Espaço de Hilbert

espaço de hilbert - Wikilingue - Encydia

Em matemáticas, o conceito de espaço de Hilbert é uma generalização do conceito de espaço euclídeo. Esta generalização permite que noções e técnicas algébricas e geométricas aplicáveis a espaços de dimensão dois e três se estendam a espaços de dimensão arbitrária, incluindo a espaços de dimensão infinita. Exemplos de tais noções e técnicas são a de ângulo entre vetores, ortogonalidad de vetores, o teorema de Pitágoras, projecção ortogonal, distância entre vetores e convergência de uma sucessão. O nome dado a estes espaços é em honra ao matemático David Hilbert quem utilizou-os em seu estudo das equações integrales.

Mais formalmente, define-se como um espaço de produto interior que é completo com respeito à norma vectorial definida pelo produto interior. Os espaços de Hilbert servem para clarificar e para generalizar o conceito de séries de Fourier, certas transformações lineares tais como a transformação de Fourier, e são de importância crucial na formulación matemática da mecânica cuántica.

Os espaços de Hilbert e suas propriedades estuda-se dentro da análise funcional.

Conteúdo

1 Introdução
2 Exemplos
3 Bases ortonormales
4 Operações nos espaços de Hilbert
- 4.1 Soma directa e produto tensorial
- 4.2 Complementos e projecções ortogonais
5 Reflexividad
6 Operadores em espaços de Hilbert
- 6.1 Operadores dimensionados
- 6.2 Operadores não dimensionados
7 Referências

Introdução

Como se explica no artigo dedicado aos espaços de produtointerior , a cada produto <interior .,.> em um espaço vectorial H, que pode ser real ou complexo, dá lugar a uma norma ||.|| que se define como segue:

$\|x\| = \sqrt{\langle x,x \rangle}$

Dizemos que H é um espaço de Hilbert se é completo com respeito a esta norma. Completo neste contexto significa que qualquer sucessão de Cauchy de elementos do espaço converge a um elemento no espaço, no sentido que a norma das diferenças tende a zero. A cada espaço de Hilbert é assim também um espaço de Banach (mas não vice-versa).

Todos os espaços finito-dimensionais com produto interior (tais como o espaço euclídeo com o produto escalar ordinário) são espaços de Hilbert. Isto permite que possamos extrapolar noções desde os espaços de dimensão finita aos espaços de Hilbert de dimensão infinita (por exemplo os espaços de funções). No entanto, os exemplos infinito-dimensionais têm muitos mais usos. Estes usos incluem:

A teoria das representações do grupo unitárias.
A teoria de processos estocásticos quadrado integrables.
A teoria em espaços de Hilbert de equações diferenciais parciais, em particular formulaciones do problema de Dirichlet.
Análise espectral de funções, incluindo teorias de wavelets .
Formulaciones matemáticas da mecânica cuántica.

O produto interior permite que um adopte uma visão "geométrica" e que utilize a linguagem geométrica familiar dos espaços de dimensão finita. De todos os espaços vectoriais topológicos infinito-dimensionais, os espaços de Hilbert são os de "melhor comportamento" e os mais próximos aos espaços finito-dimensionais.

Os elementos de um espaço de Hilbert abstrato às vezes chamam-se "vetores". Nas aplicações, são tipicamente sucessões de números complexos ou de funções. Em mecânica cuántica por exemplo, um conjunto físico é descrito por um espaço complexo de Hilbert que contenha as "funções de ondas" para os estados possíveis do conjunto. Veja-se formulación matemática da mecânica cuántica.

Uma das metas da análise de Fourier é facilitar um método para escrever uma função dada como a soma (possivelmente infinita) de múltiplos de funções baixas dadas. Este problema pode-se estudar de maneira abstrata nos espaços de Hilbert: a cada espaço de Hilbert tem uma base ortonormal, e a cada elemento do espaço de Hilbert pode-se escrever em uma maneira única como soma de múltiplos destes elementos baixos.

