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Jacobiano

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Em cálculo vectorial, chama-se jacobiano ou determinante jacobiano ao determinante da matriz jacobiana. Tanto a matriz jacobiana como o determinante jacobiano recebem seu nome em honra ao matemático Carl Gustav Jacobi.

Em geometria algébrica, o jacobiano de uma curva faz referência à variedade jacobiana, um grupo e variedade algébrica sócia à curva, onde a curva pode ser embebida.

Conteúdo

Matriz jacobiana

A matriz jacobiana é uma matriz formada pelas derivadas parciais de primeira ordem de uma função. Uma das aplicações mais interessantes desta matriz é a possibilidade de aproximar linealmente à função em um ponto. Neste sentido, o jacobiano representa a derivada de uma função multivariable.

Propriamente deveríamos falar mais que de matriz jacobiana de diferencial jacobiana ou aplicação linear jacobiana já que a forma da matriz dependerá da base ou coordenadas eleitas. Isto é, dadas duas bases diferentes a aplicação linear jacobiana terá componentes diferentes ainda se tratando do mesmo objecto matemático. A propriedade básica da "matriz" jacobiana é a seguinte, dada uma aplicação qualquer \mathbf{F}:\R^n \to \R^m contínua isto é \mathbf{F} \in \mathcal{C}^{(k)}(\R^n,\R^m) dizer-se-á que é diferenciable se existe uma aplicação linear \boldsymbol\lambda \in \mathcal{L}(\R^n,\R^m) tal que:

(1) \lim_{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|\to 0}
\frac{ \| (\mathbf{F}(\mathbf{x}) - \mathbf{F}(\mathbf{y})) -
\boldsymbol\lambda(\mathbf{x}-\mathbf{y}) \|}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|} = 0

Função escalar

Comecemos com o caso mais singelo de uma função escalar \scriptstyle F:\R^n \to \R neste caso a matriz jacobiana será uma matriz formada por um vetor bicha que coincide com o gradiente. Se a função admite derivadas parciais para a cada variável pude ver-se que basta definir a "matriz" jacobiana como:

\boldsymbol\lambda(\mathbf{x}) := \boldsymbol\nabla F(\mathbf{x}) =
\begin{bmatrix} \cfrac{\part F(\mathbf{x})}{\part x_1} &
\ldots & \cfrac{\part F(\mathbf{x})}{\part x_n} \end{bmatrix}

Já que então cumprir-se-á a relação (1) automaticamente, pelo que neste caso a "matriz jacobiana" é precisamente o gradiente.

Função vectorial

Suponhamos \scriptstyle \mathbf{F}:\R^n \to \R^m é uma função que vai do espaço euclídeo n-dimensional a outro espaço euclídeo m-dimensional. Esta função está determinada por m funciones escalares reais:

y_i = F_i(x_1,\ldots, x_n), \qquad
\mathbf{y}=\mathbf{F}(\mathbf{x}) = (F_1(\mathbf{x}),\dots,F_n(\mathbf{x}))

Quando a função anterior é diferenciable, então as derivadas parciais destas n funciones podem ser organizadas em uma matriz m por n , a matriz jacobiana de F :

\begin{bmatrix}
\cfrac{\partial y_1}{\partial x_1} & \cdots & \cfrac{\partial y_1}{\partial x_n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\cfrac{\partial y_m}{\partial x_1} & \cdots & \cfrac{\partial y_m}{\partial x_n}  \end{bmatrix}

Esta matriz é notada de diversas maneiras:

J_\mathbf{F}(x_1,\ldots,x_n) \qquad \mbox{o} \qquad
\frac{\partial(y_1,\ldots,y_m)}{\partial(x_1,\ldots,x_n)}
\qquad \mbox{o} \qquad D\mathbf{F}(x_1,\ldots,x_n)

Note-se que a bicha, i-ésima bicha coincidirá dada com o gradiente da função ei, para i = 1,...,m.

