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Forma diferencial

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Em geometria diferencial, é um objecto matemático pertencente a um espaço vectorial que aparece no cálculo multivariable, cálculo tensorial ou em física . Comummente uma forma diferencial pode ser entendida como um operador multilineal antisimétrico definido sobre o espaço vectorial tangente a uma variedade diferenciable. Em um espaço ou variedade de dimensão n, podem definir-se 0-formas, 1-formas, ... e n-formas.

O conceito de forma diferencial é uma generalização sobre ideias prévias como o gradiente, a divergência, o rotacional, etc. Essa generalização e a moderna anotação usada no estudo das formas difenciales deve-se a Élie Cartan.


Conteúdo

0-formas, 1-formas e k-formas

O exemplo não trivial mais singelo de uma forma diferencial o constituem as 1-formas, também chamadas formas pfaffianas. Estas formas são a maneira rigorosa de tratar os diferenciais das funções reais sobre uma variedade (para funções ordinárias a variedade é simplesmente o espaço euclídeo, \mathbb{R}^n). As 1-formas também aparecem em física, assim por exemplo as "diferenciais" das variáveis de estado usadas em termodinámica são de facto 1-formas (ainda que o tratamento informal das mesmas descuida esse facto). Na geometria diferencial ou estudo das variedades diferenciables, as 1-formas actuam como funções lineares reais definidas sobre o espaço vectorial tangente à variedade diferencial que se esteja a considerar. Por conseguinte o conjunto de todas as 1-formas definidas em um ponto da variedade é isomorfo ao espaço dual do espaço vectorial tangente em dito ponto.

Outro exemplo, um tanto trivial são as funções reais definidas sobre uma variedade, que podem ser tratadas formalmente como 0-formas. O nome justifica-se porque existe um operador denominado diferencial exterior, que aplica k-formas em k+1-formas, já que o diferencial exterior de uma função real é 1-forma, se convém em chamar 0-formas aos objectos matemáticos, como as funções reais, cuja diferencial é uma 1-forma. Assim por exemplo as funções de estado da termodinámica, o lagrangiano da mecânica lagrangiana ou o hamiltoniano da mecânica hamiltoniana são de facto 0-formas definidas sobre os respectivos espaços de configuração ou espaços de fases do sistema físico.

Finalmente e usando o maior nível de generalidad definem-se o k-formas. Uma forma de grau k ou k-forma é uma secção diferenciable do k-ésima potência exterior do fibrado cotangente da variedade. Em qualquer ponto P em uma variedade, um k-forma dá uma função multilineal desde a potência cartesiana k-ésima do espaço tangente em P a ℝ.

Algumas definições formais

  1. O conjunto de todas o k-formas definidas no espaço vectorial tangente de um ponto x de uma variedade se chama \Lambda_x^k.
  2. O conjunto de todas as formas diferenciais sobre uma variedade de dimensão n, que resulta ser \Lambda_x = \Lambda_x^0 \oplus \Lambda_x^1 \oplus \dots \oplus \Lambda_x^n , é o álgebra de Grassmann da variedade e é em si mesma um espaço vectorial de dimensão 2n.
  3. Existe um operador, chamado diferencial exterior d: \Lambda_x^{k-1} \to \Lambda_x^{k} \qquad 1 \le k \le n
  4. Um k-forma diferencial \omega \, chama-se fechada se seu diferencial exterior é zero, isto é, d\omega = 0 \,.
  5. Um k-forma diferencial \alpha \, denomina-se exacta se existe outra uma (k-1)-forma \beta \, tal que sua derivada exterior é precisamente \alpha \,, isto é, \alpha = d\beta \,.

Integração das formas

Artigo principal: teorema de Stokes

Em uma variedade diferenciable de dimensão n \ge k pode-se definir o análogo da longitude de uma curva, a área de uma a superfície, o volume, ou em general o k-volume. A cada um dos conceitos métricos anteriores se calcula como a integração de uma forma diferencial sobre um subconjunto da variedade diferenciable. Assim o conceito de longitude está associado com 1-formas, o de área com 2-formas (elemento de área), o de volume com 3-formas (elemento de volume), etc.

Matematicamente, as formas diferenciais de grau k podem integrar-se sobre sobre correntes k dimensionais ou mais geralmente conjuntos de dimensão topológica k. Se k = 0, isto é simplesmente a avaliação de funções nos pontos. Outros valores de k = 1, 2, 3 correspondem às integrales de linha, às integrales superficiais, às integrales de volume, etc. Um resultado muito importante, relacionado com a integração de formas chama-se teorema de Stokes (do qual a regra de Barrow para integrales ou o teorema da divergência são casos particulares).

Operações em formas

O conjunto de todas o k-formas em uma variedade são um espaço vectorial. Ademais, há outras duas operações: produto exterior e derivada exterior. Veja-se cohomología de de Rham para mais detalhes.

A relação fundamental entre a derivada exterior e a integração vem dada pelo teorema de Stokes generalizado, que também proporciona a dualidad entre a cohomología de de Rham e a homología de correntes.

Formas diferenciais em física

Em física o uso de formas diferenciais é comum em várias áreas, por exemplo, a termodinámica e a teoria da relatividad. Em termodinámica a prática comum chamar formas pfaffianas às 1-formas. Lamentavelmente a maioria de manuais recorrem ao uso convencional de ditos objectos de uma forma pouco ou nada rigorosa. Igualmente costuma-se chamar diferenciais exactas às 1-formas exactas

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