Espaço vectorial

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Um espaço vectorial (ou espaço linear) é o objecto básico de estudo no ramo do matemático telefonema álgebra linear. Aos elementos dos espaços vectoriais chama-se-lhes vetores. Sobre os vetores podem realizar-se duas operações: a multiplicação por escalares e a adição (uma associação entre um par de objectos). Estas duas operações têm-se que cingir a um conjunto de axiomas que generalizam as propriedades comuns das tuplas de números reais bem como dos vetores no espaço euclídeo. Um conceito importante é o de dimensão.

Historicamente, as primeiras ideias que conduziram aos espaços vectoriais modernos se remontam ao século XVII: geometria analítica, matrizes e sistemas de equações lineares. A primeira formulación moderna e axiomática deve-se a Giuseppe Peano, no final do século XIX. Os seguintes avanços na teoria de espaços vectoriais provem da análise funcional, principalmente dos espaços de funções. Os problemas de Análise funcional requeriam resolver problemas sobre a convergência. Isto se fez dotando aos espaços vectoriais de uma adequada topologia, permitindo ter em conta questiones de proximidade e continuidade. Estes espaços vectoriais topológicos, em particular os espaços de Banach e os espaços de Hilbert têm uma teoria mais rica e elaborada.

Os espaços vectoriais têm aplicações em outros ramos da matemática, a ciência e a engenharia. Utilizam-se em métodos como as séries de Fourier, que se utiliza nas rotinas modernas de compressão de imagens e som, ou proporcionam o marco para resolver equações em derivadas parciais. Ademais, os espaços vectoriais proporcionam uma forma abstrata livre de coordenadas de tratar com objectos geométricos e físicos, tais como tensores, que a sua vez permitem estudar as propriedades locais de variedades mediante técnicas de linealización.

Conteúdo

1 Definição de espaço vectorial
- 1.1 Observação
2 Definição de subespacio vectorial
- 2.1 Consequências
- 2.2 Primeiro exemplo com demonstração ao detalhe
3 Representação de espaços vectoriais
- 3.1 Notas
- 3.2 Propriedades do espaço vectorial.
4 História
5 Exemplos

Definição de espaço vectorial

Um espaço vectorial sobre um corpo K (como o corpo dos números reais ou os números complexos) é um conjunto V não vazio, dotado de duas aplicações:

$\begin{matrix} Suma\;\;+: & {V \times{} V} & \longrightarrow{} & {V} \\ & {(u,v)} & \mapsto & {u+v} \end{matrix}$ operação interna tal que:

1) tenha a propriedade conmutativa, isto é

$u+v=v+u, \forall{} u,v \in{} V$

2) tenha a propriedade associativa, isto é

$u+(v+w)=(u+v)+w, \forall{} u,v,w \in{} V$

3) tenha elemento neutro 0, isto é

$\exists{}0 \in{} V : u+0=u, \forall{} u \in{} V$

4) tenha elemento oposto, isto é

$\forall{} u \in{} V,\exists{}-u \in{} V : u+(-u)=0$

$\begin{matrix} Producto\;\;\cdot{}: & {K \times{} V} & \longrightarrow{} & {V} \\ & {(a,u)} & \mapsto & {au} \end{matrix}$ operação externa tal que:

a) $a(bu)=(ab)u,\forall{}a,b\in{}K,\forall{} u \in{} V$

b) $\exists{}1 \in{} K,1u=u,\forall{} u \in{} V$

c) $a(u+v)=au+av,\forall{}a\in{}K,\forall{} u,v \in{} V$

d) $(a+b)u=au+bu,\forall{}a,b\in{}K,\forall{} u \in{} V$

Os elementos de K chamam-se escalares.

Os elementos de V chamam-se vetores.

Veja-se também: Vetor (espaço euclídeo)

Observação

Para demonstrar que um conjunto V é um espaço vectorial:

Se soubéssemos que V é um grupo conmutativo ou abeliano respecto a soma já teríamos resolvido 1,2,3 e 4.

Se soubéssemos que o produto é uma acção pela esquerda de V teríamos a e b.

Definição de subespacio vectorial

Seja V um espaço vectorial sobre K e $U \subset V$ não vazio,Ou é um subespacio vectorial de V se:

$\forall u,v \in U, u+v \in U$

$\forall u \in U, \forall k \in K, ku \in U$

Consequências

Ou herda as operações de V como aplicações bem definidas, isto é que não escapam de Ou , e como consequência temos que Ou é um espaço vectorial sobre K.

