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Isomorfismo

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O conceito matemático de isomorfismo (do grego iso-morfos: Igual forma) pretende captar a ideia de ter a mesma estrutura.

Duas estruturas matemáticas entre as que existe uma relação de isomorfismo se chamam isomorfas.

Conteúdo

Definição formal

Pode-se definir concisamente como: um isomorfismo é um homomorfismo biyectivo tal que sua inversa é também homomorfismo.[1]

História e conceito

No século XX precisou-se em matemáticas a noção intuitiva de estrutura, seguindo a concepção de Aristóteles da matéria e a forma, segundo a qual a cada estrutura é um conjunto X dotado de certas operações (como a soma ou o produto) ou de certas relações (como uma classificação) ou certos subconjuntos (como no caso da topologia), etc. Neste caso, o conjunto X é a matéria e as operações, relações, etc., nele definidas, são a forma.

A descoberta de Platón de que a forma é o que importa se recolhe em matemáticas com o conceito de isomorfismo. Uma aplicação f:X→E entre dois conjuntos dotados do mesmo tipo de estrutura é um isomorfismo quando a cada elemento de E prove de um único elemento de X e f transforma as operações, relações, etc. que há em X nas que há em E. Quando entre duas estruturas há um isomorfismo, ambas são indistinguibles, têm as mesmas propriedades, e qualquer enunciado é simultaneamente verdadeiro ou falso. Por isso em matemáticas as estruturas devem se classificar salvo isomorfismos.

Exemplos de isomorfismos

Por exemplo, se X é um número real positivo com o produto e E é um número real com a soma, o logaritmo ln:X→E é um isomorfismo, porque \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) e a cada número real é o logaritmo de um único número real positivo. Isto significa que a cada enunciado sobre o produto de números reais positivos tem (sem mais que substituir a cada número por seu logaritmo) um enunciado equivalente em termos da soma de números reais, que costuma ser mais simples.

Outro exemplo: se no espaço E elegemos uma unidade de longitude e três eixos mutuamente perpendiculares que coincidem em um ponto, então à cada ponto do espaço podemos lhes associar suas três coordenadas cartesianas, obtendo assim uma aplicação f:E→R³ no conjunto das sucessões de três números reais. Quando em E consideramos a distância que define a unidade de longitude fixada e em R³ consideramos a distância que define a raiz quadrada da soma dos quadrados das diferenças, f é um isomorfismo. Esta descoberta fundamental de Descartes permite enunciar qualquer problema da geometria do espaço em termos de sucessões de três números reais, e este método de abordar os problemas geométricos é o coração da chamada geometria analítica.[cita requerida]

Características do isomorfismo

A descoberta de um isomorfismo entre duas estruturas significa essencialmente que o estudo da cada uma pode se reduzir ao da outra, o que nos dá dois pontos de vista diferentes sobre a cada questão e costuma ser essencial em seu adequado entendimento. Também significa uma analogia como uma forma de inferência lógica baseada na assunção de que duas coisas são a mesma em alguns aspectos, aqueles sobre os que está feita a comparação. Em ciências sociais, um isomorfismo consiste na aplicação de uma lei análoga por não existir uma específica ou também a comparação de um sistema biológico com um sistema social, quando se trata de definir a palavra "sistema". O é igualmente a imitação ou cópia de uma estrutura tribal em um hábitat com estrutura urbana.

Os morfismos

Os isomorfismos de uma estrutura consigo mesma denominam-se automorfismos.[2]

Em general, em uma categoria arbitrária, os isomorfismos definem-se por ser os morfismos f:X→E que admitem um morfismo inverso h:E→X, inverso tanto pela direita como pela esquerda. Podem não ser os morfismos biyectivos, como já ocorre no caso dos espaços topológicos.

Referências

Obtido de http://ks312095.kimsufi.com../../../../articles/a/t/e/Ate%C3%ADsmo.html"