Formulación matemática da mecânica cuántica

De Wikipedia, a enciclopedia livre

A formulación matemática rigorosa da mecânica cuántica foi desenvolvida por Paul Adrien Maurice Dirac e John von Neumann. Dita formulación canónica baseia-se em um conjunto em media dúzia de postulados (dependendo da formulaciones). Este artigo apresenta uma enumeración mais ou menos canónica de ditos postulados fundamentais.

Índice

1 Postulado I
2 Postulado II
3 Postulado III
- 3.1 Princípio de incerteza
4 Postulado IV
5 Postulado V
6 Postulado VI
7 Nomenclatura usada
8 Veja-se também
9 Referências

Postulado I

Artigo principal: Notación braket

Todo o estado cuántico]] está representado por uma função vectorial normalizada, chamado em alguns casos "vector de estado", que deve cumprir as propriedades do produto escalar no espaço de Hilbert complexo e separable $ξ$ (espaços compacto com estrutura vectorial e de funções). Fixada uma base do espaço de Hilbert unitaria $\{|ou_n \rangle\}_{n=1}^{N}$ tal que,^[1]

$\left\{ou_n (\vec{r})\in\xi\quad;\quad\left(ou_n,ou_m\right)=\delta_{nm}\quad;\quad \forall\psi (\vec{r})\in\xi\rightarrow\psi (\vec{r})=\sum_{i=1}^{N}{c_i ou_i(\vec{r})}\right\}$

pode-se representar o estado das seguintes formas vectoriais:

Forma ket:

$\text{rep}_{\vec{ou}}\left(| \psi \rangle\right) = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \langle ou_1|\psi\rangle \\ \langle ou_2|\psi\rangle \\ \vdots \end{pmatrix}$

Forma bra:

$\text{rep}_{\vec{ou}}\left( \langle \psi|\right) = \left( c^*_1\ c^*_2\ \cdots\right)=\left( \langle\psi|ou_1 \rangle \ \langle\psi|ou_2 \rangle \ \cdots\right),$

onde a "*" significa Número_complexo#Valor absoluto ou módulo, conjugado e distância|complexo conjugado]].

O estado cuántico normalizado deve cumprir: $\|\psi\|^2=\langle\psi|\psi\rangle=1$ . A eleição do estado normalizado não é única já que $|\psi \rangle$ e $e^{i\theta}|\psi \rangle$ representam o mesmo estado já que a medida de qualquer magnitude neles é idêntica.

Postulado II

Os observables de um sistema estão representados por operadores lineales hermíticos (autoadjuntos). O conjunto de autovaloré (valores próprios) do observable $\mathcal{Ou}$ recebe o nome de espectro de um operador|espectro]] e seus autovectoré (vectores próprios), exactos ou aproximados, definem uma base no espaço de Hilbert.

Na mesma base unitaria $\{|ou_n \rangle\}_{n=1}^{N}$ , os representantes de um observable $\mathcal{Ou}$ definem-se como:

$\text{rep}_{\vec{ou}}\mathcal{Ou}=\left[\begin{array}{ccc} ou_{11} & \dots & ou_{1n} \\ \vdots & ou_{ij} & \vdots \\ ou_{n1} & \dots & ou_{nn} \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc} <u_1|\mathcal{Ou}|ou_1> & \dots & <u_1|\mathcal{Ou}|ou_n> \\ \vdots & <u_i|\mathcal{Ou}|ou_j> & \vdots \\ <u_n|\mathcal{Ou}|ou_1> & \dots & <u_n|\mathcal{Ou}|ou_n> \\ \end{array}\right]$

Em dimensão finita, os autovalores $λ i$ encontram-se diagonalizando o representante do operador: igualando a zero o seguinte determinante: $|\mathcal{Ou} - \lambda \mathbb{I}| =0$ e os autovectores resolvendo o seguinte sistema de n equações: $\mathcal{Ou} ou_i = \lambda_i ou_i \qquad \forall i=1,2, \ldots ,n$

Na prática, o espaço de Hilbert da maioria de sistemas reais é de dimensão infinita e o cálculo de autovalores e autovectores é um problema matemático um pouco mais complicado que o que deve se fazer em dimensão finita.

Postulado III

Quando um sistema está no estado $|\psi\rangle$ , a medida de um observable A dará como resultado o valor próprio a, com uma probabilidade $P_{A| \psi \rangle} = |\langle a | \psi \rangle|^2$ , onde $|a\rangle$ é o vector próprio sócio ao autovalor a (em notación do espaço de Hilbert isto se expressa como $A |a\rangle = a |a\rangle$ ).

Como consequência deste postulado o valor esperado será: $\langle A \rangle_{|\psi \rangle} = \sum_{i} \lambda_i |\langle a_i | \psi \rangle|^2 = \langle \psi | A| \psi \rangle$

Chamaremos desvio típica|dispersión]] ou incerteza à raiz quadrada da varianza. Esta se calcula assim: $\Delta_{|\psi\rangle}A = \sqrt{\langle \psi | A^2| \psi \rangle - \langle \psi | A| \psi \rangle^2}$

Princípio de incerteza

Artigo principal: Princípio de indeterminación de Heisenberg

O produto das dispersiones de duas observables sobre o mesmo estado está acotado.

$\Delta A \Delta B \ge \frac{1}{2} \langle \psi | [A,B]| \psi \rangle$

Para o caso dos observables típicos de posição]] (X) e momento (P_x) temos:

$\Delta X \Delta P_x \ge \frac{\hbar}{2}$

Isto é porque as variables X e P_x são canónicas conjugadas, isto é que o conmutador $[X,P_x]=i \hbar$ .

Postulado IV

Para qualquer estado $|\psi\rangle$ sobre o qual se faz uma medida de A que filtra ao estado $|a_i\rangle$ , passa a se encontrar precisamente nesse estado $|a_i\rangle$ , se não se destruiu durante o processo.

Este é o postulado mais conflictivo da mecânica cuántica já que supõe o colapso instantáneo de nosso conhecimento sobre o sistema ao fazer uma medida filtrante.

Postulado V

A evolução temporária de um sistema rege-se pela equação de Schrödinger:

$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rangle = \mathcal{H} |\psi(t)\rangle$

Onde H é o operador de Hamilton ou hamiltoniano do sistema, que corresponde à energia do sistema.

Postulado VI

O operadoré de posição]] e momento satisfazem as seguintes regras de conmutación:

$[X_i,X_j]=0 \qquad [P_i,P_j]=0 \qquad [X_i,P_j]=i\hbar \delta_{ij}\mathbb{I}$

Nomenclatura usada

$|\psi \rangle \rightarrow$ Estado cuántico
$A \rightarrow$ Observable
$\lambda_i \rightarrow$ Autovalor
$a_i \rightarrow$ Autovector
$\mathbb{I} \rightarrow$ Matriz identidade
$\hbar\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{h}{2\pi} = \,\,\, 1.054\ 571\ 68(18)\times10^{-34}\ \mbox{J}\cdot\mbox{s}$ Constante reduzida de Planck (h-varra)
$[A,B] = AB - BA \rightarrow$ Conmutador