Espaço separable

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Em topologia, um espaço topológico é um espaço separable se inclui um subconjunto denso numerable.

Um espaço de Hilbert é separable se e somente se admite uma base ortonormal numerable.

Conteúdo

1 Espaços de Hilbert separables
2 Exemplos
- 2.1 Espaços separables
- 2.2 Espaços de Hilbert não-separables

Espaços de Hilbert separables

Seja (H,<,>) um espaço de Hilbert separable. Se {e_k}_{k ∈ B} é uma base ortonormal numerable de H , então a cada elemento x de H pode-se escrever como

$x = \sum_{k \in B} \langle e_k , x \rangle e_k$

Esta soma também se chama a expansão de Fourier de x.

Exemplos de espaços de Hilbert são $\mathbb K^n\,$ com $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb K=\mathbb C,$ o espaço das sucessões complexas quadrado-sumables $\ell^2(\mathbb K)$ e o espaço das funções quadrado-integrables no sentido de Lebesgue $L^2(\mathbb R^n).$ Uma grande variedade de espaços de Hilbert que se apresentam na prática são separables e são em particular os espaços $\mathbb K^n$ e $\ell^2(\mathbb K)$ os protótipos principais de espaços de Hilbert, pois todo o espaço de Hilbert separable de dimensão finita $n\,$ é isomorfo a enquanto $\mathbb K^n$ todo o espaço de Hilbert separable de dimensão infinita é isomorfo a .. $\ell^2(\mathbb K)$

Exemplos

Espaços separables

O conjunto dos números reais R com a topologia usual é separable por ser o conjunto dos números racionais Q um subconjunto denso numerable. Em general, o espaço euclídeo Rⁿ é separable por ser Qⁿ denso e numerable pois é o produto de conjuntos numerables.
Igualmente o conjunto dos números complexos C é separable sendo em general, o espaço euclídeo Cⁿ também separable.

Todo o espaço topológico numerable é separable.
O conjunto das funções contínuas no intervalo [0,1] também é separable.

Espaços de Hilbert não-separables

O conjunto de todas as funções reais $f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ , que só são diferentes de zero em um conjunto finito ou contable de pontos S_f tais que:

$\sum_{x\in S_f} |f(x)|^2 < \infty$

Constitui um espaço de Hilbert não separable, dotado do produto escalar entre dois funciones f e g:

$\langle f, g\rangle = \sum_{S_f \cap S_g} \overline{f(x)}g(x)$

Necessariamente estas funções deste espaço de Hibert não são contínuas, já que os espaços normados de funções reais contínuas definidas em são $\mathbb{R}^n$ sempre separables.