Primeiro exemplo com demonstração ao detalhe

Queremos ver que $\mathbb{R}^2$ é um espaço vectorial sobre $\mathbb{R}$

Vejamos pois que $\mathbb{R}^2$ joga o papel de V e $\mathbb{R}$ o de K:

Os elementos de são, $V=\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times{}\mathbb{R}$ de forma genérica, pares (x,e) de números reais.

defino a operação ou+v = (x₁,e₁) + (x₂,e₂) := (x₁+x₂,e₁+e₂) = (x₃,e₃) que pertence a V, isto implica que a soma de vetores é interna e bem definida.

1)ou+v = (x₁,e₁) + (x₂,e₂) = (x₁+x₂,e₁+e₂) = (x₂+x₁,e₂+e₁) = (x₂,e₂) + (x₁,e₁) = v+ou, isto é ou+v=v+ou

2)ou+(v+w) = ou + ((x₂,e₂) + (x₃,e₃)) = ou + (x₂+x₃,e₂+e₃) = (x₁,e₁) + ( (x₂+x₃) , (e₂+e₃) ) = (x₁+(x₂+x₃),e₁+(e₂+e₃)) = (x₁+x₂+x₃,e₁+e₂+e₃), agora se veja que (ou+v)+w é o mesmo, isto é ou+(v+w)=(ou+v)+w.

3)ou+(0,0) = (x,e)+(0,0) = (x+0,e+0) = (x,e) = ou, isto é (0,0)=0 zero de V.

4)ou = (x,e), ou+(-x,-e) = (x,e)+(-x,-e) = (x-x,e-e) = (0,0) = 0, isto é -ou:=(-x,-e) em general.

defino a operação au = a(x,e) := (ax,ai) = (x₂,e₂) que pertence a V, isto implica que a multiplicação de escalar por vetor é interna e bem definida.

a) a(bu) = a(b(x,e)) = a(bx,by) = (a(bx),a(by)) = ((ab)x,(ab)e) = (ab)(x,e) = (ab)ou, isto é a(bu)=(ab)ou.

b) 1ou = 1(x,e) = (1x,1e) = (x,e) = ou, isto é 1ou=ou.

c) a(ou+v) = a((x₁,e₁)+(x₂,e₂)) = a(x₁+x₂,e₁+e₂) = (a(x₁+x₂),a(e₁+e₂)) = (ax₁+ax₂,ai₁+ai₂) = (ax₁,ai₁)+(ax₂,ai₂) = au+av, isto é a(ou+v)=au+av.

d) (a+b)ou = (a+b)(x,e) = ((a+b)x,(a+b)e) = (ax+bx,ai+by) = (ax,ai)+(bx,by) = au+bu, isto é (a+b)ou=au+bu.

Fica demonstrado que é espaço vectorial.

Representação de espaços vectoriais

Ainda que há quem não recomenda o uso de pinturas para evitar a confusão de conceitos e a indução ao erro, sem investigação que o corrobore, também é verdadeiro que a memória se estimula com melhores resultados. Para isso vejamos as notas:

Chamaremos vetor a representação visual com o símbolo de seta( um segmento e um triângulo em um extremo).

A rectitude visual de uma seta ou curvatura da mesma, não a faz diferente em símbolo.

O que uma seta feche em si mesma, indica a ausência de efeitos algébricos.

Encadear vetores é unir o extremo que tem um triângulo com o que não.

Examinemos a cada um dos casos que aparecem na definição:

A definição soma de vetores na ordem ou+v produz outro vetor, é como encadear, sempre visualmente, um vetor ou e depois um v. Diremos que ou+v se simplifica como um vetor w.

1) Dizer que ou+v=v+ou, é exigir que as duas sumas simplifiquem no mesmo vetor, em negro. Veja-se que em física os vetores em vermelho simulam a descomposição de forças exercidas pelo vetor negro em um ponto, e se representa com um paralelogramo.

2) Dizer que ou+(v+w)=(ou+v)+w, é exigir que as simplificações de somas de vetores possa ser optativa em qualquer corrente de somas.

180px

3) Dizer que existe um vetor 0 tal que ou+0=ou, equivale a exigir que exista um vetor incapaz efectuar, mediante a soma, modificação alguma a todos os vetores.