Os espaços de Hilbert foram nomeados assim por David Hilbert, que os estudou no contexto das equações integrales. A origem da designação, ainda que é confuso, foi utilizado já por Hermann Weyl em seu famoso livro a teoria de grupos e a mecânica cuántica publicado em 1931. John von Neumann foi quiçá o matemático que mais claramente reconheceu sua importância.

Exemplos

Nos seguintes exemplos, assumiremos que o corpo subjacente de escalares é $\mathbb{C}$ , ainda que as definições são similares ao caso de que o corpo subjacente de escalares seja $\mathbb{R}$ .

Espaços euclideos

O primeiro exemplo, que já tinha sido avançado na secção anterior, o constituem os espaços de dimensão finita com o produto escalar ordinário.

Em outras palavras, $\mathbb{C}$ ⁿ com a definição de produto interior seguinte:

$\langle x, y \rangle = \sum_{k=1}^n \overline{x_k} y_k$

onde a barra sobre um número complexo denota sua conjugação complexa.

Espaços de sucessões

No entanto, bem mais típico é o espaço de Hilbert infinito dimensional.

Se B é um conjunto, definimos $\ell^2(B)$ sobre B, da forma:

$\ell^2(B) =\left\{ x:B \rightarrow \mathbb{C}:\sum_{b \in B} \left|x \left(b\right)\right|^2 < \infty \right\}$

Este espaço converte-se em um espaço de Hilbert com o produto interior

$\langle x, y \rangle = \sum_{b \in B} \overline{x(b)} y(b)$

para todo o x e e $\ell^2(B)$ em .

B não tem por que ser um conjunto contable nesta definição, ainda que se B não é contable, o espaço de Hilbert que resulta não é separable.

Expressado de maneira mais concreta, a cada espaço de Hilbert é isomorfo a um da forma $\ell^2(B)$ para um conjunto adequado B. Se B = N, escreve-se simplesmente $\ell^2$ .

Espaços de Lebesgue

Artigo principal: Espaços L^p

Estes são espaços funcionais sócios a espaços de medida (X, M, μ), onde M é uma σ-álgebra de subconjuntos de X e μ é uma medida contablememte aditiva em M . Seja L² _μ(X) o espaço de funções mensuráveis quadrado-integrables complexo-valorizadas em X, módulo o subespacio dessas funções cuja integral quadrática seja zero, ou equivalentemente igual a zero quase por todas partes. quadrado integrable significa que a integral do quadrado de seu valor absoluto é finita. módulo igualdade quase por todas partes significa que as funções são identificadas se e só se são iguais salvo um conjunto de medida 0.

O produto interior de funcione-las f e g dá-se como:

$\langle f,g\rangle=\int_X \overline{f(t)} g(t) \ d \mu(t)$

Um precisa demonstrar:

Que esta integral tem de facto sentido.
Que o espaço que resulta é completo.

Estes são feitos tecnicamente fáceis. Observe-se que ao usar a integral de Lebesgue se assegura de que o espaço seja completo. Veja espaços L^p para discussão adicional deste exemplo.

Espaços de Sobolev

Artigo principal: Espaço de Sobolev

Os espaços de Sobolev, denotados por são $W^{m,p}(\Omega)\,$ outro exemplo de espaços de Hilbert, que se utilizam muito com frequência no marco das equações em derivadas parciais definidas sobre um verdadeiro domínio $\Omega\,$ . Os espaços de Sobolev generalizam os espaços L^p.

Além dos espaços de Sobolev gerais $W^{m,p}\,$ usam-se certas anotações particulares para certo tipo de espaços:

$H^m(\Omega) = W^{m,2}(\Omega)\,$
$H^m_0(\Omega) = \{f \in H^m(\Omega)|\ f|_{\part\Omega} = 0 \}$

Bases ortonormales

Um conceito importante é o de uma base ortonormal de um espaço de Hilbert H: esta é uma família {e_k}_{k ∈ B} de H 'satisfazendo:

Os elementos estão padrão: A cada elemento da família tem norma 1: ||e_k|| = 1 pára todo o k em B
Os elementos são ortogonais: Dois elementos quaisquer de B são ortogonais, isto quer dizer: <e_k, e_j> = 0 pára todos o k, j em B cumprindo a condição j ≠ k.
Expansão densa: A expansão linear de B é densa em H.