Se p é um ponto de R n e F é diferenciable em p , então sua derivada está dada por J F(p). Neste caso, a aplicação linear descrita por J F(p) é a melhor aproximação linear de F cerca do ponto p, desta maneira:

\mathbf{F}(\mathbf{x}) \approx
 \mathbf{F}(\mathbf{p}) + J_\mathbf{F}(\mathbf{p})(\mathbf{x}-\mathbf{p})

para x cerca de p . Ou com maior precisão:

\lim_{\|\mathbf{x}-\mathbf{p}\|\to 0}
\frac{ \| \mathbf{F}(\mathbf{x}) - \mathbf{F}(\mathbf{p}) -
J_\mathbf{F}(\mathbf{p})(\mathbf{x}-\mathbf{p}) \|}{\|\mathbf{x}-\mathbf{p}\|} = 0

Exemplos

Exemplo 1. A matriz jacobiana da função F : R3R3 definida como:

F(x_1,x_2,x_3) = (x_1,5x_3,4x_2^2 - 2x_3)

é:

J_F(x_1,x_2,x_3) =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8x_2 & -2\end{bmatrix}

Não sempre a matriz jacobiana é quadrada. Veja-se o seguinte exemplo.

Exemplo 2. Suponha-se a função F : R3R4, cujas componentes são:

 y_1 = 1/x_1 \;
 y_2 = 5x_3 \,
 y_3 = 4x_2^2 - 2x_3 \,
 y_4 = x_3 \sin(x_1+x_3) \,

Aplicando a definição de matriz jacobiana:

J_F(x_1,x_2,x_3) =\begin{bmatrix}
\dfrac{\partial y_1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_1}{\partial x_3} \\[3pt]
\dfrac{\partial y_2}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_2}{\partial x_3} \\[3pt]
\dfrac{\partial y_3}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_3}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_3}{\partial x_3} \\[3pt]
\dfrac{\partial y_4}{\partial x_1} & \dfrac{\partial y_4}{\partial x_2} & \dfrac{\partial y_4}{\partial x_3} \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1/x_{1}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8x_2 & -2 \\ x_3\cos(x_1+x_3) & 0 & \sin(x_1+x_3)+x_3\cos(x_1+x_3) \end{bmatrix}.


Determinante jacobiano

Se m = n, então F é uma função que vai de um espaço n-dimensional a outro. Neste caso a matriz jacobiana é quadrada e podemos calcular seu determinante, conhecido como o determinante jacobiano ou simplesmente jacobiano.

O determinante jacobiano em um ponto dado dá-nos informação importante sobre o comportamento de F cerca desse ponto. Para começar, uma função F é invertible cerca de p se o determinante jacobiano em p é não nulo. Mais ainda, o valor absoluto do determinante em p nos dá o factor com o qual F expande ou contrai seu volume cerca de p .

Exemplos

Exemplo 1. O determinante jacobiano da função F : R3R3 definida como:

 F(x_1,x_2,x_3)=(5x_2 , 4x_1^2 - 2\sin (x_2x_3) ,x_2 x_3 )

é:

J(x_1,x_2,x_3)= \begin{vmatrix}
0 & 5 & 0 \\
8x_1 & -2x_3\cos(x_2 x_3) & -2x_2\cos(x_2 x_3) \\
0 & x_3 & x_2 \end{vmatrix}= =-5\cdot\begin{vmatrix} 8x_1 & -2x_2\cos(x_2&x_3)\\ 0&x_2\end{vmatrix}=-40x_1 x_2

O teorema da função inversa garante que a função é localmente invertible em todo o domínio excepto quiçá onde x_1=0 ou x_2=0 (isto é, os valores para os que o determinante se faz zero). Se imaginamos um objecto pequeno centrado no ponto (1,1,1) e aplicamos-lhe F, teremos um objecto aproximadamente 40 vezes mais volumoso que o original.


Exemplo 2. Mudando um pouco a função anterior por esta:

 F(x_1,x_2,x_3)=(5x_2 , 4x_1^2 - 2\sin (x_2x_3) ,x_1 )

O determinante jacobiano ficará:

J(x_1,x_2,x_3)=\begin{vmatrix} 0 & 5 & 0 \\ 8x_1 & -2x_3\cos(x_2 x_3) & -2x_2\cos(x_2 x_3) \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}=
=-5\cdot\begin{vmatrix} 8x_1 & -2x_2\cos(x_2&x_3)\\ 1&0\end{vmatrix}=-10x_2\cos(x_2 x_3).

Neste caso existem mais valores que anulam ao determinante. Por um lado \scriptstyle x_2=0, e por outro:

\cos \left( {{x}_{2}}{{x}_{3}} \right)=0\Leftrightarrow {{x}_{2}}{{x}_{3}}=\left( 2k+1 \right)\frac{\pi }{2} com k=0,1,2...

Veja-se também

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