4) Dizer que ou+(-ou)=0, é exigir a existência de um elemento, –ou, que somado a ou simplifique no vetor zero.

A definição produto a•ou produz outro vetor; é como modificar o extremo do vetor ou, sempre visualmente, onde encadeariam os seguintes vetores. Escalare-los representam-se com linha de traços a modo, exclusivamente, de indicação. Por um a representação do produto no caso $K = \mathbb{R}$ equivale a modificar, visualmente, o tamanho da imagem do vetor, e ficam sempre superpostos, por outro lado as representações no caso $K = \mathbb{C}$ equivale, além de modificar o tamanho, a rotações.

a)Dizer que a(bu)=(ab)ou, é exigir que os produtos encadeados a(b(ou)) podem se simplificar como um, c=ab, logo (ab)ou fica como cu.

b) Dizer que existe o escalar 1 tal que 1ou=ou, equivale a dizer exista um escalar incapaz de efectuar, mediante produto, modificação alguma a todos os vetores.

c) Dizer que a(ou+v)=au+av, é exigir a propriedade distributiva respecto a soma vectorial.

d) Dizer que (a+b)ou=au+bu, é exigir a propriedade distributiva respecto a soma escalar.

Notas

O que $h_a$ seja homotecia dá conta do axioma 4 do produto por escalares já que é linear.

O que f seja um morfismo de anéis significa que
- $f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b )$ , isto é que $h_{a + b} = h_a + h_b$ , ou seja $(a+b) \vec v = a \vec v + b \vec v$ (axioma 10)
- $f(ab) = f(a)\circ f(b)$ , isto é $h_{ab} = h_a\circ h_b$ , ou seja $(a.b). \vec x = a.(b. \vec x )$ (axioma 7)
- $f(1) = I$ , ou seja $h_1 = I$ , onde 1 é o neutro de $(K, .)$ $I$ e é a identidade, isto é a aplicação $I: \vec x \longrightarrow \vec x$ de V. A identidade é obviamente o neutro de End V. Isto se escreve $1 . \vec v = \vec v$ para cuaquier vetor $\vec v$ . (axioma 8 )

Poder-se-ia acrescentar $f(0) = \vec 0$ , a aplicação nula de V, mas é uma consequência da terceira premisa.

O último ponto ( $f(1)= I$ ) equivale a afirmar que f não é a aplicação nula.

Propriedades do espaço vectorial.

Há uma série de propriedades que se demonstram facilmente a partir dos axiomas do espaço vectorial. Algumas delas se derivam da teoria elementar de grupos, aplicada ao grupo (aditivo) de vetores: por exemplo, o vetor nulo 0 Є V, e o oposto -v de um vetor v são únicos. Outras propriedades podem-se derivar da propriedade distributiva, por exemplo, a multiplicação pelo escalar zero dá o vetor nulo e nenhum outro escalar multiplicado por um vetor dá zero:

Propriedade	Significado
Unicidad do vetor nulo
Unicidad do oposto de um vetor
Produto pelo escalar zero	0 v = 0. O 0 é o único escalar que cumpre esta propriedade.
Produto de um escalar pelo vetor nulo	a 0 = 0
Oposto do produto de um vetor por um escalar	- (a v ) = (-a ) v = a (- v)

História

Os espaços vectoriais derivam-se da geometria afín, através da introdução de coordenadas no plano ou o espaço tridimensional. Ao redor de 1636, os matemáticos franceses Descartes e Fermat fundaram as bases da geometria analítica mediante a vinculação das soluções de uma equação com dois variáveis à determinação de uma curva plana.^[1] Para conseguir uma solução geométrica sem usar coordenadas, Bernhard Bolzano introduziu em 1804 certas operações sobre pontos, linhas e planos, que são predecessores dos vetores.^[2] Este trabalho fez uso do conceito de coordenadas baricéntricas de August Ferdinand Möbius de 1827.^[3] A origem da definição dos vetores é a definição de Giusto Bellavitis de bipoint, que é um segmento orientado, um de cujos extremos é a origem e o outro um objectivo. Os vetores reconsideraram-se com a apresentação dos números complexos de Argand e Hamilton e a criação dos cuaterniones por este último (Hamilton foi ademais o que inventou o nome de vetor).^[4] São elementos de R 2 e R⁴; o tratamento mediante combinações lineares remonta-se a Laguerre em 1867, quem também definiu os sistemas de equações lineares.