Também utilizamos as expressões sequência ortonormal e conjunto ortonormal. Os exemplos de bases ortonormales incluem:

O conjunto {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} forma uma base ortonormal de R ³
A sequência {f_n: n ∈ Z} com f_n(x) = exp(2πinx) forma uma base ortonormal do espaço complexo L²([0, 1])
A família {e_b: b ∈ B} com e_b(c) = 1 se b = c e 0 em caso contrário, forma uma base ortonormal de l ²(B).

Observe-se que no caso infinito-dimensional, uma base ortonormal não será uma base no sentido do álgebra linear; para distinguir os dois, a última base chama-se uma base de Hamel.

Usando o lema de Zorn, pode-se demonstrar que a cada espaço de Hilbert admite uma base ortonormal; ademais, quaisquer duas bases ortonormales do mesmo espaço têm o mesmo cardinal. Um espaço de Hilbert é separable se e somente se admite uma base ortonormal numerable.

Já que todos os espaços separables infinito-dimensionais de Hilbert são isomorfos, e já que quase todos os espaços de Hilbert usados na física são separables, quando os físicos falam de espaço de Hilbert querem significar o separable.

Se {e_k}_{k ∈ B} é uma base ortonormal de H , então a cada elemento x de H pode-se escrever como:

$x = \sum_{k \in B} \langle e_k , x \rangle e_k$

Inclusive se B não é numerable, só contavelmente muitos termos nesta soma serão diferentes a zero, e a expressão está portanto bem definida. Esta soma também se chama a expansão de Fourier de x.

Se {e_k}_{k ∈ B} é uma base ortonormal de H , então H é isomorfo a l ²(B) no sentido seguinte: existe uma função linear biyectiva Φ : H → l²(B) tal que

$\langle \Phi \left(x\right), \Phi\left(y\right) \rangle = \langle x, y \rangle$

para todo o x e e em H.

Operações nos espaços de Hilbert

Soma directa e produto tensorial

Dado dois (ou mais) espaços de Hilbert, podemos combinar em um espaço maior de Hilbert tomando sua soma directa ou seu produto tensorial. A primeira construção baseia-se na união de conjuntos e a segunda no produto cartesiano.

A soma directa requer que $H_1\cap H_2 = \{0\}$ , e é o mínimo espaço de Hilbert que "contém" à união dos dois conjuntos:

$H_1 \cup H_2 \hookrightarrow H_1 \oplus H_2, \qquad \mbox{dim}(H_1 \oplus H_2) = \mbox{dim}(H_1) + \mbox{dim}(H_2)$

Enquanto o produto tensorial é o mínimo espaço de Hilbert que "contém" ao produto castesiano:

$H_1 \times H_2 \hookrightarrow H_1 \otimes H_2, \qquad \mbox{dim}(H_1 \otimes H_2) = \mbox{dim}(H_1) \cdot \mbox{dim}(H_2)$

Complementos e projecções ortogonais

Se S é um subconjunto do espaço de Hilbert H, definimos o conjunto de vetores ortogonais a S.

$S^\bot = \left\{ x \in H : \langle x, s \rangle = 0\ \forall s \in S \right\}$

$\scriptstyle S^\bot$ é um subespacio fechado de H e forma, por tanto, um espaço de Hilbert. Se V é um subespacio fechado de H , então o $\scriptstyle V^\bot$ chama-se o complemento ortogonal de V . De facto, a cada x em H pode então escrever-se univocamente como x = v + w com v em V e w em . $\scriptstyle V^\bot$ Portanto, H é a soma directa interna de Hilbert de V e $\scriptstyle V^\bot$ . O operador linear P_V : H → H que mapea x a v se chama a projecção ortogonal sobre V.

Teorema. A projecção ortogonal P_V é um operador linear auto-anexo em H com norma ≤ 1 com a propriedade P_V² = P_V. Por outra parte, qualquer operador linear E auto-anexo tal que E² = E é da forma_{P V}, onde V é a faixa de E . Para a cada x em H, P_V(x) é o elemento único v em V que minimiza a distancia ||x - v||.

