, esta equação toma a forma:

\vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_0 \vec{\jmath} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

Em meios materiais

Para o caso de que o ónus estejam em meios materiais, e assumindo que estes são lineares, homogéneos, isótropos e não dispersivos, podemos encontrar uma relação entre os vetores intensidade e indução através de duas parámetros conhecidos como permitividad eléctrica e a permeabilidad magnética:[10]

\vec{D} = \varepsilon \vec{E} = \varepsilon_0 \varepsilon_r \vec{E}
\vec{B} = \mu \vec{H} = \mu_0 \mu_r \vec{H}

Mas estes valores também dependem do médio material, pelo que se diz que um médio é linear quando a relação entre E/D e B/H é linear. Se esta relação é linear, matematicamente pode-se dizer que \varepsilon e \mu estão representadas por uma matriz 3x3. Se um médio é isótropo é porque esta matriz tem podido ser diagonalizada e consequentemente é equivalente a uma função \varepsilon(x,y,z); se nesta diagonal um dos elementos é diferente ao outro se diz que é um médio anisótropo. Estes elementos também são chamados constantes dieléctricas e, quando estas constantes não dependem de sua posição, o médio é homogéneo.[11]

O valor de e \varepsilon \mu em meios lineares não dependem das intensidades do campo. Por outro lado, a permitividad e a permeabilidad são escalares quando o ónus estão em meios homogéneos e isótropos. Os meios heterogéneos e isótropos dependem das coordenadas da cada ponto pelo que os valores, escalares, vão depender da posição. Os meios anisótropos são tensores.[10] Finalmente, no vazio tanto \ \rho como \vec{\jmath} são zero porque supomos que não há fontes.

Na seguinte tabela encontramos às equações como lhas formula no vazio e na forma mas geral.[12]

No vazio Caso geral
\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho
\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0
\vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\part{\vec{B}}}{\part{t}} \vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\part{\vec{B}}}{\part{t}}
\vec{\nabla} \times \vec{B} = \varepsilon_0 \mu_0 \frac{\part{\vec{E}}}{\part{t}} \vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{\jmath} + \frac{\part{\vec{D}}}{\part{t}}

Equações de Maxwell

As equações de Maxwell como agora as conhecemos são as quatro citadas anteriormente e a maneira de resumem se podem encontrar na seguinte tabela:

Nome Forma diferencial Forma integral
Lei de Gauss: \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \oint_{S} \vec{E} \cdot d\vec{s} = \frac {q}{\epsilon_0}
Lei de Gauss para o campo magnético: \vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 \oint_S \vec{B} \cdot d\vec{s} = 0
Lei de Faraday: \vec{\nabla} \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \oint_C \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \ { d \over dt } \int_{S} \vec{B} \cdot d\vec{s}
Lei de Ampère generalizada: \vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu_0 \vec{\jmath} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \int_S \vec{\jmath} \cdot d\vec{s} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d}{dt} \int_S \vec{E} \cdot d\vec{s}

Estas quatro equações junto com a força de Lorentz são as que explicam qualquer tipo de fenómeno electromagnético. Uma fortaleza das equações de Maxwell é que permanecem invariantes em qualquer sistema de unidades, salvo de pequenas excepções, e que são compatíveis com a relatividad especial e geral. Ademais Maxwell descobriu que a quantidade c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{0} \mu_0}} era simplesmente a velocidade da luz no vazio, pelo que a luz é uma forma de radiación electromagnética. Os valores aceitados actualmente para a velocidade da luz, a permitividad e a permeabilidad magnética resumem-se na seguinte tabela:

Símbolo Nome Valor numérico Unidade de medida SE Tipo
c \ Velocidade da luz no vazio 2.998 \times 10^{8} metros por segundo definido
\ \epsilon_0 Permitividad 8.854 \times 10^{-12} faradios por metro derivado
\ \mu_0 \ Permeabilidad magnética 4 \pi \times 10^{-7} henrios por metro definido

