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Função trigonométrica

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As funções trigonométricas, em matemáticas, são relações angulares; guardam relação com o estudo da geometria dos triângulos e são de grande importância em física , astronomia, cartografía, náutica, telecomunicações, a representação de fenómenos periódicos, e outras muitas aplicações.

Todas as funções trigonométricas de um ângulo θ podem ser construídas geometricamente em relação a uma circunferencia de rádio unidade de centro Ou.

Conteúdo

História

Artigo principal: História da trigonometría

O estudo das funções trigonométricas remonta-se à época de Babilonia , e grande parte dos fundamentos de trigonometría foram desenvolvidos pelos matemáticos da Antiga Grécia, da Índia e estudiosos muçulmanos.

O primeiro uso da função seio (sem(·)) aparece no Sulba Sutras escrito na Índia do século VIII ao VI a. C. As funções trigonométricas foram estudadas por Hiparco de Nicea (180-125 a. C.), Aryabhata (476-550), Varahamihira, Brahmagupta, Muhammad ibn Musa a o-Khwarizmi, Abu'l-Wafa, Omar Khayyam, Bhaskara II, Nasir a o-Din Tusi, Regiomontanus (1464), Ghiyath a o-Kashi e Ulugh Beg (Século XIV), Madhava (ca. 1400), Rheticus, e o aluno deste, Valentin Otho. A obra de Leonhard Euler Introductio in analysin infinitorum (1748) foi a que estabeleceu o tratamento analítico das funções trigonométricas na Europa, as definindo como séries infinitas apresentadas nas chamadas "Fórmulas de Euler".

A noção de que deveria existir alguma correspondência regular entre a longitude dos lados de um triângulo seguiu à ideia de que triângulos similares mantêm a mesma proporção entre seus lados. Isto é, que para qualquer triângulo semelhante, a relação entre a hipotenusa e outro de seus lados é constante. Se a hipotenusa é o duplo de longa, assim serão os catetos. Justamente estas proporções são as que expressam as funções trigonométricas.

Conceitos básicos

Identidades trigonométricas fundamentais.

As Razões trigonométricas definem-se comummente como o cociente entre dois lados de um triângulo retângulo associado a seus ângulos. As funções trigonométricas são funções cujos valores são extensões do conceito de razão trigonométrica em um triângulo retângulo traçado em uma circunferencia unitária (de rádio unidade). Definições mais modernas descrevem-nas como séries infinitas ou como a solução de certas equações diferenciais, permitindo sua extensão a valores positivos e negativos, e inclusive a números complexos.

Existem seis funções trigonométricas básicas. As últimas quatro, definem-se em relação das duas primeiras funções, ainda que podem-se definir geometricamente ou por médio de suas relações. Algumas funções foram comuns antigamente, e aparecem nas primeiras tabelas, mas não se utilizam actualmente; por exemplo o verseno (1 − cos θ) e a exsecante (sec θ − 1).

Função Abreviatura Equivalencia
Seio sen  sen \; \theta \equiv \frac{1}{\csc \theta} \equiv \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cos \theta}{\cot \theta} \,
Cosseno cos \cos \theta \equiv \frac{1}{\sec \theta} \equiv \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\sin \theta}{\tan \theta} \,
Tangente tão \tan \theta \equiv \frac{1}{\cot \theta} \equiv \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \,
Cotangente cot \cot \theta \equiv \frac{1}{\tan \theta} \equiv \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \,
Secante sec \sec \theta \equiv \frac{1}{\cos \theta} \equiv \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\tan \theta}{\sin \theta} \,
Cosecante csc (cosec) \csc \theta \equiv \frac{1}{\sin \theta} \equiv \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \equiv \frac{\cot \theta}{\cos \theta} \,

Definições respecto de um triângulo retângulo

Trigono a10.svg

Para definir as razões trigonométricas do ângulo:  \alpha , do vértice A ,parte-se de um triângulo retângulo arbitrário que contém a este ângulo. O nome dos lados deste triângulo retângulo que usar-se-á no sucessivo será:

Todos os triângulos considerados se encontram no Plano Euclidiano, pelo que a soma de seus ângulos internos tanto faz a π radianos (ou 180°). Em consequência, em qualquer triângulo retângulo os ângulos não rectos se encontram entre 0 e π/2 radianos. As definições que se dão a seguir definem estritamente as funções trigonométricas para ângulos dentro dessa faixa:

1) O seio de um ângulo é a relação entre a longitude do cateto oposto e a longitude da hipotenusa:

\sin \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {a} {h}.

O valor desta relação não depende do tamanho do triângulo retângulo que elejamos, sempre que tenha o mesmo ângulo  \alpha , em cujo caso se trata de triângulos semelhantes.

