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Leis de De Morgan

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Demonstração formal

\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B} se e só se \overline{A \cap B}\subseteq\overline{A} \cup \overline{B} e \overline{A \cap B}\supseteq\overline{A} \cup \overline{B}.

para qualquer x:

\subseteq inclusão:

x \in \overline{A \cap B}

x \notin {A \cap B}

x \notin A ou x \notin B

x \in \overline A ou x \in \overline B

x \in \overline A \cup \overline B

Portanto \overline{A \cap B}\subseteq\overline{A} \cup \overline{B}

\supseteq inclusão:

x \in \overline A \cup \overline B

x \in \overline A ou x \in \overline B

x \notin A ou x \notin B

x \notin {A \cap B}

x \in \overline{A \cap B}

Portanto \overline{A \cap B}\supseteq\overline{A} \cup \overline{B}


\overline{A \cap B}\subseteq\overline{A} \cup \overline{B} e \overline{A \cap B}\supseteq\overline{A} \cup \overline{B} portanto \overline{A \cap B}= \overline{A} \cup \overline{B} Q.E.D.


para \overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B} pode-se utilizar um método similar.

Com proposições

A prova utiliza a associatividade e a distributividad das leis \cap e \cup.

\lnot(A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n \cap A_{n+1})

\Leftrightarrow \lnot ( (A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n) \cap A_{n+1})

\Leftrightarrow (\lnot (A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_n)) \cup (\lnot A_{n+1})

\Leftrightarrow (\lnot A_1) \cup (\lnot A_2) \cup ... \cup (\lnot A_n) \cup (\lnot A_{n+1})

Obtido de http://ks312095.kimsufi.com../../../../articles/a/r/t/Artes_Visuais_Cl%C3%A1sicas_b9bf.html"