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Espaço tempo de Minkowski

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Em física matemática, o espaço de Minkowski (ou espaço tempo de Minkowski) é uma variedade lorentziana de quatro dimensões e curvatura nula, usada para descrever os fenómenos físicos no marco da teoria especial da relatividad de Einstein .

No espaço de Minkowski podem distinguir-se três dimensões espaciais ordinárias e uma dimensão temporária adicional, de tal maneira que todas juntas formam uma 4-variedade e assim representar ao espaço tempo.

Conteúdo

Definição

O espaço-tempo de Minkowski é uma variedade lorentziana de curvatura nula e isomorfa a onde \mathcal{M}_0 = (\R^4, \boldsymbol \eta) o tensor métrico pode chegar a escrever em um sistema de coordenadas cartesianas como:

(1) \eta = -dx^0\otimes dx^0 + dx^1\otimes dx^1 + dx^2\otimes dx^2 + dx^3\otimes dx^3

Ou em forma matricial explícita, com respeito à mesma base:

(2) \left( \eta_{\alpha\beta} \right) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

De qualquer jeito é comum renomear às coordenadas em termos das coordenadas espaciais e o tempo usados na mecânica newtoniana isto é: (x^0,x^1,x^2,x^3) \mapsto (ct,x,y,z) com o qual o tensor métrico se escreve simplesmente como:

(3) \eta = -c^2dt\otimes dt + dx\otimes dx + dy\otimes dy + dz\otimes dz

Propriedades

Conteúdo material

O tensor de curvatura de Riemann do espaço tempo de Minkowski é identicamente nulo, razão pela qual se diz que o espaço-tempo é plano. Assim o resto de tensores e escalares de curvatura resultam nulos, sendo também nulo o tensor de Einstein que tanto faz ao conteúdo material. Por tanto, o espaço-tempo de Minkowski representa um universo vazio.

Fisicamente o espaço-tempo de Minkowski pode empregar-se como uma aproximação local do espaço tempo em regiões razoavelmente pequenas e em presença de matéria, sempre que esta não chegue a gravitar por si mesma. Este facto fica recolhido no Princípio de equivalencia.

Geodésicas

Qualquer linha recta constitui uma geodésica, já que o tensor de curvatura anula-se. Tomando coordenadas cartesianas as geodésicas vêm dadas simplesmente por:

(5) \ddot{t} = 0 \qquad \ddot{x} = 0 \qquad \ddot{y} = 0 \qquad \ddot{z} = 0

Que correspondem a linhas rectas:

(6) t(\tau) = t_0 + \frac{\tau}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \quad x(\tau) = x_0 + \frac{v_x\tau}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \quad y(\tau) = y_0 + \frac{v_y\tau}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \quad z(\tau) = z_0 + \frac{v_z\tau}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

Onde:

(v_x,v_y,v_z)\; são as componentes da velocidade de uma partícula.
\tau\,, é o tempo próprio da partícula que viaja segundo a geodésica.

Grupo de isometría

O grupo de isometría do espaço tempo de Minkowski é precisamente o grupo de Poincaré, que admite diversos subgrupos entre eles:

Representação pseudoeuclídea

O espaço-tempo de Minkowski admite um tratamento pseudoeuclídeo, isso significa que baixo a aplicação sobre os complexos dada por:

X = (ct,x,y,z) \mapsto \tilde{X}=(ict,x,y,z)


E tratando as coordenadas resultantes como vetores de um espaço euclídeo de quatro dimensões se reproduzem os resultados geométricos típicos do espaço tempo de Minkowski. Se nessa representação complexa trata-se todo escalar se constrói a partir do produto escalar euclídeo as magnitudes escalares da teoria resultam invariantes. Ademais cumpre-se que:

(7) U^\alpha V_\alpha = \tilde{U}\cdot\tilde{V} \qquad \forall U,V \in T\mathcal{M}_0

É mais todos os cuadrivectores e cuadritensores antisimétricos de segunda ordem admitem uma representação complexa desse tipo, com similares propriedades de invariancia a (4):

Veja-se também

Obtido de http://ks312095.kimsufi.com../../../../articles/a/t/e/Ate%C3%ADsmo.html"
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