Função de utilidade

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Uma função de utilidade é uma função real que mede a "satisfação" ou "utilidade" obtida por um consumidor quando desfruta via consumo de certa quantidade de bens.

Matematicamente pode demonstrar-se que se é possível renderizar a conduta de um consumidor perfeitamente racional mediante funções de utilidade convexa, então esta conduta pode resumir mediante uma curva de demanda decreciente. Mais singelamente, se existe uma função de utilidade para o consumidor racional e dão-se uns supostos matematicamente razoáveis então existe uma "curva de demanda".

Introdução

Dada uma economia em que um consumidor pode adquirir n mercadorias diferentes (as quais se supõem infinitamente divisibles ou altamente divisibles), a função de utilidade se define como:

$f_U:{\R^+}^n \to \R^+, \quad (Q_1,\dots,Q_n)\mapsto U = f_U(Q_1,\dots,Q_n)$

Onde:

$Q_i\,$ interpreta-se como a quantidade disponível do bem i-ésimo.

$U\,$ interpreta-se como a utilidade total de uma verdadeira combinação de bens.

Algumas propriedades usualmente requeridas são que:

Diferenciabilidad, usualmente supõe-se que a função anterior é não só contínua senão também diferenciable.
Monotonicidad $f_U(Q_1,\dots,Q_i,\dots,Q_n) \le f_U(Q_1,\dots,{Q'}_i,\dots,Q_n)$ se $Q_i \le {Q'}_i$ . Se a função é diferenciable então todas as derivadas parciais serão positivas.
Convexidad, se a função é diferenciable isto implicará que as derivadas parciais segundas não mistas serão negativas.

A condição (1) é mera conveniencia matemática, a condição (2) é importante deve ser satisfeita por toda a função de utilidade, enquanto a condição (3) tem que ver com o princípio de utilidade marginal decreciente.

Preferências do consumidor

A função de utilidade ainda sendo um conceito altamente asbstracto, e aparentemente axiomática, sua existência pode se derivar de supostos ainda mais básicos. Para deduzir a existência de uma função de utilidade se introcuen os seguintes supostos sobre as preferências de qualquer consumidor consumidor:

Completitud. Para qualquer vetor de bens $\scriptstyle \mathbf{q}_1$ e $\scriptstyle \mathbf{q}_2$ o consumidor tem preferência definida, isto é, ou bem $\scriptstyle \mathbf{q}_1 \preceq \mathbf{q}_2$ (prefere $\scriptstyle \mathbf{q}_2$ a ) $\scriptstyle \mathbf{q}_1$ ou bem $\scriptstyle \mathbf{q}_2 \preceq \mathbf{q}_1$ (prefere $\scriptstyle \mathbf{q}_1$ a ).. $\scriptstyle \mathbf{q}_2$
Reflexividad. Para tudo $\scriptstyle \mathbf{q}$ se cumpre que $\scriptstyle \mathbf{q} \preceq \mathbf{q}$ .
Transitividad. Quaisquer $\scriptstyle \mathbf{q}_1$ , $\scriptstyle \mathbf{q}_2$ e $\scriptstyle \mathbf{q}_3$ tais que $\scriptstyle \mathbf{q}_1 \preceq \mathbf{q}_2$ e $\scriptstyle \mathbf{q}_2 \preceq \mathbf{q}_3$ , cumprirão que $\scriptstyle \mathbf{q}_1 \preceq \mathbf{q}_3$ .
Continuidade. Esta condição pode-se expressar de muitas formas uma matematicamente conveniente isto é que os conjuntos $\scriptstyle \{\mathbf{q}| \mathbf{q} \preceq \mathbf{q}_0 \}$ e $\scriptstyle \{\mathbf{q}| \mathbf{q}_0 \preceq \mathbf{q} \}$ são conjuntos fechados.
Monotonicidad forte

Pode provar-se o seguinte teorema:

Dado um consumidor cujas preferências sejam completas, relfexivas, transitivas e monótonas em sentido forte, existe uma função de utilidade contínua $\scriptstyle f_U:\ {\R^+}^n \to \R$ que representa essas preferências.

Referência

Bibliografía

Hal R. Varian (): Análise Microeconómico, 1992, Antoni Bosch Editor, Barcelona, ISBN 84-85855-63-9.

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Categoria: Microeconomía

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