Potencial escalar e potencial vetor

Artigo principal: Potencial vetor magnético

Como consequência matemática das equações de Maxwell e ademais com o objectivo de simplificar seus cálculos se introduziram os conceitos de potencial vetor (\vec{A}) e potencial escalar (\ \Phi). Este potencial vetor não é único e não tem significado físico claro mas se sabe que um elemento infinitesimal de corrente dá lugar a uma contribuição d\vec{A} paralela à corrente.[13] Este potencial obtém-se como consequência da lei de Gauss para o fluxo magnético, já que se conhece que se a divergência de um vetor é zero, esse vetor como consequência define a um rotacional, assim:[14]

\nabla \cdot \vec{B} = \nabla \cdot (\nabla \times \vec{A}) = 0
\Longleftrightarrow \quad \vec{B} = \nabla \times \vec{A}

A partir deste potencial vetor e da lei de Faraday pode definir-se um potencial escalar assim:[12]

\begin{array}{rcl} \nabla \times \vec{E}&=&- \cfrac{\part{\vec{B}}}{\part{t}}\\ \nabla \times \vec{E} + \cfrac{\part}{\part{t}} (\nabla \times \vec{A})&=&0 \\ \nabla \times (\vec{E} + \frac{\part{\vec{A}}}{\part{t}}) &=& 0\\ \Longleftrightarrow \quad - \nabla \Phi &=& \vec{E} + \cfrac{\part{\vec{A}}}{\part{t}} \end{array}

onde o signo menos (-) é por convenção. Estes potenciais são importantes porque possuem uma simetría gauge que nos dá certa liberdade à hora dos escolher.[12] O campo eléctrico em função dos potenciais:

\vec{E} = - \nabla \Phi - \frac{\part{\vec{A}}}{\part{t}}

Achamos que com a introdução destas quantidades as equações de Maxwell ficam reduzidas só a duas, já que, a lei de Gauss para o campo magnético e a lei de Faraday ficam satisfeitas por definição. Assim a lei de Gauss para o campo eléctrico escrita em termos dos potenciais:

- \nabla^2 \Phi - \cfrac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\vec A) =\cfrac{\rho}{\epsilon_0}

e a lei de ampère generalizada

\nabla(\nabla\cdot\vec A)- \nabla^2\vec A=\mu_0\vec j -\mu_0\epsilon_0\frac{\part}{\part t}\left(\nabla\Phi+\frac{\part\vec A}{\part t}\right)

Notese que se passou de um conjunto de quatro equações diferenciais parciais de primeira ordem a sozinho duas equações diferenciais parciais mas de segunda ordem. No entanto, estas equações podem-se simplificar com ajuda de uma adequada eleição do gauge.

Consequências físicas das equações

Princípio de conservação do ónus

Artigo principal: Ónus

As equações de Maxwell levam implícitas o princípio de conservação do ónus. O princípio afirma que o ónus eléctrico não se cria nem se destrói, nem global nem localmente, senão que unicamente se transfere; e que se em uma superfície fechada está a diminuir o ónus contido em seu interior, deve ter um fluxo de corrente neto para o exterior do sistema. Isto é a densidade de ónus \mathbf{\rho} e a densidade de corrente \vec \jmath satisfazem uma equação de continuidade.

A partir da forma diferencial da lei de Ampère tem-se:

\vec\nabla\cdot\left(\vec\nabla\times\vec B\right)=\mu_0\vec\nabla\cdot\vec \jmath+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\left(\vec\nabla\cdot\vec E\right)

que ao substituir a lei de Gauss e tomar em conta que \vec\nabla\cdot\left(\vec\nabla\times\vec A\right)= 0 (para qualquer vetor \vec A), se obtém:

0=\vec\nabla\cdot\vec \jmath+\frac{\partial\rho}{\partial t}

ou bem em forma integral: 0=\oint_S \vec \jmath\cdot d\vec S+\frac{dq}{dt}

Equações originais de Maxwell

No capítulo III da Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, titulado Equações gerais do campo electromagnético", Maxwell formulou oito equações que as nomeou da À o H.[15] Estas equações chegaram a ser conhecidas como "as equações de Maxwell", mas agora este epíteto o recebem as equações que agrupou Heaviside. A versão de Heaviside das equações de Maxwell realmente contém só uma equação das oito originais, a lei de Gauss que no conjunto de oito seria a equação G. Ademais Heaviside fundiu a equação A de Maxwell da corrente total com a lei circuital de Ampère que no trabalho de Maxwell era a equação C. Esta fusão, que Maxwell por si mesmo publicou em seu trabalho On Physical Lines of Force de 1861 modifica a lei circuital de Ampère para incluir a corrente de deslocação de Maxwell.