Isto proporciona a interpretação geométrica de P V(x): é a melhor aproximação a x por um elemento de V .

Reflexividad

Uma propriedade importante de qualquer espaço de Hilbert é seu reflexividad, isto é, seu espaço bidual (dual do dual) é isomorfo ao próprio espaço. De facto, tem-se ainda mais, o próprio espaço dual é isomorfo ao espaço original. Tem-se uma descrição completa e conveniente do espaço dual (o espaço de todas as funções lineares contínuas do espaço H no corpo baseie), que é em si mesmo um espaço de Hilbert. De facto, o teorema de representação de Riesz estabelece que para a cada elemento φ do H ' dual existe um e somente um ou em H tal que

$\phi \left(x\right) = \langle u, x \rangle$

para todo o x em H e a associação φ ↔ ou proporciona um isomorfismo antilineal entre H e H '. Esta correspondência é explodida pela anotação bra-ket popular na física mas que faz franzir o cenho aos matemáticos.

Operadores em espaços de Hilbert

Operadores dimensionados

Para um espaço H de Hilbert , os operadores lineares contínuos A : H → H são de interesse particular. Um tal operador contínuo é dimensionado no sentido que mapea conjuntos dimensionados a conjuntos dimensionados. Isto permite definir sua norma como

$\lVert A \rVert = \sup \left\{\,\lVert Ax \rVert : \lVert x \rVert \leq 1\,\right\}.$

A soma e a composição de dois operadores lineares contínuos são a sua vez contínuas e lineares. Para e em H, a função que envia x a e <, Ax> é linear e contínua, e segundo o teorema de representação de Riesz se pode portanto representar na forma

$\langle A^* y, x \rangle = \langle y, Ax \rangle.$

Isto define outro operador linear contínuo A *: H → H, o adjunto de A .

O conjunto L(H) de todos os operadores lineares contínuos em H, junto com a adição e as operações de composição, a norma e a operação anexo, formas um C^*-álgebra; de facto, este é a origem da motivação e o mais importante exemplo de um C^*-álgebra.

Um elemento A em L(H) chama-se auto-anexo ou hermitiano se A * = A . Estes operadores compartilham muitas propriedades dos números reais e vêem-se às vezes como generalizações deles.

Um elemento Ou de L(H) chama-se unitário se Ou é inversible e seu inverso vem dado por Ou ^*. Isto pode também ser expressar requerendo que <Ux, Uy> = <x, e> para todos o x, e em H. Os operadores unitários formam um grupo baixo composição, que se pode ver como o grupo de automorfismos de H .

Operadores não dimensionados

Em mecânica cuántica, um também considera operadores lineares que não necessariamente são contínuos e que não necessariamente estão definidos em tudo espaço H. Um requer somente que se definam em um subespacio denso de H . É possível definir a operadores não dimensionados auto-adjuntos, e estes desempenham o papel dos observables na formulación matemática da mecânica cuántica.

Exemplos de operadores não dimensionados auto-adjuntos no espaço de Hilbert L²(R) são:

Uma extensão conveniente do operador diferencial

$[A f](x) = - i \frac{d}{dx} f(x), \quad$

onde i é a unidade imaginaria e f é uma função diferenciable de suporte compacto.

O operador de multiplicação por x :

$[B f] (x) = xf(x).\quad$

estes correspondem aos observables por enquanto e posição, respectivamente, expressados em unidades atómicas. Observe que nem A nem B se definem em todo o H, já que no caso de À derivada não precisa existir, e no caso de B a função do produto não precisa ser quadrado-integrable. Em ambos casos, o conjunto de argumentos possíveis formam subespacios densos de L ²(R).

Referências

Dieudonne, Jean Alexandre. Fundamentos de análise moderno. — Barcelona. Buenos Aires : Reverté, 1966 . — 359 p.

Obtido de http://ks312095.kimsufi.com../../../../articles/a/r/t/Encydia-Wikilingue%7EArt%C3%ADculos_solicitados_2358.html"

Your Ad Here

Espaço de Hilbert

Espaço de Hilbert