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Geometria analítica

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Conhece-se como geometria analítica ao estudo de certos objectos geométricos mediante técnicas básicas da análise matemática e do álgebra em um determinado sistema de coordenadas. Poder-se-ia dizer que é o desenvolvimento histórico que começa com a geometria cartesiana e conclui com o aparecimento da geometria diferencial com Carl Friedrich Gauss e mais tarde com o desenvolvimento da geometria algébrica.

Os dois problemas fundamentais da geometria analítica são:

  1. Dado o lugar geométrico em um sistema de coordenadas, obter sua equação.
  2. Dada a equação em um sistema de coordenadas, determinar a gráfica ou lugar geométrico dos pontos que verificam dita equação.

O inovador da geometria analítica é que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas do tipo f(x,y)=0, onde f representa uma função ou outro tipo de expressão matemática. Em particular, as rectas podem expressar-se como equações polinomiais de grau 1 (por exemplo, 2x+6y=0) e as circunferencias e o resto de cônicas como equações polinomiais de grau 2 (a circunferencia x^2 + y^2 = 4, a hipérbola xy = 1).

Conteúdo

Construções fundamentais

Em um sistema de coordenadas cartesianas, um ponto do plano fica determinado por dois números, chamados abscisa e ordenada do ponto. Mediante esse procedimento a todo o ponto do plano correspondem sempre dois números reais ordenados (abscisa e ordenada), e reciprocamente, a um par ordenado de números corresponde um único ponto do plano. Consequentemente o sistema cartesiano estabelece uma correspondência biunívoca entre um conceito geométrico como é o dos pontos do plano e um conceito algébrico como são os pares ordenados de números. Esta correspondência constitui o fundamento da geometria analítica.

Com a geometria analítica pode-se determinar figuras geométricas planas por médio de equações e inecuaciones com dois incógnitas. Este é um método alternativo de resolução de problemas, ou quando menos nos proporciona um novo ponto de vista com o qual poder atacar o problema.

Localização de um ponto no plano cartesiano

Em um plano traça duas rectas perpendiculares (eixos) —que por convênio se traçam de maneira que uma delas seja horizontal e a outra vertical—, e a cada ponto do plano fica univocamente determinado pelas distâncias de dito ponto à cada um dos eixos, desde que se dê também um critério para determinar sobre que semiplano determinado pela cada uma das rectas há que tomar essa distância, critério que vem dado por um signo. Esse par de números, as coordenadas, ficará representado por um par ordenado (x, y), sendo x a distância a um dos eixos (por convênio será a distância ao eixo vertical) e y a distância ao outro eixo (ao horizontal).

Na coordenada x, o signo positivo (que costuma se ignorar) significa que a distância se toma para a direita do eixo horizontal (eixo das abscisas), e o signo negativo (nunca se ignora) indica que a distância se toma para a esquerda. Para a coordenada y, o signo positivo (também se costuma ignorar) indica que a distância se toma para acima do eixo vertical (eixo de ordenadas), se tomando para abaixo se o signo é negativo (também não se ignora nunca neste caso).

À coordenada x costuma-lha denominar abscisa do ponto, enquanto à y denomina-lha ordenada do ponto.

Os pontos do eixo de abscisas têm portanto ordenada igual a , 0de modo que serão da forma (x, 0), enquanto os do eixo de ordenadas terão abscisa igual a , 0pelo que serão da forma (0, y).

O ponto onde ambos eixos se cruzam terá portanto distancia 0 à cada um dos eixos, depois seu abscisa será 0 e sua ordenada também será 0. A este ponto —o (0, 0)— denomina-se-lhe origem de coordenadas.

Equações da recta no plano

Uma recta é o lugar geométrico de todos os pontos no plano tais que, tomados dois quaisquer deles, o cálculo da pendente resulta sempre igual a uma constante.

A equação geral da recta é da forma:

 Ax+By+C=0 \,

cuja pendente é m = -A/B e cuja ordenada à origem é b = -C/B.

Uma recta no plano representa-se com a função polinomial de primeiro grau da forma:

y = m x + b \,

Como expressão geral, esta é conhecida com o nome de equação pendente-ordenada à origem e podemos distinguir dois casos particulares. Se uma recta não corta a um dos eixos, será porque é paralela a ele. Como os dois eixos são perpendiculares, se não corta a um deles forçadamente tem de cortar ao outro (desde que a função seja contínua para todos os reais). Temos pois três casos:

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Rectas oblíquas. Rectas horizontais. Rectas verticais.
x = x_0 \,
y = y_0 \,


Secções cônicas

Artigo principal: Secção cônica
Os três exemplos de interseção de um plano com um cone: parábola (A ),elipse (B) e hipérbola (C).
As três secções cônicas: elipse, parábola e hipérbola. A circunferencia é um caso particular de elipse.