As oito equações originais de Maxwell podem ser escritas em forma vectorial assim:

Denominação Nome Equação
A Lei de correntes totais \vec{J}_{tot} = \vec{J} + \frac{\partial\vec{D}}{\partial t}
B Definição de vetor potencial magnético \mu \vec{H} = \vec{\nabla} \times \vec{A}
C Lei circuital de Ampère \vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{J}_{tot}
D Força de Lorentz \vec{E} = \mu \vec{v} \times \vec{H} - \frac{\partial\vec{A}}{\partial t}-\nabla \phi
E Equação de electricidade elástica \vec{E} = \frac{1}{\epsilon} \vec{D}
F Lei de Ohm \vec{E} = \frac{1}{\sigma} \vec{J}
G Lei de Gauss \vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho
H Equação de continuidade de ónus \vec{\nabla} \cdot \vec{J} = -\frac{\partial\rho}{\partial t}

onde : \vec{H} é o vetor intensidade de campo magnético (chamado por Maxwell como intensidade magnética), \vec{J} é a densidade de corrente eléctrica e \vec{J}_{tot} é a corrente total incluída a corrente de deslocação, \vec{D} é o campo deslocação (deslocação eléctrica), \ \rho é a densidade de ónus livre (quantidade livre de electricidade), \vec{A} é o vetor potencial magnético (impulso magnético), \vec{E} é o campo eléctrico (força electromotriz (não confundir com a actual definição de força electromotriz)), \ \phi é o potencial eléctrico e \ \sigma é a conductividad eléctrica (resistência específica, agora só resistência).

Maxwell não considerou aos meios materiais em general, esta formulación inicial usa a permitividad e a permeabilidad em meios lineares, isótropos e não dispersos, apesar que também lhas pode usar em meios anisótropos.

Maxwell incluiu o termo \mu \vec{v} \times \vec{H} na expressão da força electromotriz da equação D, que corresponde à força magnética por unidade de ónus em um condutor que se move a uma velocidade \vec{v}. Isto significa que a equação D é outra formulación da força de Lorentz. Esta equação primeiro apareceu como a equação 77 da publicação On Physical Lines of Force de Maxwell, anterior à publicação de Lorentz. Na actualidade esta força de Lorentz não faz parte das equações de Maxwell mas lha considera uma equação adicional fundamental no electromagnetismo.

Expressão das equações em relatividad

Na relatividad especial, as equações de Maxwell no vazio escrevem-se mediante umas relações geométricas, as quais tomam a mesma forma em qualquer sistema de referência inercial. Estas estão escritas em termos de cuadrivectores e tensores contravariantes, que são objectos geométricos definidos em M 4. Estes objectos relacionam-se mediante formas diferenciais em relações geométricas que ao as expressar em componentes dos sistemas coordenados Lorentz proporcionam as equações para o campo electromagnético.

A cuadricorriente \, J^{\alpha} está descrita por uma 1-forma e leva a informação sobre a distribuição de ónus e correntes. Seus componentes são:

\, J^{\alpha} = (c \rho (\mathbf{r},t), \mathbf{J}(\mathbf{r},t))

Que deve cumprir a seguinte relação geométrica para que se cumpra a equação de continuidade.

\, \delta J=0

Escrito em componentes dos sistemas coordenados Lorentz fica:

\partial_\alpha J^\alpha=0

Para pôr em correspondência objectos da mesma faixa, utiliza-se o operador de Laplace-Beltrami ou laplaciana definida como:

\Box=d\delta+\delta d

Podemos pôr em correspondência o cuadrivector densidade de corrente com outro objecto da mesma faixa como é o cuadripotencial, que leva a informação do potencial eléctrico e o potencial vetor magnético.

\nabla^2 A=-\mu _0 J

Ou escrito em coordenadas Lorentz obtemos que:

\partial_\mu \partial^\mu A^\alpha=\mu _0 J^\alpha

Expressão que reproduz as equações de onda para os potenciais electromagnéticos.