2) O cosseno de um ângulo é a relação entre a longitude do cateto adjacente e a longitude da hipotenusa:

\cos \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} = \frac {b} {h}.

3) A tangente de um ângulo é a relação entre a longitude do cateto oposto e a do adjacente:

\tan \alpha = \frac {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {a} {b}.

4) A cotangente de um ângulo é a relação entre a longitude do cateto adjacente e a do oposto:

\cot \alpha = \frac {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} = \frac {b} {a}.

5) A secante de um ângulo é a relação entre a longitude da hipotenusa e a longitude do cateto adjacente:

\sec \alpha = \frac {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} {{ \color{Blue}\textrm{adyacente}}} = \frac {h} {b}.

6) A cosecante de um ângulo é a relação entre a longitude da hipotenusa e a longitude do cateto oposto:

\csc \alpha = \frac {{ \color{Red}\textrm{hipotenusa}}} {{ \color{ForestGreen}\textrm{opuesto}}} = \frac {h} {a}.

Funções trigonométricas de ângulos notáveis

Animação da função seio.
30° 45° 60° 90°
sem 0 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 1
cos 1 \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} 0
tão 0 \frac{\sqrt{3}}{3} 1 \sqrt{3} \infty

Representação gráfica

Definições analíticas

A definição analítica mais frequente dentro da análise real faz-se a partir de equações diferenciais. Em concreto definem-se duas funções C(x) e S(x) que satisfazem o seguinte sistema de primeira ordem:

\begin{cases}
S'(x) = C(x) & S(0) = 0  \\
C'(x) = -S(x)& C(0) = 1  \end{cases}

O teorema de Picard-Lindelöf de existência e unicidad das equações diferenciais leva a que existem as funções anteriores que se chamam respectivamente seio e cosseno, isto é:

\cos x = C(x), \qquad \sin x = S(x)

Esta definição analítica das funções trigonométricas permite uma definição não-geométrica do número π, a saber, dito número é o mínimo número real positivo que é um zero da função seio.

Séries de potências

A partir da definição anterior podem estabelecer-se que as funciones seio e cosseno são funções analíticas cuja série de Maclaurin vem dada por:


   \sin x =
   \sum_{k=0}^\infty \cfrac{(-1)^k \; x^{2k+1}}{(2k+1)!} =
   \cfrac{x}{1!} - \cfrac{x^3}{3!} + \cfrac{x^5}{5!} - \cfrac{x^7}{7!} \; \dots

   \cos x =
   \sum_{k=0}^\infty \cfrac{(-1)^k \; x^{2k}}{(2k)!} =
   \cfrac{1}{0!} - \cfrac{x^2}{2!} + \cfrac{x^4}{4!} - \cfrac{x^6}{6!} \; \dots

Relação com a exponencial complexa

Existe uma relação importante entre a exponenciación de números complexos e as funções trigonométricas:

e^{ix} = \cos x + i \sin x \,

Esta relação pode provar-se usando o desenvolvimento em série de Taylor para a função exponencial e o obtido na secção anterior para funcione-las seio e cosseno. Separando agora em parte real e imaginaria na expressão anterior se encontram as definições de seio e cosseno em termos de exponenciales complexas:

\cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \qquad \sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}

Funções trigonométricas inversas

As três funções trigonométricas inversas comummente usadas são:

A função arcoseno real é uma função \left[-1,1\right] \to \left[0,2\pi \right)\,, isto é, não está definida para qualquer número real. Esta função pode expressar-se mediante a seguinte série de Taylor:

\mbox{arcsin}(x) = \begin{cases} -\cfrac{\pi}{2} & x = -1 \\
x + \cfrac{1}{2}\cfrac{x^3}{3} + \cfrac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\cfrac{x^5}{5} +
\cfrac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\cfrac{x^7}{7} + \dots & -1 < x < 1\\
+\cfrac{\pi}{2} & x = 1 \end{cases}

É uma função similar à anterior, de facto pode definir-se como:

\mbox{arccos}(x) = \frac{\pi}{2} - \mbox{arcsin}(x)

A diferença das anteriores a função arcotangente está definida para todos os reais. Sua expressão em forma de série é:

\mbox{arctan}(x) = \begin{cases} 
x - \cfrac{x^3}{3} + \cfrac{x^5}{5} - \cfrac{x^7}{7} + \dots &  |x| < 1 \\
\pm\cfrac{\pi}{2} -\cfrac{1}{x} +\cfrac{1}{3x^3} -\cfrac{1}{5x^5}+ \dots & +\ \mbox{con}\ x \ge 1, -\ \mbox{con}\ x \le -1 \end{cases}

Generalizações

Veja-se também



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