Em 1857, Cayley introduziu a anotação matricial, que permite uma harmonização e simplificação das aplicações lineares. Quase ao mesmo tempo, Grassmann estudou o cálculo baricéntrico iniciado por Möbius. Previu conjuntos de objectos abstratos dotados de operações.^[5] Em seu trabalho, os conceitos de independência linear e dimensão, bem como de produto escalar estão presentes. Em realidade o trabalho de Grassmann de 1844 supera o marco dos espaços vectoriais, já que tendo em conta a multiplicação, também, o levou ao que hoje em dia se chamam álgebras. O matemático italiano Peano deu a primeira definição moderna de espaços vectoriais e aplicações lineares em 1888.^[6]

Um desenvolvimento importante dos espaços vectoriais deve-se à construção dos espaços de funções por Henri Lebesgue. Isto mais tarde foi formalizado por Banach em sua tese doctoral de 1920^[7] e por Hilbert . Neste momento, o álgebra e o novo campo da análise funcional começaram a interactuar, em particular com conceitos finque tais como os espaços de funções p-integrables e os espaços de Hilbert. Também neste tempo, os primeiros estudos sobre espaços vectoriais de infinitas dimensões se realizaram.

Exemplos

Espaços de coordenadas e de funções

O primeiro exemplo de um espaço vectorial sobre um corpo K é o próprio corpo, equipado com a soma e multiplicação definida no corpo. Isto se generaliza pelo espaço vectorial conhecido como o espaço de coordenadas representado geralmente como Kⁿ, onde n é um inteiro. Seus elementos são n-tuplas

(a 1, a 2, ..., a n), onde os a i são elementos de K.

As sucessões infinitas de coordenadas, e, mais geralmente, as funções de qualquer conjunto fixo Ω em um corpo K também formam espaços vectoriais, mediante a soma e a multiplicação escalar pontual, isto é, a soma de duas funções de f e g vem dada por

(f + g)(w) = f(w) + g(w)

e de igual modo para a multiplicação. Tais espaços de funções produzem-se em muitas situações geométricas, quando Ω é a recta real, um intervalo, ou algum subconjunto de R n. Muitos conceitos em topologia e análises, tais como continuidade, integrabilidad ou diferenciabilidad têm um bom comportamento com respeito à linealidad, isto é, somas e múltiplos por um escalar de funções que possuam uma determinada propriedade seguirão a tendo. Portanto, o conjunto de tais funções são espaços vectoriais. Estes espaços estudam-se com mais detalhe utilizando os métodos de análise funcional, veja-se mais abaixo. As desigualdades algébricas também produzem espaços vectoriais: o espaço vectorial K[x] formado por funções polinomiais, i.e.

f (x) = r_nxⁿ + r_n−1xⁿ⁻¹ + ... + r₁x + r₀,onde os coeficientes r_n, ..., r₀ encontram-se em K. As séries de potências são similares, salvo que permitem-se infinitos termos.

Equações lineares

Artigos principais: equação linear , equação diferencial linear e Sistemas de equações lineares

Os sistemas de equações lineares homogéneas estão estreitamente vinculados aos espaços vectoriais. Por exemplo, as soluções de

a	+	3b	+	c	= 0
4a	+	2b	+	2c	= 0

vêm dadas por tripletas da forma a , b = a /2,e c = −5a /2para um a arbitrário. Formam um espaço vectorial: as somas e múltiplos dessas tripletas segue cumprindo as equações, pelo que são soluções, também. As matrizes podem-se utilizar para condensar múltiplas equações lineares em uma sozinha equação, com o exemplo anterior,

A x = 0,

onde A é a matriz

$\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \\ 1 & 2\end{bmatrix}$ ,

, x é o vetor (a , b, c), e 0 = (0, 0) é o vetor nulo. De forma similar, as soluções de equações diferenciais lineares homogéneas formam espaços vectoriais. Por exemplo, as soluções da equação

f ''(x) + 2f '(x) + f (x) = 0

são de forma-a f (x) = a · e^−x + bx · e^−x, onde a e b são constantes arbitrárias, e e = 2.718....