A 1-forma A leva a informação sobre os potenciais dos observadores inerciales sendo seus componentes:

A^\alpha = \left(\frac {\Phi}{c},\mathbf{A} \right)

Para obter o objecto geométrico que contém os campos, temos que subir a faixa da mediante o operador diferencial exterior \partial obtendo a 2-forma F campo electromagnético. Em forma geométrica podemos escrever:

\, F=dA

Que expressado para um sistema inercial Lorentz temos que:

F^{\mu \nu}=\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu

Com o que obtemos o tensor de campo electromagnético.

F_{\mu \nu} = \begin{bmatrix} 0 & -\cfrac {E_x}{c} & -\cfrac {E_y}{c} & -\cfrac {E_z}{c} \\ \cfrac {E_x}{c} & 0 & B_z & -B_y \\ \cfrac {E_y}{c} & -B_z & 0 & B_x \\ \cfrac {E_z}{c} & B_y & -B_x & 0 \end{bmatrix}

Primeiro par de equações de Maxwell

As seguintes expressões unem os campos com as fontes, relacionamos a cuadricorriente com o tensor campo electromagnético mediante a forma geométrica:

\, \delta F=\mu _0 J

Ou bem em coordenadas Lorentz:

\partial_\mu F^{\mu \nu}=\mu _0 J^\nu

Obtenção das equações

Para um observable em S partindo de expressão em coordenadas Lorentz podemos obter:

\mu _0 c \rho (\mathbf{r},t)=\part_1 F^{1 0}+\part_2 F^{2 0}+\part_3 F^{3 0} = \frac {1}{c} \left [ \frac{\part E_x}{\part x}+\frac{\part E_y}{\part y}+\frac{\part E_z}{\part z} \right ]

Por tanto:

\nabla \cdot \mathbf{E}= \frac{\rho (\mathbf{r},t)}{c}
\nabla \wedge \mathbf{H}=\mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}

Segundo par de equações de Maxwell

Correspondem às equações homogéneas. Escritas em forma geométrica temos que:

\, \delta * F=0

Que corresponde com a expressão nos sistemas coordenados Lorentz:

\, \partial_\mu * F^{\mu \nu}=0

Onde o tensor \, * F é o tensor dual de F. Obtém-se mediante o operador de Hodge.

Obtenção das equações

\partial_\mu * F^{\mu 0}=\partial_1 * F^{1 0}+\partial_2 * F^{2 0}+\partial_3 * F^{3 0}=\left [ \frac{\part B_x}{\part x}+\frac{\part B_y}{\part y}+\frac{\partial B_z}{\part z} \right ]=0

Por tanto:

\nabla\cdot \mathbf{B}=0
\nabla \wedge \mathbf{E}+ \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=0

A propriedade \, \partial_\alpha * F^{\alpha \beta}=0 reproduz as equações de Maxwell internas, que se pode expressar como \, d\mathbf{F}=0, que se pode escrever nos sistemas coordenados Lorentz como:

\partial_{\gamma} F_{\alpha\beta} + \partial_{\beta} F_{\gamma\alpha} + \partial_{\alpha} F_{\beta\gamma}=0

Podemos resumir o conjunto de expressões que relacionam os objectos que descrevem o campo electromagnético na seguinte tabela. A primeira coluna são as relações geométricas, independentes de qualquer observador; a segunda coluna são as equações descritas mediante um sistema coordenado Lorentz; e a terça é a descrição da relação e a lei que cumpre.

Forma Geométrica Covariante Lorentz Descrição
\, \delta A=0 \, \partial_\mu A^\mu=0 Condição/gauge de Lorenz (*)
\, F=d A F^{\mu \nu}=\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu Definição de Campos Electromagnéticos
\Box A=\mu _0 J \partial_\mu \partial^\mu A^\alpha=\mu _0 J^\alpha Equações de Ondas
\begin{matrix} \delta F=\mu _0 J \\ \delta * F=0 \end{matrix} \begin{matrix} \partial_\mu F^{\mu \nu}=\mu _0 J^\nu \\ \partial_\mu * F^{\mu \nu}=0 \end{matrix} Equações de Maxwell
\, \delta J=0 \partial_\alpha J^\alpha=0 Lei de conservação do Ónus

