Espaço de Hilbert equipado

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Em matemáticas]], um espaço de Hilbert equipado (EHE) é uma generalização do espaços de Hilbert que permite unir a teoria de distribuições e os aspectos quadrado-integrables da análise funcional. Tais espaços foram introduzidos para estudar a teoria espectral em sentido amplo e têm ampla aplicação em mecânica cuántica.

Motivação

Já que uma função como:

$x \mapsto e^{ix} \quad$

que é claramente um vector próprio do operador diferencial:

$i\frac{d}{dx}$

na recta real $\mathbb{R}$ , não é de função de quadrado integrable|quadrado integrable]] para a medida de Borel usual em $\mathbb{R}$ . Claramente a função exponencial complexa pertence ao espaço de vectorial complexo $\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R})$ (que não é um espaço de Hilbert) mas não pertence ao espaço de Hilbert $L^2(\mathbb{R})$ (sócio à medida de Borel).

Para poder definir propriedades de ortogonalidad à função exponencial complexa do exemplo anterior, requer-se um marco que exceda os limites estritos da teoria do espaço de Hilbert. Isto foi provisto pelo aparelho de distribuição|distribuições de Schwartz]], e a teoria generalizada da função própria foi desenvolvida nos anos 1950.

Introdução

O conceito do espaço equipado de Hilbert põe esta ideia em marco funcional-analítico abstracto. Formalmente, um espaço equipado de Hilbert consiste no espaço de Hilbert H, junto com um subespacio Φ que leva uma topología mais fina, para a qual a inclusión natural:

$\Phi \subseteq H$

é contínua. Pode-se assumir que esse Φ é denso em H para a norma de Hilbert. Consideramos a inclusión do espaço dual H^* em Φ^*. O último, dual ao Φ em seu topología da função de prova, realiza-se como um espaço de distribuições ou de funções generalizadas de uma verdadeira classe, e os funcionales lineales no subespacio Φ do tipo:

$\phi\mapsto\langle v,\phi\rangle$

para v em H representam-se fielmente como distribuições (porque assumimos Φ denso). Agora aplicando o teorema de representação de Riesz podemos identificar H^* com H. Portanto a definição do espaço equipado de Hilbert é em termos de um sandwich

$\Phi \subseteq H \subseteq \Phi^*.$

Definição formal

EHE em Mecânica cuántica

Em mecânica cuántica o formalismo de espaços de Hilbert equipados permite tratar de um modo similar os estados unidos de partículas e estados livres. Um estado unido corresponde normalmente a uma situação onde uma partícula tem seu movimento restringido a uma região finita do espaço, enquanto em um estado livre, mais pertinentemente não-unido, a partícula pode se mover por todo o espaço.

Um exemplo físico aclara a situação. Se consideramos um átomo de hidrógeno os estados unidos correspondem aos electrones que orbitan ao redor do núcleo e não vão bem mais lá da rádio atómico, neste caso sua energia mecânica total é negativa. Por outro lado um estado livre corresponderia à situação de um electrón com energia positiva acerca-se ao núcleo do átomo interactúa com ele sendo desviado de sua trajectória mas tem suficiente energia como para não ser capturado pelo núcleo continuando assim seu caminho longe do átomo.

Desde um ponto de vista matemático os estados unidos são vectores próprios do Hamiltoniano (sócio a valores do espectro pontual do mesmo). Pelo contrário o espectro contínuo do Hamiltoniano, que corresponderia a estados livres carece de vectores próprios propriamente ditos em um espaço de Hilbert convencional. Se amplia-se o espaço de Hilbert convencional com certos vectores adicionais, então certos estados livres fisicamente razoáveis podem ser tratados como vectores próprios generalizados correspondentes ao espectro contínuo.em:Rigged Hilbert space

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Categoria: Análise matemática