Teoria de números algébricos

Uma situação comum na teoria de números algébricos é um corpo K que contém um subcuerpo E. Pelas operações de multiplicação e adição de K, K converte-se em um E-espaço vectorial, isto é, uma extensão de E . Por exemplo, os números complexos são um espaço vectorial sobre R. Outro exemplo é Q(z), o corpo mais pequeno que contém os números racionais e algum número complexo z.

Bases e dimensão

Artigos principais: Base e Dimensão

As bases revelam a estrutura dos espaços vectoriais de uma maneira concisa. Uma base é o menor conjunto (finito ou infinito) B = {v_i}_{i ∈ I} de vetores que geram todo o espaço. Isto significa que qualquer vetor v pode ser expressar como uma soma (chamada combinação linear) de elementos da base

a 1v_i₁ + a 2v_i₂ + ... + a nv_{i_n},

onde os a k são escalares e v_{i_k} (k = 1, ..., n) elementos de baseie-a B. A minimalidad, por outro lado, faz-se formal pelo conceito de independência linear. Um conjunto de vetores diz-se que é linealmente independente se nenhum de seus elementos pode ser expressado como uma combinação linear dos restantes. Equivalentemente, uma equação

a 1v_i₁ + a i_₂v₂ + ... + a nv_{i_n} = 0

só se consegue se todos os escalares a 1, ..., a n são iguais a zero. Por definição a cada vetor pode ser expressar como uma soma finita dos elementos da base. Devido à independência linear este tipo de representação é única. Os espaços vectoriais às vezes introduzem-se desde este ponto de vista.

Todo espaço vectorial tem uma base. Este facto baseia-se no lema de Zorn, uma formulación equivalente do axioma de eleição. Tida conta dos outros axiomas da teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, a existência de bases é equivalente ao axioma de eleição. O ultrafilter lemma, que é mais débil que o axioma de eleição, implica que todas as bases de um espaço vectorial têm o mesmo "tamanho", isto é, cardinalidad. A esta, se lhe chama a dimensão do espaço vectorial, representada por dim V. Se o espaço é gerado por um número finito de vetores, todo o anterior pode se demonstrar sem necessidade de ir à teoria de conjuntos.

A dimensão de um espaço de coordenadas Fⁿ é n, pois qualquer vetor (x₁, x₂, ..., x_n) pode expressar-se de forma única como combinação linear de n vetores (chamados vetores coordenadas) e₁ = (1, 0, ..., 0), e₂ = (0, 1, 0, ..., 0), a e _n = (0, 0, ..., 0, 1), isto é, a soma

x₁e₁ + x₂e₂ + ... + x_ne_n,

A dimensão dos espaços de funções, como por exemplo o espaço de funções definidas em algum intervalo dimensionado ou não, é infinita. Baixo umas adequadas assunções de regularidade dos coeficientes envolvidos, a dimensão do espaço de soluções de uma equação diferencial ordinária homogénea tanto faz ao grau da equação. Por exemplo, a equação anterior tem grau 2. O espaço de soluções está gerado por ^{e x} e xe^x (que são linealmente independentes em R ), pelo que a dimensão deste espaço é dois. O grau de uma extensão como por exemplo Q(z) sobre Q depende de se z é ou não algébrico, i.e. satisfaz uma verdadeira equação polinomial

q_nzⁿ + q_n−1zⁿ⁻¹ + ... + q₀ = 0, com coeficientes racionais q_n, ..., q₀.

Se é algébrico, a dimensão é finita. É mais, tanto faz ao grau do polinômio mínimo do que z é raiz. Por exemplo,o conjunto dos números complexos é um espaço vectorial bidimensional sobre os números reais, gerado por 1 e a unidade imaginaria i. Esta última cumpre i² + 1 = 0, uma equação de grau duas. Se z não é algébrico, a dimensão é infinita. Assim, para z = π não existe dita equação, pois π é trascendente.

Aplicações lineares e matrizes

Artigo principal: Aplicação linear

Como ocorre com muitas entidades algébricas, a relação entre dois espaços vectoriais se expressa pelas aplicações entre eles. No contexto dos espaços vectoriais, o conceito correspondente denomina-se aplicação linear ou transformação linear. Tratam-se de funções f : V → W que são compatíveis com a estrutura relevante, i.e., preservam a soma de vetores e o produto por um escalar:

f(v + w) = f(v) + f(w) e f(a · v) = a · f(v).