(*) Existe uma confusão habitual quanto à nomenclatura deste gauge. As primeiras equações nas que aparece tal condição (1867) se devem a Ludvig V. Lorenz, não ao bem mais conhecido Hendrik A. Lorentz. (Veja-se: J.D. Jackson: Classical Electrodynamics, 3rd edition p.294)

Finalmente o cuadrigradiente define-se assim:

{ \partial \over { \partial x^{\alpha} } } \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \partial_{\alpha} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ {}_{,\alpha} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \left(\frac{\partial}{\partial ct}, \nabla\right)

Os índices repetidos somam-se de acordo ao convênio de sumación de Einstein. De acordo com o cálculo tensorial, os índices podem subir-se ou baixar-se por médio da matriz fundamental g.

O primeiro tensor é uma expressão de duas equações de Maxwell, a lei de Gauss e a lei de Ampère generalizada; a segunda equação é consequentemente uma expressão das outras duas leis.

Sugeriu-se que o componente da força de Lorentz \ \vec{v} \times \vec{B} se pode derivar da lei de Coulomb e por isso a relatividad especial assume a invarianza do ónus eléctrico.[16] [17]

Expressão das equações para uma frequência constante

Nas equações de Maxwell, os campos vectoriais não são só funções da posição, em general são funções da posição e do tempo, como por exemplo \vec{H}(x,y,z,t). Para a resolução destas equações em derivadas parciais, as variáveis posicionais encontram-se com o variável temporal. Na prática, a resolução de ditas equações podem conter uma solução harmônica (sinusoidal).

Com ajuda da anotação complexa pode-se evitar a dependência temporária dos resultados harmônicos, eliminando assim o factor complexo da expressão \ e^{j\omega t}. Grande parte das resoluções das equações de Maxwell tomam amplitudes complexas, além de não ser sozinho função da posição. Em lugar da derivação parcial no tempo tem-se a multiplicação do factor imaginario \ j\omega, onde \ \omega é a frequência angular.

Na forma complexa, as equações de Maxwell tomam a seguinte forma:[10]

\vec{\nabla} \cdot \vec {D} = \rho
\vec{\nabla} \cdot \vec {B} = 0
\vec{\nabla} \times \vec{E} = -j\omega \vec {B}
\vec{\nabla} \times \vec {H} = \vec{\jmath} = (\sigma + j \omega \varepsilon) \vec{E}

Veja-se também

Notas e referências

  1. ↑ «Equações de Maxwell» (1999 de agosto). Consultado o 15/1/2008.
  2. ↑ Ángel Franco García: Universidade do País Basco (outubro de 2006). «O espectro electromagnético». Consultado o 15/1/2008.
  3. ↑ «Teorema de Gauss e Fluxo Eléctrico». Consultado o 19/1/2008.
  4. ↑ «Linha de ónus. Lei de Gauss». Consultado o 18/1/2008.
  5. ↑ a b c d e Richard Feynman (1974). Feynman lectures on Physics Volume 2 (em inglês), Addison Wesley Longman. ISBN 0-201-02115-3.
  6. ↑ «Magnetostática». Consultado o 19/1/2008.
  7. ↑ «Conceito de Fluxo». Consultado o 19/1/2008.
  8. ↑ «Lei de Faraday-Henry». Consultado o 19/1/2008.
  9. ↑ a b «Lei de Ampere-Maxwell». Consultado o 20/1/2008.
  10. ↑ a b c Ángel Cardama Aznar (2002). Antenas, UPC. ISBN 84-8301-625-7.
  11. ↑ Liliana I. Perez. «APONTE:Equações de Maxwell». Consultado o 22/1/2008.
  12. ↑ a b c O site de Física (2008). «Equações de Maxwell». Consultado o 23/1/2008.
  13. ↑ «Potencial Vetor Magnético». Consultado o 21/1/2008.
  14. ↑ «Equações do Electromagnetismo». Consultado o 21/1/2008.
  15. ↑ «Professor Clerk Maxwell on the electromagnetic field» (em inglês). Consultado o 21/1/2008.
  16. ↑ L. D. Landau, E. M. Lifshitz (1980). The Classical Theory of Fields (em inglês), Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-2768-9.
  17. ↑ Richard E Haskell (2006). «Special relativity and Maxwell equations» (em inglês). Consultado o 23/1/2008.

Enlaces externos

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