Função de ondas

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Função de onda para uma partícula bidimensional encerrada uma caixa, as linhas de nível sobre o plano inferior estão relacionadas com a probabilidade de presença.

Em mecânica cuántica, uma função de onda (Ψ) é uma forma de descrever o estado físico de um sistema de partículas. Usualmente é uma função complexa, de função de quadrado integrable|quadrado integrable]] e univaluada das coordenadas espaciais da cada uma das partículas. As propriedades mencionadas da função de onda permitem interpretá-la como uma função de quadrado integrable. A equação de Schrödinger proporciona uma equação determinista para explicar a evolução temporária da função de onda e, por tanto, do estado físico do sistema no intervalo compreendido entre duas medidas (quando se faz uma medida de acordo com o postulado IV a evolução não é determinista).

Historicamente o nome função de onda refere-se a que o conceito foi desenvolvido no marco da primeira física cuántica, onde se interpretava que as partículas podiam ser representadas mediante uma onda física que se propaga no espaço. Na formulación moderna, a função de onda interpreta-se como um objecto bem mais abstracto, que representa um elemento de um verdadeiro espaço de Hilbert de dimensão infinita que agrupa aos possíveis estados do sistema.

Índice

1 Formulación original de Schrödinger-De Broglie
2 Formulación moderna de Von Neumann
- 2.1 Formalización
- 2.2 Problemas de nomenclatura
3 Veja-se também
4 Enlaces externos

Formulación original de Schrödinger-De Broglie

Em 1923 De Broglie propôs a chamada hipótese de De Broglie pela que a qualquer partícula podia lhe lhe atribuir um pacote de ondas materiais ou superposición de ondas de frequência]] e longitude de onda associada com o momento lineal e a energia:

$p = \frac{h}{\lambda} = \hbar k \qquad E_k = h\nu = \hbar \omega$

onde $p,\ E_k\;$ são o momento lineal e a energia cinética da partícula, e $k,\omega \;$ são o vector número de onda e a frequência angular. Quando se consideram partículas macroscópicas muito localizadas o pacote de ondas se restringe quase por completo à região do espaço ocupada pela partícula e, nesse caso, a velocidade de movimento da partícula não coincide com a velocidade de fase da onda senão com a velocidade de grupo do pacote:

$v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k} = \frac{\partial E_k}{\partial p} = \frac{\partial E_k(p)}{\partial p} = \frac{p}{m}$

onde $E k (p) = P 2 / 2 m$ . Se em lugar das expressões clássicas do momento lineal e a energia usam-se as expressões relativistas, o qual dá uma descrição mais precisa para partículas rápidas, um cálculo algo mais longo, baseado na velocidade de grupo, leva à mesma conclusão.

A fórmula de De Broglie encontrou confirmação experimental em 1927 um experimento que provou que a lei de Bragg, inicialmente formulada para raios X e radiación de alta frequência, era também válida para electrones lentos se se usava como longitude de onda a longitude postulada por De Broglie. Esses factos levaram aos físicos a tratar de formular uma equação de ondas cuántica que na limite clássico macroscópico se reduzisse à equações de movimento clássicas ou leis de Newton. Dita equação ondulatoria tinha sido formulada por Erwin Schrödinger em 1925 e é a celebrada Equação de Schrödinger:

$-{\hbar^2\over 2m} \nabla^2 \psi (x,t) + V(x)\psi (x,t) = i \hbar {\partial \psi (x,t)\over\partial t}$

onde $\psi(x,t)\,$ se interpretou originalmente como um campo físico ou campo de matéria que por razões históricas se chamou função de onda e foi o precedente histórico do moderno conceito de função de onda.

O conceito actual de função de onda é algo mais abstracto e se baseia na interpretação do campo de matéria não como campo físico existente senão como amplitude de probabilidade de presença de matéria. Esta interpretação, introduzida por Max Born, valeu-lhe a concessão do prêmio Nobel de física em 1954.