O resultado da interseção da superfície de um cone, com um plano, dá lugar ao que se denominam secções cônicas, que são: a parábola, a elipse (a circunferencia é um caso particular de elipse) e a hipérbola.

Uma parábola (figura A )cujo eixo de simetría seja paralelo ao eixo de abcisas se expressa mediante a equação:

y = a x^2 + bx + c \,

Uma elipse (figura B) centrada nos eixos, com longitudes de semieje a e b vem dada pela expressão:

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \,
\frac{x^2}{c^2} + \frac{y^2}{c^2} = 1 \,
o resultado é uma circunferencia:
x^2 + y^2 = c^2 \,

A hipérbola (Figura C) tem por expressão:

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

Construções no espaço tridimensional

Arquivo:Simples Torus.svg
Um touro, exemplo de superfície tridimensional.

Os razonamientos sobre a construção dos eixos coordenados são igualmente válidos para um ponto no espaço e uma terna ordenada de números, sem mais que introduzir uma terça recta perpendicular aos eixos X e E: o eixo Z.

No entanto não há análogo ao importantísimo conceito de pendente de uma recta. Uma única equação linear do tipo:

\,ax + by + cz = 0

Representa no espaço um plano. Se pretende-se representar mediante equações uma recta no espaço tridimensional precisaremos especificar, não uma, senão duas equações lineares como as anteriores. Aliás toda recta se pode escrever como interesección de dois planos. Assim uma recta no espaço poderia ficar representada como:

\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1\\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \end{cases}

É importante notar que a representação anterior não é única, já que uma mesma recta pode se expressar como a interseção de diferentes pares de planos. Por exemplo os dois pares de equações:

Classificação da geometria analítica dentro da geometria

Desde o ponto de vista da classificação de Klein das geometrias (o Programa de Erlangen), a geometria analítica não é uma geometria propriamente dita.

Desde o ponto de vista didáctico, a geometria analítica resulta uma ponte indispensável entre a geometria euclidiana e outros ramos da matemática e da própria geometria, como são a própria análise matemática, o álgebra linear, a geometria afín, a geometria diferencial ou a geometria algébrica.

História da geometria analítica

Existe uma verdadeira controvérsia sobre a verdadeira paternidad deste método. O único verdadeiro é que se publica pela primeira vez como "Geometria analítica", adendo ao Discurso do método, de Descartes , conquanto se sabe que Pierre de Fermat conhecia e utilizava o método dantes de sua publicação por Descartes. Ainda que Omar Khayyam já no século XI utilizasse um método muito parecido para determinar certas interseções entre curvas, é impossível que algum dos citados matemáticos franceses tivessem acesso a sua obra.

O nome de geometria analítica correu parejo ao de geometria cartesiana, e ambos são indistinguibles. Hoje em dia, paradoxalmente, prefere-se denominar geometria cartesiana ao adendo do Discurso do método, enquanto entende-se que geometria analítica compreende não só à geometria cartesiana (no sentido que acabamos de citar, isto é, ao texto adendo do Discurso do método), senão também todo o desenvolvimento posterior da geometria que se base na construção de eixos coordenados e a descrição das figuras mediante funções —algébricas ou não— até o aparecimento da geometria diferencial de Gauss (dizemos "paradoxalmente" porque se usa precisamente o termo "geometria cartesiana" para aquilo que o próprio Descartes baptizou como "geometria analítica"). O problema é que durante esse período não existe uma diferença clara entre geometria analítica e análise matemática —esta falta de diferença se deve precisamente à identificação feita na época entre os conceitos de função e curva—, pelo que resulta às vezes muito difícil tentar determinar se o estudo que se está a realizar corresponde a uma ou outro ramo.

A geometria diferencial de curvas sim que permite um estudo mediante um sistema de coordenadas, já seja no plano ou no espaço tridimensional. Mas no estudo das superfícies, em general, aparecem sérios obstáculos. Gauss salva ditos obstáculos criando a geometria diferencial, e marcando com isso o fim da geometria analítica como disciplina. É com o desenvolvimento da geometria algébrica quando se pode certificar totalmente a superação da geometria analítica.

É de puntualizar que a denominação de analítica dada a esta forma de estudar a geometria provocou que a anterior maneira da estudar (isto é, a maneira axiomático-deductiva, sem a intervenção de coordenadas) se terminasse denominando, por oposição, geometria sintética, devido à dualidad análise-síntese.

Actualmente o termo geometria analítica só é usado em ensinos médias ou em carreiras técnicas nas que não se realiza um estudo profundo da geometria.

Veja-se também

Enlaces externos

Bibliografía

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