Hamiltoniano (mecânica cuántica)

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O Hamiltoniano H tem dois significados diferentes, ainda que relacionados. Em mecânica clássica, é uma função que descreve o estado de um sistema mecânico em termos de variáveis posição e momento, e é a base para a reformulación da mecânica clássica conhecida como mecânica hamiltoniana. Em mecânica cuántica, o operador Hamiltoniano é o correspondente ao observable "energia".

Conteúdo

1 Descrição cuántica de um sistema
2 Hamiltoniano cuántico
- 2.1 Propriedades
3 Evolução temporária
4 Exemplos
- 4.1 Oscilador harmônico
- 4.2 Átomo de hidrógeno

Descrição cuántica de um sistema

No formalismo da mecânica cuántica, o estado físico do sistema pode ser caracterizado por um vetor em um espaço de Hilbert de dimensão infinita (o qual permite expressar qualquer estado físico por uma sequência contable de vetores, ponderados por suas amplitudes de probabilidades respectivas). As magnitudes físicas observables são descritas, então, por operadores autoadjuntos que actuam sobre este vetor (ou sobre estes vetores). Os resultados possíveis de uma medida sobre um estado e as probabilidades com as que aparecem podem se calcular a partir do vetor que representa o estado e os vetores próprios do operador autoadjunto que representa a magnitude.

Hamiltoniano cuántico

O hamiltoniano cuántico H é o observable que representa a energia total do sistema (formalmente se define como um operador autoadjunto definido sobre um domínio denso no espaço de Hilbert do sistema). Os possíveis valores da energia de um sistema físico vêm dados pelos valores próprios do operador hamiltoniano:

(1) $\hat H \left| \psi \right\rangle = E_\psi \left| \psi \right\rangle$

onde $\hat H\,$ é o operador hamiltoniano, $\left| \psi \right\rangle$ é um estado próprio de e $\hat H\,$ $E_\psi\,$ é a energia desse estado.

Propriedades

Pelas propriedades dos operadores autoadjuntos:

Os vetores próprios de , $\hat H$ que satisfazem (1), formam uma base ortogonal para o espaço de Hilbert.
O espectro de níveis de energia permitidos para o sistema vem dado pelo conjunto de valores próprios de , $\hat H$ { $E_\psi\,$ } que verificam a equação que há sobre estas linhas.
A energia do sistema sempre toma valores reais, razão pela qual a mecânica cuántica impõe que pára que $\hat H$ descreva ao sistema deve ser um operador hermítico.
Dependendo do sistema físico, o espectro de energias pode ser discreto ou contínuo. Dá-se o caso de que alguns sistemas apresentam um espectro contínuo em um intervalo de energias, e discreto em outro. Um exemplo é o poço finito de energia potencial, que admite estados unidos com energias discretas e negativas, e estados livres com energias contínuas e positivas, isso sucede por exemplo no átomo hidrogenoide.
Dependendo do sistema físico, o operador hamiltoniano pode não estar definido sobretudo o espaço. Se não existe limite para o valor máximo da energia de um sistema então o operador hamiltoniano será um operador não-dimensionado e em general não estará definido em todo o espaço de Hilbert de todo o sistema senão só em um domínio denso dele.

Evolução temporária

A evolução temporária dos estados cuánticos pode obter-se a partir do Hamiltoniano através da equação de Schrödinger. Se $\left| \Psi (t) \right\rangle$ é o estado do sistema a tempo t, temos:

$\hat H \left| \Psi (t) \right\rangle = \mathrm{i} \hbar {\partial\over\partial t} \left| \Psi (t) \right\rangle$ .

onde $\hbar$ é a constante de Planck dividida entre 2π. Dado o estado a um tempo inicial (t = 0), podemos integrá-la para obter o estado em qualquer tempo subsiguiente. Se H além de operador autoadjunto não depende explicitamente do tempo podemos encontrar uma família de operadores unitários definidos sobre o espaço de Hilbert que dá uma solução formal da anterior equação:

$\left| \Psi (t) \right\rangle = U(t) \left| \Psi (0) \right\rangle \qquad U(t):=\hbox{exp}\left(-\mathrm{i}\hat H t / \hbar\right)$

Onde a exponencial do operador Hamiltoniano se calcula usualmente mediante série de potências. Pode-se demonstrar que é um operador unitário, e é a forma comum de operador de evolução temporária ou propagador.

Exemplos

Oscilador harmônico

Articulo principal: Oscilador harmônico cuántico.

No problema do oscilador harmônico monodimensional, uma partícula de massa $\displaystyle m$ está submetida a um potencial quadrático $\displaystyle V(x) = \frac{1}{2} k x^2$ . Em mecânica clássica $\displaystyle k= m \omega^2$ denomina-se constante de força ou constante elástica, e depende da massa $m$ da partícula e da frequência angular $\displaystyle \omega$ .

O Hamiltoniano cuántico da partícula é:

$\hat H = \frac{\hat p^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$

onde $x\,$ é o operador posição e $\hat p\,$ é o operador momento $\left(\hat p = -i \hbar {d \over dx} \right)$ . O primeiro termo representa a energia cinética da partícula, enquanto o segundo representa sua energia potencial.