Um isomorfismo é aquela aplicação linear f : V → W para a qual existe um inverso g : W → V. Se existe um isomorfismo entre V e W, os dois espaços diz-se que são isomorfos, sendo essencialmente idênticos como espaços vectoriais, já que a qualquer identidades em V lhe corresponde, através de f , outra similar em W , e vice-versa através de g .

Dados dois espaços vectoriais V e W, as aplicações lineares de V em W formam um espaço vectorial representado como Hom_F(V, W) ou como L(V, W).

Uma vez elege-se uma base de V , as aplicações lineares f : V → W estão completamente determinadas pelas imagens dos vetores da base, já que qualquer elemento de V expressa-se de forma única como uma combinação linear destes. Se os dois espaços têm a mesma dimensão pode-se eleger uma biyección entre duas bases fixas de V e W. A aplicação que aplica qualquer elemento da base de V no correspondente elemento da basede W, é, por sua própria definição, um isomorfismo. Logo todo espaço vectorial está completamente determinado (salvo isomorfismos) por sua dimensão, um simples número. Em particular, qualquer espaço vectorial de dimensão n sobre F é isomorfo a ^{F n}.

Matrizes

Artigos principais: Matriz e Determinante

Uma matriz típica.

As matrizes são um conceito útil para representar as aplicações lineares. Escrevem-se como uma tabela retangular de escalares, isto é, elementos de algum corpo K. Qualquer matriz m-por-n A dá lugar a uma aplicação linear de Kⁿ a K ^m, pela seguinte fórmula:

$\mathbf x = (x_1, x_2, ..., x_n) \mapsto \left(\sum_{i=1}^m x_i a_{i1}, \sum_{i=1}^m x_i a_{i2}, ..., \sum_{i=1}^m x_i a_{in} \right)$ ,

ou mediante o produto da matriz A com o vetor de coordenadas x:

x ↦ A x.

Ademais, após a eleição de bases de V e W, qualquer aplicação linear f : V → W representa-se de forma única por uma matriz através desta fórmula.

O volume deste paralelepípedo é o valor absoluto do determinante da matriz 3-por-3 formada pelos vetores r₁, r₂, e r₃.

O determinante det (A )de uma matriz quadrada A é um escalar que nos diz se a correspondente aplicação linear é ou não um isomorfismo: para sê-lo a condição necessária e suficiente é que o determinante não seja zero.

Vetores e valores próprios

Artigo principal: Vetores e valores próprios

Um caso especialmente importante de aplicação linear são os endomorfismos, isto é, aplicações f : V → V. Neste caso, os vetores v podem comparar com suas imagens por f , f(v). Qualquer vetor v satisfazendo f(v) = λ · v, onde λ é um escalar, se diz que é um vetor próprio de f com valor próprio λ.^{[nb 1]} Equivalentemente, v é um elemento do núcleo de diferencia-a f − λ · Vão (a aplicação identidade V → V). No caso finito-dimensional, isto pode ser reformulado utilizando determinantes como: f tem o valor próprio λ sii

det (f − λ · Vão) = 0.

Ao desenvolver o determinante, a expressão do lado esquerdo resulta ser uma função polinomial em λ , chamada polinômio característico de f . Se o corpo F é o suficientemente grande como para conter um zero deste polinômio (que sempre ocorrerá se F é algebraicamente fechado, por exemplo C) a aplicação linear terá ao menos um vetor próprio. O espaço vectorial V pode ou não ter uma base formada por vetores próprios. Este fenómeno rege-se pela forma canónica de Jordan do endomorfismo. O teorema espectral descreve o caso infinito-dimensional; para conseguir este objectivo, são necessários os mecanismos de análise funcional, consulte mais abaixo.

Construções básicas

Além do exposto nos exemplos anteriores, há uma série de construções que nos proporcionam espaços vectoriais a partir de outros. Além das definições concretas que figuram a seguir, também se caracterizam por propriedades universais, que determina um objecto X especificando as aplicações lineares de X a qualquer outro espaço vectorial.

Espaços vectoriais com estrutura adicional

Desde o ponto de vista do álgebra linear, os espaços vectoriais compreendem-se completamente na medida em que qualquer espaço vectorial se caracteriza, salvo isomorfismos, por sua dimensão. No entanto, os espaços vectoriais ad hoc não oferecem um marco para fazer frente à questão fundamental para a análise de se uma sucessão de funções converge a outra função. Assim mesmo, o álgebra linear não está adaptada per se para fazer frente a séries infinitas, já que a soma só permite um número finito de termos para somar. As necessidades da análise funcional requerem considerar novas estruturas.