Formulación moderna de Von Neumann

Os vectoré em um espaço vectorial expressam-se geralmente com respeito a uma base (um conjunto concreto de vectores que "expanden" o espaço, a partir dos quais se pode construir qualquer vector nesse espaço mediante uma combinação lineal). Se esta base se indexa com um conjunto discreto (finito, contable), a representação vectorial é uma "coluna" de números. Quando um vector de estado mecanocuántico se representa em frente a uma base contínua, se chama função de ondas.

Formalización

Para operador autoadjunto|operadores autoadjuntos]], graças ao teorema espectral, pode construir-se o equivalente de bases vectoriais dependentes de um índice contínuo (infinito, inúmero). Se considera-se o operador de posição $\hat\mathbf{X}$ , que é autoadjunto sobre um domínio denso no espaço de Hilbert $\mathcal{H} \approx L^2(\R^n)$ ), então se podem construir estados especiais:

$| \mathbf{x} \rangle \notin \mathcal{H} \qquad \hat\mathbf{X}| \mathbf{x} \rangle = \mathbf{x}| \mathbf{x} \rangle \in \mathcal{H}_e \qquad \mathcal{H} \subset \mathcal{H}_e$

Pertencentes a um espaço equipado de Hilbert $\mathcal{H}_e$ , tal que a função de onda pode ser interpretada como as "componentes" do vector de estado do sistema com respeito a uma base inúmera formada por ditos vectores:

$| \psi \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(\mathbf{x}) | \mathbf{x} \rangle\,d\mathbf{x}$

Note-se que ainda que os estados próprios $| \mathbf{x} \rangle$ do operador posição $\hat\mathbf{X}$ não são normalizables, já que em general não pertencem ao espaço de Hilbert convencional do sistema (senão só ao espaço equipado), o conjunto de funções de onda sim definem estados no espaço de Hilbert. Isso sucede porque os estados próprios satisfazem:

$| \mathbf{x} \rangle, | \mathbf{x}' \rangle \in \mathcal{H}_e \qquad \langle \mathbf{x} | \mathbf{x}' \rangle = \delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}')$

Já que as funções de onda assim definidas, que são de quadrado integrable, sim formam um espaço de Hilbert isomorfo e homeomorfo ao original, o quadrado do módulo da função de onda pode ser interpretado como a densidade de probabilidade de presença das partículas em uma determinada região do espaço.

Um tratamento análogo ao anterior usando vectores próprios do operador momento lineal $\hat\mathbf{P}$ também pertencentes a um espaço equipado de Hilbert permitem definir as "funções de onda" sobre o espaço de momentos. O conjunto destes estados cuánticos próprios do operador momento são chamados em física "base de espaço-k" (em contraposição à função de onda obtida a partir do operador posição que se chama "base de espaço-r"). Pela relação de conmutación entre o operadoré posição e momento, as funções de onda em espaço-r e em espaço-k são pares de transformadas de Fourier.

Falhou ao verificar gramática (Função desconhecida\chame): \chame\psi(\mathbf{p}) = \frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}} \int_{\R^3} \psi(\mathbf{x}) e^{- i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}/\hbar}\,d\mathbf{x}

O nome espaço-k prove de que $\mathbf{p} = \hbar\mathbf{k}$ , enquanto o nome espaço-r prove do facto de que as coordenadas espaciais com frequência se designam mediante o vector $\mathbf{r}$

Problemas de nomenclatura

Pela relação concreta entra a função de ondas e a localização de uma partícula em um espaço de posições, muitos textos sobre mecânica cuántica têm um enfoque "ondulatorio". Assim, ainda que o termo função de ondas se use como sinónimo "coloquial" para vector de estado, não é recomendable, já que não só existem sistemas que não podem ser representados por funções de ondas, senão que ademais o termo função de ondas leva a imaginar que há algum médio que está ondulando em sentido mecânico.

Veja-se também

Enlaces externos

onda_a1500.html A Relatividad de Escala descobre o Universo como uma grande função de ondao:Κυματοσυνάρτηση

em:Wave functiontenho:פונקציית גלcá:ტალღური ფუნქციაnão:Bølgefunksjon

Obtido em "http://pt.encydia.com/es/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_ondas"

Categorias: Mecânica cuántica | Química cuántica