Espaço tangente

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O plano que toca à esfera em um sozinho ponto é chamado plano tangente. A cada ponto da esfera tem associado um plano tangente. Para a esfera os pontos antipodales tem planos tangente paralelos.

Em geometria diferencial, espaço tangente é o conjunto associado à cada ponto de uma variedade diferenciable formado por todos os vetores tangentes a dito ponto. É um espaço vectorial da mesma dimensão que a dimensão da variedade.

O conjunto de todos os espaços tangentes, devidamente topologizado, forma o llamdo fibrado tangente. Resulta ser em si mesmo outra variedade de dimensão dupla da dimensão da variedade primeiramente.

Ilustração do espaço tangente $\scriptstyle T_xM$ e um vetor tangente $\scriptstyle v\in T_xM$ obtido utilizando uma curva que passa por um ponto $\scriptstyle x\in M$ .

Definições

Há várias formas de entender este conceito. Primeiro vamos explicar utilizando a gráfica da o lado. Comecemos supondo que temos uma curva $\scriptstyle \gamma$ na variedade M que passa por alguma posição eleita qualquer: $\scriptstyle x\in M$ . Isto é um mapeo $\scriptstyle \gamma\ :\ ]-\varepsilon,\varepsilon[\to M$ diferenciable que satisfaz $\scriptstyle \gamma(0)=x$ e $\scriptstyle \gamma'(0)=v$ . Resulta que o conjunto de todos estes vetores formam o espaço tangente $\scriptstyle T_xM$ de x em M .

Espaço tangente $\R^n$

Se tem-se uma variedade diferencial inmersa em dada $\scriptstyle \R^n$ pela equação $\scriptstyle \mathbf{f}(x_1,x_2,\dots,x_n)=0$ então o espaço tangente em um ponto de dita variedade $\scriptstyle \mathbf{a}=(a_1,a_2,\dots,a_n)\in \mathcal{M}$ vem dado pela equação:

$D\mathbf{f}(\mathbf{a})(\mathbf{x-a}) = 0 \quad \Rightarrow \begin{bmatrix} \part_{x_1}f_1(\mathbf{a}) & \dots & \part_{x_n}f_1(\mathbf{a}) \\ \dots & \dots & \dots \\ \part_{x_1}f_n(\mathbf{a}) & \dots & \part_{x_n}f_n(\mathbf{a}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1-a_1 \\ \dots \\ x_n-a_n \end{bmatrix} = \mathbf{0}$