Espaços vectoriais normados e espaços prehilbertianos

Artigos principais: Espaço vectorial normado e Espaço prehilbertiano

A "medida" de vetores é uma necessidade frequente, já seja especificando uma norma, $||.||$ , que mede as longitudes dos vetores, ou por um produto escalar, <.,.>, que permite medir ademais os ângulos entre os vetores. Em particular cumpre-se a fórmula:

$\langle \mathbf x , \mathbf y \rangle = \cos (\angle(\mathbf x, \mathbf y)) \cdot \| \mathbf x \| \cdot \| \mathbf y \|$

Esta última implica que as longitudes dos vetores se pode definir também, mediante a definição da correspondente norma $\|\mathbf x\| := \sqrt {\langle \mathbf x , \mathbf x \rangle}$ .

Dois vetores x e e satisfazendo que seu produto escalar é zero se diz que são ortogonais.

Os espaços vectoriais dotados destas operações conhecem-se respectivamente como espaços vectoriais normados e espaços prehilbertianos.

Exemplos

Os espaços de coordenadas Kⁿ podem equipar com o produto escalar regular:

<(x₁, x₂, ..., x_n), (e₁, e₂, ..., e_n)> = x · e = x₁e₁ + ... + x_ne_n.

Uma importante variante do produto escalar regular utiliza-se no espaço-tempo de Minkowski, isto é, R⁴ dotado do produto escalar

<x , e> = x₁e₁ + x₂e₂ + x₃e₃ − x₄e₄.

É crucial para o tratamento matemático da relatividad especial, onde a quarta coordenada corresponde ao tempo.

Espaços vectoriais topológicos

Artigo principal: Espaço vectorial topológico

As questões de convergência abordam-se considerando espaços vectoriais V com uma topologia compatibe, isto é, uma estrutura que permite falar de elementos que se encontram próximos uns a outros. Compatível quer dizer que a soma e produto por um escalar devem ser aplicações contínuas, isto é, se x e e são vetores, e a é um escalar, uma pequena variação de x e e produz uma pequena variação de x + e e a x. Se o que varia é o escalar a ,o corpo K deve estar dotado de uma topologia; uma eleição comum são os números reais e os números complexos.

Espaços de Banach

Artigo principal: Espaço de Banach

Espaços de Hilbert

Artigo principal: Espaço de Hilbert

Citas

↑ A nomenclatura deriva do alemão

Referências

Referências históricas

Banach, Stefan (1922). Sur lhes opérations dans lhes ensembles abstraits et leur application aux équations integra-lhes (On operations in abstract sets and their application to integral equations) (vol. 3) (em francês), Fundamenta Mathematicae. ISSN 0016-2736.
Bolzano, Bernard (1804). Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Considerations of some aspects of elementary geometry) (em alemão).
Bourbaki, Nicolas (1969). Éléments d'histoire dês mathématiques (Elements of history of mathematics) (em francês), Paris: Hermann.
Grassmann, Hermann (1844). Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik (em alemão).
Hamilton, William Rowan (1853). Lectures on Quaternions (em inglês), Royal Irish Academy.
Möbius, August Ferdinand (1827). Der Barycentrische Calcul : ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Barycentric calculus: a new utility for an analytic treatment of geometry) (em alemão).
Moore, Gregory H. (1995), «[Expressão errónea: operador < inesperado The axiomatization of linear algebra: 1875–1940]», História Mathematica 22 (3): 262–303, ISSN 0315-0860 -->
Peano, Giuseppe (1888). Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre dei H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva (em italiano), Turin.

Veja-se também

Portal:Matemática. Conteúdo relacionado com Matemática.
Subespacio vectorial
Span linear
Combinação linear
Sistema gerador

Produto tensorial

Referências

↑ Bourbaki, 1969, ch. "Álgabre linéaire et álgebre multilinéaire", pp. 78–91.
↑ Bolzano, 1804.
↑ Möbius, 1827.
↑ Hamilton, 1853.
↑ Grassmann, 1844.
↑ Peano, 1888, ch. IX.
↑ Banach, 1922.

Enlaces externos

Joga com vetores

Obtido de http://ks312095.kimsufi.com../../../../articles/a/t/e/Ate%C3%ADsmo.html"

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